Introduction au Random Field Theory

Jean-Etienne Poirrier

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• Publié par: Allu
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Extrait

S.P.M.forDummies IntroductionauRandomFieldTheory Jean-EtiennePoirrier ∗ 9janvier2006 Tabledesmatie`res 1Introduction3 1.1Descartesstatistiquesparame´triquesa`la3D.....................3 1.2Quelquesde´finitions...................................4 1.3Quelssontlesproble`mes?................................4 2Leproble`medelacomparaisonmultiple5 2.1L’hypothe`senulleenstatistiquesclassiques......................5 2.2Applicationdel’hypothe`senulleenimageriefonctionnelle..............5 2.3Lesme´thodesdetestdel’hypothe`senullelie´ea`lafamille..............6 2.4Seuildehauteuretpouvoirdelocalisation.......................6 3LacorrectiondeBonferroni7 3.1Expressionmathe´matiquedelacorrectiondeBonferroni...............8 3.2Exemple..........................................9 3.3LacorrectiondeBonferronin’estsouventpasapplicable!..............9 4Lacorre´lationspatiale9 4.1Corre´lationduea`lacollectedesdonne´es........................10 4.2Corre´lationdueaupre´-traitement...........................10 4.2.1Re´-alignement,normalisationspatiale,re´-e´chantillonnage..........10 4.2.2Lissage......................................10 5Bonferronin’estpasapplicableenimageriefonctionnelle10 5.1Unpeudemaths.....................................11 5.2Exemple..........................................11 5.3Lelissageetlesobservationsinde´pendantes......................13 ∗ Cetexteestuneversione´tendue,“brode´e”enfranc¸aisautourdeschapitres13et14dulivre“HumanBrain Function”deAshburner,FristonetPenny[1].J’aiessaye´detraduireunmaximumdetermestechniquesenfranc¸ais, meˆmesiparfois,celafriseleridicule.Cetextem’apermisdemieuxpre´parermapre´sentationauCentredeRecherches duCyclotrondel’Universite´deLie`ge,le11janvier2006.Jen’aijamaistouche´nia`lare´sonnancemagne´tique fonctionnellenia`S.P.M.maisjepensaisquecet“exercicedestyle”pourraitm’apprendrebeaucoupsurcestechniques statistiqueset,e´ventuellement,lesappliquera`d’autresdomainesd’analysed’imagesenbiologie.Bon,cen’estpas pourtoutdesuite...Saufmentioncontraire(notammentlesimagesdulivre),touslesdocumentssontsouslicence GNUFDLetdisponiblesa`l’adressehttp://www.poirrier.be/jean-etienne/presentations/rft/ 1

TABLEDESMATIE ` RES 6LaRandomFieldTheory 6.1Lecaracte`relisseetlesresels.............................. 6.2Lacaracte´ristiqued’Euler................................ 6.2.1Exemple...................................... 6.2.2Significationdelacaracte´ristiqued’Eulerattendue.............. 6.2.3Calculdelacaracte´ristiqued’Eulerattendue................. 6.2.4Applicationdelacaracte´ristiqued’Eulercalcule´ea`notreexemple..... 6.3Lesseuilstrouve´sparlaRFTetlacorrectiondeBonferroni............. 6.4LaRFTetl’imageriefonctionnelle3D......................... 6.5Lesvraiesde´pendancesdel’ECattendue........................ 6.6Leshypothe`sesre´gionales................................ 7Suppositionspre´alables 7.1Casou`lessuppositionspre´alablesdelaRFTnesontpasrespecte´es........ 8LaRFT,unpasplusloin 8.1Lemaximumdelastatistiquedetest.......................... 8.1.1ApplicationdelacorrectiondeBonferroni................... 8.1.2ApplicationdelaRFT.............................. 8.1.3Pratiquement.................................... 8.2L’e´tenduespatialemaximaleduteststatistique.................... 8.2.1Larecherchedansdepetitesre´gions...................... 8.3Quelquesde´tailssupple´mentaires............................ 8.3.1L’estimationdelaFWHM............................ 8.4LaFalseDiscoveryRate................................. 9Etou`allons-nous,maintenant? 2 41 41 51 51 51 61 61 91 91 02 22 22 22 32 32 32 42 42 52 62 62 62 72 72

