Introduction à la physique statistique et à la physique quantique
204 pages
Français

Introduction à la physique statistique et à la physique quantique

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Introduction la physique statistique et la
physique quantique
FrØdØric HØlein, Thierry LØvy
23 avril 2004 2 Table des matiŁres
1 Thermodynamique classique 11
1.1 La thermodynamique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Un exemple de systŁme : le piston . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Evolutions isothermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Evolution adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Le cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 L’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 Le second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . 23
1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Physique statistique d’un gaz rarØ Ø 29
2.1 Une description microscopique d’un gaz . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.1 Un modŁle de billard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 L’espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.3 Rappels sur la mØcanique hamiltonienne . . . . . . . . 34
2.2 Le chaos ou comment les lois du hasard interviennent dans un
systŁme dØterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Premier usage des probabilitØs : les gaz diluØs . . . . . . . . . 41
2.4 ThØorie cinØtique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 La distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6 ...

Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 74
Langue Français
Poids de l'ouvrage 1 Mo
Introduction la physique statistique et la physique quantique FrØdØric HØlein, Thierry LØvy 23 avril 2004 2 Table des matiŁres 1 Thermodynamique classique 11 1.1 La thermodynamique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Un exemple de systŁme : le piston . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Evolutions isothermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Evolution adiabatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Le cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 L’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 Le second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . 23 1.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Physique statistique d’un gaz rarØ Ø 29 2.1 Une description microscopique d’un gaz . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Un modŁle de billard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 L’espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Rappels sur la mØcanique hamiltonienne . . . . . . . . 34 2.2 Le chaos ou comment les lois du hasard interviennent dans un systŁme dØterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Premier usage des probabilitØs : les gaz diluØs . . . . . . . . . 41 2.4 ThØorie cinØtique du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 La distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.6 InterprØtation statistique de l’irrØversibilitØ . . . . . . . . . . . 49 2.6.1 Le paradoxe de Loschmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6.2 Fluctuations de la densitØ d’un gaz . . . . . . . . . . . 52 2.6.3 Une premiŁre approche statistique de l’entropie . . . . 56 2.6.4 Le paradoxe de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 3 MØcanique statistique avec interactions entre les particules 65 3.1 L’ensemble micro-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1 Le choix de l’espace des phases . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.2 ReprØsentation d’un Øtat par une mesure . . . . . . . . 67 3.1.3 La construction d’une mesure dØcrivant l’Øtat d’Øquilibre 68 3.1.4 Existe-il d’autres mesures dØcrivant l’Øquilibre? . . . . 70 3.2 L’ergodicitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.1 Flots ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.2 Autres applications de l’hypothŁse ergodique . . . . . . 74 3.3 Applications du formalisme micro-canonique . . . . . . . . . . 77 3.3.1 Dynamique d’une Øvolution quasi-statique . . . . . . . 77 3.3.2 Le gaz diluØ l’Øquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.4 Entropie microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4.1 Entropie statistique sur des ensembles nis . . . . . . . 82 3.4.2 En d’un Øtat macroscopique . . . . . . 84 3.4.3 Entropie microcanonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5 Le formalisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.5.1 L’ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.5.2 Identi cation de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.5.3 RØpartition de l’Ønergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4 Interactions thermodynamiques entre la lumiŁre et la ma- tiŁre 97 4.1 PrØliminaire : l’Øquipartition de l’Ønergie . . . . . . . . . . . . 97 4.2 Le problŁme du rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . 99 4.2.1 La pensØe thermodynamique de Planck . . . . . . . . . 