Introduction au Random Field Theory
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Description

S.P.M. for Dummies
Introduction au Random Field Theory
∗Jean-Etienne Poirrier
9 janvier 2006
Table des mati`eres
1 Introduction 3
1.1 Des cartes statistiques param´etriques `a la 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Quelques d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Quels sont les probl`emes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Le probl`eme de la comparaison multiple 5
2.1 L’hypoth`ese nulle en statistiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Application de l’hypoth`ese nulle en imagerie fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Les m´ethodes de test de l’hypoth`ese nulle li´ee a` la famille . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Seuil de hauteur et pouvoir de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 La correction de Bonferroni 7
3.1 Expression math´ematique de la correction de Bonferroni . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 La correction de Bonferroni n’est souvent pas applicable! . . . . . . . . . . . . . . 9
4 La corr´elation spatiale 9
4.1 Corr´elation due a` la collecte des donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Corr´elation due au pr´e-traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2.1 R´e-alignement, normalisation spatiale, r´e-´echantillonnage . . . . . . . . . . 10
4.2.2 Lissage . . ...

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Langue Français
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Exrait

S.P.M.forDummiesIntroductionauRandomFieldTheoryJean-EtiennePoirrier9janvier2006Tabledesmatie`res1Introduction31.1Descartesstatistiquesparame´triquesa`la3D.....................31.2Quelquesde´nitions...................................41.3Quelssontlesproble`mes?................................42Leproble`medelacomparaisonmultiple52.1Lhypothe`senulleenstatistiquesclassiques......................52.2Applicationdelhypothe`senulleenimageriefonctionnelle..............52.3Lesme´thodesdetestdelhypothe`senullelie´ea`lafamille..............62.4Seuildehauteuretpouvoirdelocalisation.......................63LacorrectiondeBonferroni73.1Expressionmathe´matiquedelacorrectiondeBonferroni...............83.2Exemple..........................................93.3LacorrectiondeBonferroninestsouventpasapplicable!..............94Lacorre´lationspatiale94.1Corre´lationduea`lacollectedesdonne´es........................104.2Corre´lationdueaupre´-traitement...........................104.2.1Re´-alignement,normalisationspatiale,re´-e´chantillonnage..........104.2.2Lissage......................................105Bonferroninestpasapplicableenimageriefonctionnelle105.1Unpeudemaths.....................................115.2Exemple..........................................115.3Lelissageetlesobservationsinde´pendantes......................13Cetexteestuneversione´tendue,“brode´e”enfranc¸aisautourdeschapitres13et14dulivre“HumanBrainFunction”deAshburner,FristonetPenny[1].J’aiessaye´detraduireunmaximumdetermestechniquesenfranc¸ais,meˆmesiparfois,celafriseleridicule.Cetextem’apermisdemieuxpre´parermapre´sentationauCentredeRecherchesduCyclotrondel’Universite´deLie`ge,le11janvier2006.Jen’aijamaistouche´nia`lare´sonnancemagne´tiquefonctionnellenia`S.P.M.maisjepensaisquecet“exercicedestyle”pourraitm’apprendrebeaucoupsurcestechniquesstatistiqueset,e´ventuellement,lesappliquera`d’autresdomainesd’analysed’imagesenbiologie.Bon,cen’estpaspourtoutdesuite...Saufmentioncontraire(notammentlesimagesdulivre),touslesdocumentssontsouslicenceGNUFDLetdisponiblesa`l’adressehttp://www.poirrier.be/jean-etienne/presentations/rft/1
