Kondo effect out of equilibrium [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Thomas Korb

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Kondo e ect out of equilibriumVon der Fakult at fur Mathematik, Informatik und Naturwissenschaftender Rheinisch-Westf alischen Technischen Hochschule Aachenzur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors derhaftengenehmigte Dissertationvorgelegt vonDipl.-Phys. Thomas Korbaus Wolfen/Sachsen-AnhaltBerichter: Universit atsprofessor Dr. phil. Herbert SchoellerUniversit Dr. rer. nat. Jurgen K onigTag der mundlic hen Prufung: 27. September 2006Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfugbar.2ZusammenfassungKorrelationen sind ein zentraler Begri der modernen Physik der konden-sierten Materie. Fur die theoretische Beschreibung von Korrelationen imthermischen Gleichgewicht stehen viele analytische und numerische Metho-den zur Verfugung.Mit der Entwicklung der mesoskopischen Physik wurde es m oglich, korrelierteSysteme im Nichtgleichgewicht zu studieren. Station ares Nichtgleichgewichtkann beispielsweise erreicht werden, indem man einen station aren Stromdurch einen Quantenpunkt iessen l asst. Eine grundlegende Frage ist, wiesich Korrelationen und Nichtgleichgewichtsstrom gegenseitig beein ussen.Die theoretische Beschreibung solcher Systeme ist eine neue Herausforderung,da die meisten etablierten Methoden zur Beschreibung von Korrelationen imGleichgewicht nicht einfach auf Nichtgleichgewichtssysteme verallgemeinertwerden k onnen.

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Publié le 01 janvier 2006
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Langue Deutsch
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Kondo e ect out of equilibrium
Von der Fakult at fur Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
der Rheinisch-Westf alischen Technischen Hochschule Aachen
zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors derhaften
genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Dipl.-Phys. Thomas Korb
aus Wolfen/Sachsen-Anhalt
Berichter: Universit atsprofessor Dr. phil. Herbert Schoeller
Universit Dr. rer. nat. Jurgen K onig
Tag der mundlic hen Prufung: 27. September 2006
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfugbar.2Zusammenfassung
Korrelationen sind ein zentraler Begri der modernen Physik der konden-
sierten Materie. Fur die theoretische Beschreibung von Korrelationen im
thermischen Gleichgewicht stehen viele analytische und numerische Metho-
den zur Verfugung.
Mit der Entwicklung der mesoskopischen Physik wurde es m oglich, korrelierte
Systeme im Nichtgleichgewicht zu studieren. Station ares Nichtgleichgewicht
kann beispielsweise erreicht werden, indem man einen station aren Strom
durch einen Quantenpunkt iessen l asst. Eine grundlegende Frage ist, wie
sich Korrelationen und Nichtgleichgewichtsstrom gegenseitig beein ussen.
Die theoretische Beschreibung solcher Systeme ist eine neue Herausforderung,
da die meisten etablierten Methoden zur Beschreibung von Korrelationen im
Gleichgewicht nicht einfach auf Nichtgleichgewichtssysteme verallgemeinert
werden k onnen.
In dieser Arbeit wird das Wechselspiel zwischen Korrelationen und Nicht-
gleichgewicht am Modellsystem eines Quantenpunktes im Kondo Regime
mit Hilfe der Realzeit Renormierungsgruppe (RTRG) studiert. Das ist eine
funktionale Renormierungsgruppen (RG)-Methode, die eine nicht-st orungs-
theoretische Beschreibung von korrelierten Systemen im Nichtgleichgewicht
erm oglicht. Die RTRG Methode wurde vorher bereits z.B. auf das Anderson-
Modell im Nichtgleichgewicht angewandt. Zur Beschreibung des Quanten-
punktes im Kondo Regime wird die Methode auf den Fall von Doppelvertizes
verallgemeinert, d.h. ein auf den Quantenpunkt zulaufendes Elektron wird
instantan gestreut.
Die RTRG-Methode liefert dabei nicht nur Gleichungen zur Berechnung
der renormierten Kopplungsst arke zwischen dem Quantenpunktspin und den
Elektronen im Reservoir, sondern auch Gleichungen zur Berechnung der De-
koh arenzrate und des Nichtgleichgewichtsstromes.
Die RG Gleichungen werden in zweiter Ordnung in der Kopplungsst arke
hergeleitet. Diese Approximation ist gultig, solange der Quantenpunkt nicht
in den Starkkopplungsbereich eintritt, d.h. die e ektiv e Kopplungs-
st arke nicht zu gro wird. Das ist erfullt, wenn die angelegte Spannung V
34
oder die Temperatur T viel gr osser als die Kondotemperatur T ist.K
Die RG-Gleichungen fuhren zu Kopplungsfunktionen, die von der Energie
des einfallenden und des gestreuten Elektrons abh angen. Diese Abh angigkeit
kann im Schwachkopplungslimes zu einer Abh angigkeit von der gemittelten
Energie des einfallendem und gestreuten Elektrons vereinfacht werden.