100 4.2.2 Position du problŁme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.3 Interpolation entre les lois de Rayleigh Jeans et de Wien104 4.2.4 Comprendre la loi de Planck . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3 L’e et photoØlectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Loi de dØplacement de Wien et loi de Stefan-Boltzmann . . . . 109 4.5 Une approche combinatoire de la loi de Planck . . . . . . . . . 111 4.6 Prologue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.6.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.6.2 La jauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6.3 Formulation variationnelle des Øquations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4 4.6.4 La lumiŁre comme oscillation du champ ØlectromagnØ- tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6.5 Les ondes ØlectromagnØtiques l’intØrieur d’une cavitØ cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5 Vers la quanti cation des Øtats d’Ønergie de la matiŁre 127 5.1 Quelques ØlØments de relativitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.2 Retour aux quanta de lumiŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3 Le spectre des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.4 L’Øquation d’Hamilton Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.5 Les dØbuts de la mØcanique ondulatoire . . . . . . . . . . 149 5.6 L’Øquation de Schr dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6 L’Øquation de Schr dinger et son interprØtation 157 6.1 Du paquet d’onde l’interprØtation probabiliste de l’Øquation de Schr dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.1.1 Le paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.1.2 Une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.1.3 Le dogme de l’ Øcole de Copenhague . . . . . . . . . 164 6.1.4 Le principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.2 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.2.1 Une parenthŁse mathØmatique : opØrateurs auto-adjoints hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.3 Le thØorŁme d’Ehrenfest et ses consØquences . . . . . . . . . . 174 6.3.1 Le thØorŁme d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 6.3.2 InterprØtation et exemples d’applications . . . . . . . . 176 6.3.3 Un principe de correspondance . . . . . . . . . . . . . 177 7 Applications de la mØcanique quantique 179 7.1 L’e et tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.2 L’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.1 PremiŁre mØthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.2.2 DeuxiŁme mØthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3 Ensembles complets d’observables qui commutent . . . . . . . 186 7.4 Le moment cinØtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.5 L’atome d’hydrogŁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5 8 Le point de vue de Heisenberg 195 8.1 La mØcanique des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.2 Les relations d’incertitudes d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . 195 8.3 Reformulation des principes de la mØcanique quantique . . . . 196 8.4 Le spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197b8.4.1 Fonctions propres pour L . . . . . . . . . . . . . . . . 197z 8.4.2 Retour sur le moment cinØtique angulaire . . . . . . . . 198 8.4.3 Le spin d’un Ølectron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6 Introduction En apparence l’essentiel des phØnomŁnes physiques dont nous avons une expØrience directe dans la vie de tous les jours obØissent des lois qui ont ØtØ formulØes il y a plus de trois siŁcles par Galileo GalilØe et Isaac New- ton (entre autres...) pour la mØcanique et au XIXŁme siŁcle par Michael Faraday et James Clerck Maxwell (encore entre autres...) pour l’Ølec- tromagnØtisme. Toute personne relativement familiŁre avec ces lois (comme vous) voit son intuition confortØe par des expØriences quotidiennes, que ce soit en conduisant sa voiture ou en observant la chute des pommes (mis part quelques phØnomŁnes un peu plus dØroutant comme par exemple le mouve- ment d’une toupie). Une des Øtapes les plus sensationnelles de l’histoire de la science fut la dØcouverte au dØbut du XXŁme siŁcle qu’ l’Øchelle micro- scopique la matiŁre se comporte d’une maniŁre profondØment di Øren te de ce que l’on pouvait prØvoir l’aide de la physique classique. Et les physiciens ont ØtØ forcØs d’admettre qu’il n’Øtait pas possible de dØcrire ce qui se passe l’Øchelle atomique en des termes intelligibles pour nous. En revanche ils ont pu construire des modŁles mathØmatiques (mØcanique quantique, thØorie quan- tique des champs) permettant des prØdictions d’une prØcision stupØ an te, mais malheureusement incapables de donner une image de ce qui se passe propre satisfaire notre intuition. Ce choc dans le monde de la physique a suscitØ de nombreux dØbats : si certains physiciens (autour de Niels Bohr) ont pr nØ une attitude pragmatique, savoir que puisque le modŁle