TABLEDESMATIE`RES6LaRandomFieldTheory6.1Lecaracte`relisseetlesresels..............................6.2Lacaracte´ristiquedEuler................................6.2.1Exemple......................................6.2.2Signicationdelacaracte´ristiquedEulerattendue..............6.2.3Calculdelacaracte´ristiquedEulerattendue.................6.2.4Applicationdelacaracte´ristiquedEulercalcule´ea`notreexemple.....6.3Lesseuilstrouve´sparlaRFTetlacorrectiondeBonferroni.............6.4LaRFTetlimageriefonctionnelle3D.........................6.5Lesvraiesde´pendancesdelECattendue........................6.6Leshypothe`sesre´gionales................................7Suppositionspre´alables7.1Casou`lessuppositionspre´alablesdelaRFTnesontpasrespecte´es........8LaRFT,unpasplusloin8.1Lemaximumdelastatistiquedetest..........................8.1.1ApplicationdelacorrectiondeBonferroni...................8.1.2ApplicationdelaRFT..............................8.1.3Pratiquement....................................8.2Le´tenduespatialemaximaleduteststatistique....................8.2.1Larecherchedansdepetitesre´gions......................8.3Quelquesde´tailssupple´mentaires............................8.3.1LestimationdelaFWHM............................8.4LaFalseDiscoveryRate.................................9Etou`allons-nous,maintenant?2414151515161619191022222223232324242526262627272
1INTRODUCTIONFig.1–Sche´madeprocessusdetraitementenimagerie(imagereprisedulivre)31IntroductionCechapitrevatraiterduproble`medescomparaisonsmultiplesenimageriefonctionnelle,delamanie`redelere´soudre,notammentgraˆcea`lathe´orieduchampdehasard(RandomFieldTheoryouRFT).Pourrappel,noussommesdansl’imagerieenneurosciences.Cedomaineutilisedestechniquescommelatomographiepare´missiondepositron(PositronEmissionTomography,PET)oul’ima-geriefonctionnelleparre´sonnancemagne´tique(functionalmagneticresonanceimaging,fMRI).Dansleschapitrespre´ce´dents,vousavezvu:–laneuroanatomie“computationelle”.Cetteparties’occupaitdure´alignementetdelanorma-lisationspatiales.Eneffet,lesdonne´esbrutesdeneuroimageriecontiennentdescomposantesdevariancesnonde´sire´es.Ceschapitres1a`6vousontpermisdevoircommentre´duirecescomposantesetlesdiffe´rentesmanie`redere´-alignertouteslesimagesvariablesacquisesdansunespaceanatomiquestandard.Lesbutssont,biensuˆr,depouvoiraise´mentcomparercesdonne´esainsi“standardise´es”entresujets,groupes,expe´riences,laboratoires,etc.maissurtoutdepre´parercesdonne´esa`l’analyseproprementdite.–lamode´lisation(decequiae´te´enregistre´)estcetteanalyse,renduepossiblesurtoutgraˆceaumode`leline´airege´ne´ral(generallinearmodel,GLM).Cettemode´lisationestvueende´tailsauxchapitres7a`13.Finalement,l’infe´rencestatistiquequenousallonsvoir(etquisuivradansleschapitressuivants)permettradepasserd’unensembledecartes(inde´pendantes?)a`lade´terminationd’uneffetdansl’ensembledetoutescescartes.Nousarrivonsdanslapartieenbas,a`droiteduprocessusdetraitementillustre´a`lafigure1.1.1Descartesstatistiquesparame´triquesa`la3DCommejelecomprends,lesimagesobtenuessontge´ne´ralementanalyse´essousformede“cartes”dedonne´esstatistiques.Cescartessontobtenuespardesprocessusstatistiquese´tendusa`l’espacequisontla`pourtesterleshypothe`sesd’effetsspe´cifiquesre´gionaux.Onn’apasdecartesdepixelscommeleprendraitunappareilphoto(donnantuneimage2Ddontchacundese´le´mentsfinis,
1INTRODUCTION4appele´spixels,repre´sententlaprojectiond’unecouleurd’unespace3Den2D).Onaunecarte(etmeˆmeunvolume)devoxels1.Lescartesdestatistiquesparame´triques(statisticalparametricmaps,SPM)sontissuesdecesprocessusstatistiquesetcontiennentdoncdesvoxelsdontlesvaleurssontdistribue´esselonunefonctiondedensite´deprobabilite´connue(sousl’hypothe`senulle).Lesdistributionsutilise´eshabituellementsontlaTdeStudentetlaF(respectivement“carteT”et“carteF”).Dansuneanalysed’imageriefonctionnellestandard,nousfaisonscorrespondreunmode`lesta-tistiqueauxdonne´es,afindenousdonnerlesparame`tresdumode`le.Nousutilisonsalorscespa-rame`trespourchercheruneffetquipourraitnousinte´resser(comme,parexemple,unediffe´renceentreunelignedebaseetunetaˆche).Danslecasdecetteimagerie,pourchaquevoxelducerveau,nouscalculonsunevaleurstatistiquequiestunesortedetestpourjugerdel’inte´reˆtdecevoxel.Aufinal,nousnousretrouvonsavecungrandvolumedevaleursstatistiques.Ainsi,e´nonce´encoreautrement,chaquevoxelestcalcule´a`partird’unteststatistiquestandardunivarie´.Lesparame`tresstatistiquesre´sultantssontassemble´sdansuneimage:laSPM.Desgensontaboutiaumode`leline´airege´ne´ral(generallinearmodel,GLM)pourestimerquelquesparame`tresquipourraientexpliquerlacontinuite´spatialedesdonne´esanalyse´es.Plusdede´tailsonte´te´fournispre´ce´demment.Notezquel’analysedeseffetsduhasard(random-effectsanalysis)estunsujetdiffe