1INTRODUCTION Fig. 1–Sche´madeprocessusdetraitementenimagerie(imagereprisedulivre) 3 1Introduction Cechapitrevatraiterduproble`medescomparaisonsmultiplesenimageriefonctionnelle,dela manie`redelere´soudre,notammentgraˆcea`lathe´orieduchampdehasard(RandomFieldTheory ouRFT). Pourrappel,noussommesdansl’imagerieenneurosciences.Cedomaineutilisedestechniques commelatomographiepare´missiondepositron(PositronEmissionTomography,PET)oul’ima- geriefonctionnelleparre´sonnancemagne´tique(functionalmagneticresonanceimaging,fMRI). Dansleschapitrespre´ce´dents,vousavezvu: –laneuroanatomie“computationelle”.Cetteparties’occupaitdure´alignementetdelanorma- lisationspatiales.Eneffet,lesdonne´esbrutesdeneuroimageriecontiennentdescomposantes devariancesnonde´sire´es.Ceschapitres1a`6vousontpermisdevoircommentre´duire cescomposantesetlesdiffe´rentesmanie`redere´-alignertouteslesimagesvariablesacquises dansunespaceanatomiquestandard.Lesbutssont,biensuˆr,depouvoiraise´mentcomparer cesdonne´esainsi“standardise´es”entresujets,groupes,expe´riences,laboratoires,etc.mais surtoutdepre´parercesdonne´esa`l’analyseproprementdite. –lamode´lisation(decequiae´te´enregistre´)estcetteanalyse,renduepossiblesurtoutgraˆceau mode`leline´airege´ne´ral(generallinearmodel,GLM).Cettemode´lisationestvueende´tails auxchapitres7a`13. Finalement,l’infe´rencestatistiquequenousallonsvoir(etquisuivradansleschapitressuivants) permettradepasserd’unensembledecartes(inde´pendantes?)a`lade´terminationd’uneffetdans l’ensembledetoutescescartes.Nousarrivonsdanslapartieenbas,a`droiteduprocessusde traitementillustre´a`lafigure1. 1.1Descartesstatistiquesparame´triquesa`la3D Commejelecomprends,lesimagesobtenuessontge´ne´ralementanalyse´essousformede“cartes” dedonne´esstatistiques.Cescartessontobtenuespardesprocessusstatistiquese´tendusa`l’espace quisontla`pourtesterleshypothe`sesd’effetsspe´cifiquesre´gionaux.Onn’apasdecartesdepixels commeleprendraitunappareilphoto(donnantuneimage2Ddontchacundese´le´mentsfinis,

1INTRODUCTION4 appele´spixels,repre´sententlaprojectiond’unecouleurd’unespace3Den2D).Onaunecarte(et meˆmeunvolume)devoxels 1 . Lescartesdestatistiquesparame´triques(statisticalparametricmaps,SPM)sontissuesde cesprocessusstatistiquesetcontiennentdoncdesvoxelsdontlesvaleurssontdistribue´esselon unefonctiondedensite´deprobabilite´connue(sousl’hypothe`senulle).Lesdistributionsutilise´es habituellementsontlaTdeStudentetlaF(respectivement“carteT”et“carteF”). Dansuneanalysed’imageriefonctionnellestandard,nousfaisonscorrespondreunmode`lesta- tistiqueauxdonne´es,afindenousdonnerlesparame`tresdumode`le.Nousutilisonsalorscespa- rame`trespourchercheruneffetquipourraitnousinte´resser(comme,parexemple,unediffe´rence entreunelignedebaseetunetaˆche).Danslecasdecetteimagerie,pourchaquevoxelducerveau, nouscalculonsunevaleurstatistiquequiestunesortedetestpourjugerdel’inte´reˆtdecevoxel. Aufinal,nousnousretrouvonsavecungrandvolumedevaleursstatistiques. Ainsi,e´nonce´encoreautrement,chaquevoxelestcalcule´a`partird’unteststatistiquestandard univarie´.Lesparame`tresstatistiquesre´sultantssontassemble´sdansuneimage:laSPM. Desgensontaboutiaumode`leline´airege´ne´ral(generallinearmodel,GLM)pourestimer quelquesparame`tresquipourraientexpliquerlacontinuite´spatialedesdonne´esanalyse´es.Plus dede´tailsonte´te´fournispre´ce´demment.Notezquel’analysedeseffetsduhasard(random-effects analysis)estunsujetdiffe´rentdecequenousvoyonsici:cetteanalysepermetdecre´erdes infe´rencesausujetd’unepopulationa`partirdelaquellelessujetsonte´te´tire´seta`partirdes donne´esre´colte´essurcessujetsuniquement(etpastoutelapopulation).DanslecasdelaRFT, nousallonscomparerdesvoxels,pasdessujets. Onenarrivefinalementa`l’infe´rence,ou`lathe´oriedeschampsdehasardentreenjeupour re´soudreleproble`medecomparaisonmultiplequisurvientlorsqu’ondoitproduiredesinfe´rences surunvolumedecerveau. 1.2Quelquesde´finitions Pourfixerleside´esetessayerdecomprendredequoionparle,voiciquelquesde´finitionsge´ne´rales (ge´ne´ralistes)desmotslesplusemploye´s: –L’infe´renceestuneope´rationlogiqueparlaquelleonadmetunepropositionenvertudesa liaisonavecd’autrespropositionsde´ja`tenuespourvraies(synonymedede´duction,d’induc- )noit –Unethe´orieestuneconstructionintellectuelleme´thodiqueetorganise´e,decaracte`rehy- pothe´tique(au-moinsencertainesdesesparties)etsynthe´tique –Unchamp(fieldenanglais)devraiteˆtrepris,ici,jecrois,commeundomaine(espaceou milieunaturel)ou`semanifesteunphe´nome`nephysiquede´termine´entoutpoint –Finalement,lehasard(randomenanglais)estuncas,une´ve´nementfortuit,unconcoursde circonstancesinattendusetinexplicables 1.3Quelssontlesprobl`emes? Danscettepartie,nousnousinte´ressonsa`l’infe´renceauniveaud’unensembledevoxels.De- vantunchampdevoxels,cettepartievanouspermettredere´pondrea`laquestion:“est-ceque l’activationa`unvoxeldonne´estsignificativementdiffe´rentedeze´ro?”.Cevoxelest-ilactive´,oui ounon?Sioui,est-ceduauhasardouest-ceunvraieffetbiologique? Alafindelamode´lisation,nousnousretrouvonsavecungrandvolumedevaleursstatistiques. Commentfait-onpour“trier”toutc¸a`?Commentfait-onpourtrouveruneffetquelquepart?Et 1 voxel,contractionde“volumepixel”:lapluspetitepartiedistinguable(enformedeboıˆteoucube)d’uneimage tridimentionnelle...(voirchapitrespre´ce´dents)