ma- thØmatique donne des rØponses absolument conformes l’expØrience il n’y a pas lieu de chercher plus loin, d’autres scienti ques en revanche (autour d’Albert Einstein) ont objectØ qu’un certain nombre de principes qui sont postulØs dans la mØcanique quantique, relativement durs avaler (comme la probabilitØ de prØsence ou la rØduction du paquet d’onde), ne sont que des concepts provisoires, en attendant l’Ølaboration d’un modŁle satisfaisant d’avantage notre besoin de comprendre. Ajoutons que la physique quantique 7 n’est pas uniquement la physique du trŁs petit et qu’aucun phØnomŁne n’Øchappe en principe ses lois, hormis la description de situations extrŒmes 33comme dans les trous noirs ou l’Øchelle de Planck (10 cm) qui nØcessite- rait l’utilisation d’une thØorie uni an t la mØcanique quantique et la thØorie de la relativitØ gØnØrale (mais cette thØorie n’existe pas encore). Simplement la plupart des phØnomŁnes macroscopiques mettent en jeu un nombre gigan- tesque d’atomes, ce qui fait qu’une partie des lois de la physique est gommØe plus grande Øchelle, et ce qu’il en reste est ce que nous nommons mØca- nique classique. Toutefois certains phØnomŁnes particuliers, dont la mise en oeuvre nØcessite une technologie sophistiquØe, comme les laser ou la supra- conductivitØ, obØissent des lois quantiques non classiques, mŒme l’Øchelle macroscopique. Nous allons essayer dans ce cours d’exposer les concepts physiques et mathØmatiques qui permettent actuellement d’apprØhender cette thØorie en suivant un ordre historique. Deux raisons justi en t ce choix, qui n’est pas habituel dans les textes d’introduction la mØcanique quantique, sans doute en partie parce que le chemin historique est toujours plus compliquØ qu’un exposØ synthØtique et axiomatique, mais aussi parce que il nØcessite un plus grand bagage mathØmatique. La premiŁre raison est simplement que le dØveloppement historique de la mØcanique quantique est passionnant. La deuxiŁme raison est qu’une prØsentation plus synthØtique ou privilØgiant un certain point de vue pourrait donner l’impression que la thØorie est achevØe, qu’elle est une construction qui dØcoulerait d’axiomes qui ont ØtØ gravØs dans le marbre par quelques physiciens dans les annØes 1920. Rien ne serait plus faux : aucune thØorie physique en gØnØral n’est dØ nitiv e et a fortiori la mØ- canique quantique, oø bien des points restent totalement opaques. Certes les axiomes de la mØcanique quantiques des annØes 1920 sont et seront toujours en accord avec la plupart des expØriences que l’on peut imaginer aujourd’hui. Mais comme nous l’avons ØvoquØ plus haut et comme nous le verrons en dØ- tails plus tard, la thØorie actuelle ne peut pas satisfaire notre intuition. Plus grave encore est le fait que l’on ne sait toujours pas comment uni er la phy- sique quantique avec la relativitØ gØnØrale. En n une autre di cultØ est que la thØorie quantique des champs, qui dØcrit avec une prØcision extraordinaire les interactions entre particules, repose sur des calculs qui n’ont aucune base mathØmatique (mŒme si les techniques mathØmatique qui ont ØtØ dØveloppØes autour de cette thØorie, comme par exemple la thØorie de la renormalisation, sont des constructions subtiles et puissantes). Il semble que l’on n’ait toujours pas bien compris quelles devaient Œtre les bases physiques et mathØmatiques 8 de cette thØorie. Ainsi toutes ces considØrations conduisent penser que nos connaissances actuelles ne nous permettent pas de saisir rØellement en quoi consiste la physique quantique. En attendant il est donc important de com- prendre la thØorie actuelle comme le rØsultat d’un long cheminement, d’ pres discussions, de changement de perspectives. Ce chemin n’est toujours pas ter- minØ et il y aura probablement d’autres rØvolutions avant d’arriver (espØrons- le) une thØorie complŁte. Et il est probable que beaucoup d’idØes relØguØes aux oubliettes seront remises l’honneur (sous une forme sans doute modi- Øe) au cours des rØvolutions venir, comme c’est l’habitude en physique, plus encore qu’en mathØmatiques. C’est pourquoi nous commencerons par deux questions anciennes, qui sont l’origine de cette aventure : les interactions thermodynamiques entre la matiŁre et la lumiŁre et le spectre (discret) de la lumiŁre Ømise par les atomes. Dans la conception de ce cours, nous avons bien entendu largement utilisØ les rØfØrences bibliographiques qui sont mentionnØes au cours du texte. Mais nous nous sommes aussi beaucoup inspirØs du livre formidable sur les proba- 1bilitØs de Jacques Harthong , la fois comme modŁle de style d’exposition et aussi en lui empruntant un certain nombre de discussions sur l’ergodicitØ et le calcul de Planck. DeuxiŁmement la construction mŒme de ce cours, en tentant de dØvelopper les idØes suivant un parcours proche du cheminement historique, doit beaucoup de nombreuses discussions avec Joseph Kounei- her ainsi qu’ un certain nombre de notes qu’il m’a communiquØes. 1cf. http ://moire4.u-strasbg.fr/bouquins/proba/tabmat1.htm 9 10