´rentdecequenousvoyonsici:cetteanalysepermetdecre´erdesinfe´rencesausujetd’unepopulationa`partirdelaquellelessujetsonte´te´tire´seta`partirdesdonne´esre´colte´essurcessujetsuniquement(etpastoutelapopulation).DanslecasdelaRFT,nousallonscomparerdesvoxels,pasdessujets.Onenarrivefinalementa`l’infe´rence,ou`lathe´oriedeschampsdehasardentreenjeupourre´soudreleproble`medecomparaisonmultiplequisurvientlorsqu’ondoitproduiredesinfe´rencessurunvolumedecerveau.1.2Quelquesde´nitionsPourfixerleside´esetessayerdecomprendredequoionparle,voiciquelquesde´finitionsge´ne´rales(ge´ne´ralistes)desmotslesplusemploye´s:–L’infe´renceestuneope´rationlogiqueparlaquelleonadmetunepropositionenvertudesaliaisonavecd’autrespropositionsde´ja`tenuespourvraies(synonymedede´duction,d’induc-)noit–Unethe´orieestuneconstructionintellectuelleme´thodiqueetorganise´e,decaracte`rehy-pothe´tique(au-moinsencertainesdesesparties)etsynthe´tique–Unchamp(fieldenanglais)devraiteˆtrepris,ici,jecrois,commeundomaine(espaceoumilieunaturel)ou`semanifesteunphe´nome`nephysiquede´termine´entoutpoint–Finalement,lehasard(randomenanglais)estuncas,une´ve´nementfortuit,unconcoursdecirconstancesinattendusetinexplicables1.3Quelssontlesprobl`emes?Danscettepartie,nousnousinte´ressonsa`l’infe´renceauniveaud’unensembledevoxels.De-vantunchampdevoxels,cettepartievanouspermettredere´pondrea`laquestion:“est-cequel’activationa`unvoxeldonne´estsignificativementdiffe´rentedeze´ro?”.Cevoxelest-ilactive´,ouiounon?Sioui,est-ceduauhasardouest-ceunvraieffetbiologique?Alafindelamode´lisation,nousnousretrouvonsavecungrandvolumedevaleursstatistiques.Commentfait-onpour“trier”toutc¸a`?Commentfait-onpourtrouveruneffetquelquepart?Et1voxel,contractiondevolumepixel:lapluspetitepartiedistinguable(enformedeboıˆteoucube)duneimagetridimentionnelle...(voirchapitrespre´ce´dents)
2LEPROBLE`MEDELACOMPARAISONMULTIPLEDegre´sdeαliberte´s0.050.020.01302.0422.4572.750402.0212.4232.7041620012..90800022..33598022..6661071.9602.3262.576Tab.1–Quelquesvaleursdelatablededistributionnullepourt5pourquoila`etpasailleurs?Ceproble`men’estpasrendufaciledufaitqu’ilyaplusieursmilliersdevoxelsetdoncplusieursmilliersdevaleursstatistiques.Enunmot:c’estbeaucoup!2Leproble`medelacomparaisonmultipleLeproble`medelacomparaisonmultipleenimageriefonctionnelleestdoncqu’ilyabeaucoupdedonne´esa`traiter.2.1Lhypothe`senulleenstatistiquesclassiquesLorsquenouscalculonsunevaleurstatistique,noussouhaitonssouventsavoirsicettevaleurrepre´senteunee´videnceconvaincantedel’effetquenousrecherchons.Pourcela,nousutilisonssouventl’hypothe`senulle,ca`d.l’hypothe`sequ’iln’yapasd’effet.Ensuite,nouslacomparonsa`notrevaleur.Poureffectuercettecomparaison,nousavonsbesoind’unedistributionnulle:ladistributiondevaleursstatistiquesquenousattendrionss’iln’yavaitaucuneffet.Enutilisantcettedistributionnulle,nouspouvonsestimerla(mal)chancequenosvaleursstatistiquessoientla`parhasard.Parexemple,nouspouvonsvoirquenotrere´sultata5%dechancedeprovenirdeladistributionnulle(encorrolaire,cere´sultata95%dechancedenepasenproveniretdoncd’eˆtreuneffet).Nousde´cidonsalorsderejetterl’hypothe`senulleet,donc,d’accepterl’hypothe`sealternativequ’ilyauneffet.Mais,les5%sonttoujoursla`:lorsqu’onrejettel’hypothe`senulle,nousacceptonsqu’ilyait5%de(mal)chancequelere´sultatn’ait,enfait,aucuneffet.Nousacceptonsqu’ilyaitun“risque”de5%quel’hypothe`senullesoitquandmeˆmevraie.Ces5%sontletauxd’erreurdetypeI(typeIerrorrate):lachance(oulerisque)quenousprenonsd’eˆtredansl’erreurquandnousrejettonsl’hypothe`senulle.Parexemple,sinousfaisonsunseultesttdestudent,nouscomparonslavaleurdettrouve´ea`ladistributionnullepourlastatistiquet.Sinousavonsunevaleurdetde2.42et40degre´sdeliberte´s,ladistributionnulledet(table1)nousindiquequelaprobabilite´d’observerunevaleurplusgrandeoue´gale(a`2.42),s’iln’yapasd’effetestde0.02.Dansnotrecas,nouspouvonsrejetterl’hypothe`senulleavecunrisquede2%pourl’erreurdetypeI.2.2Applicationdelhypothe`senulleenimageriefonctionnelleLasituationestpluscomplique´eenimageriefonctionnelleparcequenousavonsplusieursvoxelsetplusieursvaleursstatistiquesassocie´es.Sinousnesavonspas,apriori,ou`notreeffetvaseproduiredanslecerveau,notrehypothe`sedoitportersurlevolumeentierdesstatistiquesdanslecerveau.