2LEPROBLE ` MEDELACOMPARAISONMULTIPLE Degre´sdeα liberte´s0.050.020.01 302.0422.4572.750 402.0212.4232.704 1 6 2 0 01 2 . . 9 0 8 0 0 0 2 2 . . 3 3 5 9 8 0 2 2 . .6 6 6 1 0 7 ∞ 1.9602.3262.576 Tab. 1–Quelquesvaleursdelatablededistributionnullepourt 5 pourquoila`etpasailleurs?Ceproble`men’estpasrendufaciledufaitqu’ilyaplusieursmilliers devoxelsetdoncplusieursmilliersdevaleursstatistiques.Enunmot:c’estbeaucoup! 2Leproble`medelacomparaisonmultiple Leproble`medelacomparaisonmultipleenimageriefonctionnelleestdoncqu’ilyabeaucoup dedonne´esa`traiter. 2.1L’hypothe`senulleenstatistiquesclassiques Lorsquenouscalculonsunevaleurstatistique,noussouhaitonssouventsavoirsicettevaleur repre´senteunee´videnceconvaincantedel’effetquenousrecherchons.Pourcela,nousutilisons souventl’hypothe`senulle,ca`d.l’hypothe`sequ’iln’yapasd’effet.Ensuite,nouslacomparonsa` notrevaleur. Poureffectuercettecomparaison,nousavonsbesoind’unedistributionnulle:ladistribution devaleursstatistiquesquenousattendrionss’iln’yavaitaucuneffet.Enutilisantcettedistribution nulle,nouspouvonsestimerla(mal)chancequenosvaleursstatistiquessoientla`parhasard. Parexemple,nouspouvonsvoirquenotrere´sultata5%dechancedeprovenirdeladistribution nulle(encorrolaire,cere´sultata95%dechancedenepasenproveniretdoncd’eˆtreuneffet). Nousde´cidonsalorsderejetterl’hypothe`senulleet,donc,d’accepterl’hypothe`sealternativequ’il yauneffet.Mais,les5%sonttoujoursla`:lorsqu’onrejettel’hypothe`senulle,nousacceptonsqu’il yait5%de(mal)chancequelere´sultatn’ait,enfait,aucuneffet.Nousacceptonsqu’ilyaitun “risque”de5%quel’hypothe`senullesoitquandmeˆmevraie. Ces5%sontletauxd’erreurdetypeI(typeIerrorrate):lachance(oulerisque)quenous prenonsd’eˆtredansl’erreurquandnousrejettonsl’hypothe`senulle. Parexemple,sinousfaisonsunseultesttdestudent,nouscomparonslavaleurdettrouve´e a`ladistributionnullepourlastatistiquet.Sinousavonsunevaleurdetde2.42et40degre´sde liberte´s,ladistributionnulledet(table1)nousindiquequelaprobabilite´d’observerunevaleur plusgrandeoue´gale(a`2.42),s’iln’yapasd’effetestde0.02.Dansnotrecas,nouspouvonsrejetter l’hypothe`senulleavecunrisquede2%pourl’erreurdetypeI. 2.2Applicationdel’hypothe`senulleenimageriefonctionnelle Lasituationestpluscomplique´eenimageriefonctionnelleparcequenousavonsplusieursvoxels etplusieursvaleursstatistiquesassocie´es.Sinousnesavonspas,apriori,ou`notreeffetvase produiredanslecerveau,notrehypothe`sedoitportersurlevolumeentierdesstatistiquesdansle cerveau.