2LEPROBLE`MEDELACOMPARAISONMULTIPLEStatistiqueunivarie´eImageriefonctionnelle1donne´eobserve´eplusieursvoxels1valeurstatistiquefamilledevaleursstatistiquestypeIerrorratefamily-wiseerrorrate,FWEhypothe`senullehypothe`senullelie´ea`lafamilleTab.2–Tabledecorrespondancedesnotationsstatistiques6Lapreuvecontrel’hypothe`senulleseraitalorsquel’ensembleduvolumeobserve´desvaleursneproviennepasd’unedistributionnulle.Donc,nousnousposonsmaintenantnonpluslaquestiondel’effetd’unevaleurmaisdeplusieursvaleurs.Onditqu’onseposelaquestiondel’effetsurlevolumeoulafamilledestatistiquessurlesvoxels.Lerisqued’erreurquenoussommespreˆtsa`accepterdevienttauxd’erreurlie´a`lafamille(Family-wiseErrorRate,FWE).FWEestdonclaprobabilite´quecettefamilledevaleurs(associe´esauxvoxels)soitapparueparchance.Nouspouvonsainsire´sumerleschangementsdanslatable2.2.3Lesme´thodesdetestdelhypothe`senullelie´ea`lafamilleNouspouvonstesterl’hypothe`senullelie´ea`lafamille(family-wisenullhypothesis)de3manie`res:1.avecunseuildehauteur(heightthreshold),2.avecuneinfe´renceauniveaud’unensemble(set-levelinference),3.avecuneinfe´renceauniveaud’uncluster(cluster-levelinference)Onvavoirleseuildehauteura`lasectionsuivante(section2.4);lesdeuxtypesd’infe´rencesserontvusdansdeschapitresetpre´sentationsulte´rieures.2.4SeuildehauteuretpouvoirdelocalisationPourtesterl’hypothe`senullelie´ea`lafamille,uneme´thodeutileestdecherchertoutevaleurstatistiquequiestplusgrandequenouspourrionsattendresiellesvenaienttoutesd’unedistributionnulle.Maiscetteme´thodedemandequ’onfixecequec¸a`veutdire“plusgrandque”:plusgrandquequellevaleur?Cetteme´thoderequie`redoncqu’onfixeunseuila`appliquera`chaquevaleurstatistique.Ainsi,pourtoutevaleurstatistiquequiserasupe´rieurea`ceseuil,ilseraimprobablequ’ellesoitarriv´eeparchance(hasard)(figure2).Oncherchedoncunseuildehauteur.Onappellecetterecherchelafixationduseuildehauteur(heightthresholding).L’avantageprincipaldecetterechercheestqu’elleaunpouvoirdelocalisation(localisingpower).Ainsi,siontrouvequ’unevaleurstatistiqueestplushautequeleseuil,nouspouvonsconclurequ’ilyauneffetauniveauduvoxel(desalocalisation)associe´a`cettevaleurstatistique.Cependant,unseuildehauteurquipeut“controˆler”untauxd’erreurlie´a`lafamille(FWE)doittenircomptedunombredetest.Eneffet,sionreprendl’exemplevupre´ce´demment:unevaleurstatistiquetdeladistributionnulleavec40degre´sdeliberte´sauneprobabilite´de2%d’eˆtreplusgrandque2.42.Maintenant,imaginonsquenotreexpe´rienceage´ne´re´1000valeursdet(toujoursavec40degre´sdeliberte´s).Sinousregardonschacunedecesvaleurs,ellesaurontchacune,individuellement,uneprobabilite´de2%d’eˆtreplusgrandeque2.42.Celasignifiequenousnousattendonsa`avoir20valeursdet(denotree´chantillonde1000valeurs)plusgrandesque2.42.
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