2LEPROBLE ` MEDELACOMPARAISONMULTIPLE Statistiqueunivarie´e → Imageriefonctionnelle 1donne´eobserve´e → plusieursvoxels 1valeurstatistique → familledevaleursstatistiques typeIerrorrate → family-wiseerrorrate,FWE hypothe`senulle → hypothe`senullelie´ea`lafamille Tab. 2–Tabledecorrespondancedesnotationsstatistiques 6 Lapreuvecontrel’hypothe`senulleseraitalorsquel’ensembleduvolumeobserve´desvaleursne proviennepasd’unedistributionnulle.Donc,nousnousposonsmaintenantnonpluslaquestion del’effetd’unevaleurmaisdeplusieursvaleurs.Onditqu’onseposelaquestiondel’effetsurle volumeoulafamilledestatistiquessurlesvoxels. Lerisqued’erreurquenoussommespreˆtsa`accepterdevienttauxd’erreurlie´a`lafamille (Family-wiseErrorRate,FWE).FWEestdonclaprobabilite´quecettefamilledevaleurs(associe´es auxvoxels)soitapparueparchance.Nouspouvonsainsire´sumerleschangementsdanslatable2. 2.3Lesme´thodesdetestdel’hypothe`senullelie´ea`lafamille Nouspouvonstesterl’hypothe`senullelie´ea`lafamille(family-wisenullhypothesis)de3 manie`res: 1.avecunseuildehauteur(heightthreshold), 2.avecuneinfe´renceauniveaud’unensemble(set-levelinference), 3.avecuneinfe´renceauniveaud’uncluster(cluster-levelinference) Onvavoirleseuildehauteura`lasectionsuivante(section2.4);lesdeuxtypesd’infe´rences serontvusdansdeschapitresetpre´sentationsulte´rieures. 2.4Seuildehauteuretpouvoirdelocalisation Pourtesterl’hypothe`senullelie´ea`lafamille,uneme´thodeutileestdecherchertoutevaleur statistiquequiestplusgrandequenouspourrionsattendresiellesvenaienttoutesd’unedistribution nulle. Maiscetteme´thodedemandequ’onfixecequec¸a`veutdire“plusgrandque”:plusgrand quequellevaleur?Cetteme´thoderequie`redoncqu’onfixeunseuila`appliquera`chaquevaleur statistique.Ainsi,pourtoutevaleurstatistiquequiserasupe´rieurea`ceseuil,ilseraimprobable qu’ellesoitarriv´eeparchance(hasard)(figure2). Oncherchedoncunseuildehauteur.Onappellecetterecherchelafixationduseuilde hauteur(heightthresholding). L’avantageprincipaldecetterechercheestqu’elleaunpouvoirdelocalisation(localising power).Ainsi,siontrouvequ’unevaleurstatistiqueestplushautequeleseuil,nouspouvons conclurequ’ilyauneffetauniveauduvoxel(desalocalisation)associe´a`cettevaleurstatistique. Cependant,unseuildehauteurquipeut“controˆler”untauxd’erreurlie´a`lafamille(FWE) doittenircomptedunombredetest. Eneffet,sionreprendl’exemplevupre´ce´demment:unevaleurstatistiquetdeladistribution nulleavec40degre´sdeliberte´sauneprobabilite´de2%d’eˆtreplusgrandque2.42.Maintenant, imaginonsquenotreexpe´rienceage´ne´re´1000valeursdet(toujoursavec40degre´sdeliberte´s).Si nousregardonschacunedecesvaleurs,ellesaurontchacune,individuellement,uneprobabilite´de 2%d’eˆtreplusgrandeque2.42.Celasignifiequenousnousattendonsa`avoir20valeursdet(de notree´chantillonde1000valeurs)plusgrandesque2.42.