Eine genauere Analyse der RG-Gleichungen fur die Kopplungen zeigt, dass
diese sowohl Terme enthalten, welche zu einem logarithmischen Anstieg der
Kopplungsst arke fuhren, als auch sub-fuhrende Terme, deren Beitrag im
Schwachkopplungsbereich unwichtig ist. Fur den Fall vernachl assigter sub-
fuhrender Terme werden die RG-Gleichungen analytisch gel ost. Es wird
gezeigt, dass die Kopplungsfunktionen Resonanzen an den chemischen Po-
tentialen der Reservoire entwickeln. Die H ohe dieser Resonanzen h angt von
der Dekoh arenzrate ab. Jedoch haben diese Resonanzen fur grosse Span-
nungen (V T ) keinen Ein uss auf den Wert der Leitf ahigkeit einesK
Zwei-Kontakt Systems, d.h. die Leitf ahigkeit liefert keine Aussage ub er
die Dekoh arenzrate . Die Leitf ahigkeit ist eine universelle Funktion der
Parameter V=T und T=T im Schwachkopplungsbereich. Diese FunktionK K
wird analytisch in den Grenzf allen T V und V T berechnet. Weit-
erhin wird gezeigt, dass fur T = 0 die Dekoh arenzrate zum Nichtgle-
ichgewichtsstrom proportional ist. Das untermauert das physikalische Bild,
dass ein Nichtgleich- gewichtsstrom eine endliche Dekoh arenzrate nach sich
zieht, welche die lo- garithmischen Divergenzen abschneidet.
Weiterhin werden die RG Gleichungen inklusive der sub-fuhrenden Terme
fur den Fall T = 0 numerisch gel ost. Wie erwartet haben die sub-fuhrenden
Terme keinen Ein uss auf die Dekoh arenzrate und den Leitwert fur grosse
Spannungen (V T ). Andererseits fuhren sie zu starken AbweichungenK
von der analytischen N aherung, wenn die Spannung den Bereich der Kon-
dotemperatur erreicht (T . V ). Allgemein wird gefunden, dass die sub-K
fuhrenden Terme zu einer S attigung der Dekoh arenzrate und des Leitwerts
auf endliche Werte, anstelle der von der fuhrenden logarithmischen N aherung
vorhergesagten Divergenz fuhren. Jedoch h angt der genaue S attigungswert
von einem Regularisierungsparameter ab, der fur die numerische L osung
eingefuhrt werden muss. Daher sind keine Aussagen ub er den genauen Wert
von Dekoh arenz- rate und Leitwert in diesem Bereich m oglich.Summary
Correlations are a central ingredient of modern condensed matter physics. In
thermal equilibrium, there are many di eren t analytical and numerical tools
to study correlations theoretically.
With the advent of mesoscopic physics, it became possible to study corre-
lated systems in non-equilibrium situations experimentally. Stationary non-
equilibrium can be reached by e.g. driving a constant current through a
quantum dot. A basic question is how correlations on the one hand and a
non-equilibrium current on the other hand in uence each other.
The theoretical description of such systems is a new challenge, since most of
the established theoretical tools for the description of correlations in equilib-
rium cannot be generalized to non-equilibrium situations in a straightforward
way.
In this thesis the interplay of correlations and non-equilibrium is studied for
the model system of a quantum dot in the Kondo regime using the real time
renormalization group (RTRG) method. This method is a functional renor-
malization group (RG) method allowing a non-perturbative description of
correlated systems in non-equilibrium. The RTRG method had been applied
previouisly to e.g. the Anderson model out of equilibrium. For the Kondo
quantum dot the method is generalized to the case of double vertices, i.e. for
the case where an electron incident on the dot is scattered o immediately.
The RTRG method not only provides equations for the calculation of the
renormalized coupling between the quantum dot spin and the reservoir elec-
trons, but also equations for the calculation of the non-equilibrium decoher-
ence rate and the non-equilibrium current.
The RG equations are derived to second order. This approximation is ex-
pected to be valid as long as the quantum dot does not enter the strong
coupling regime, i.e. the e ectiv e coupling strength between the quantum
dot spin and the electrons does not become too large. It is found that this
is the case if the bias voltage V applied to the dot or the temperature T is
much larger than the Kondo temperature T .K
It is shown that the RG equations lead to coupling functions depending on
56
the energy of the incident and the scattered electron. This dependence is
simpli ed to the dependence on the average energy of the incident and the
scattered electron in the weak coupling regime.
A closer inspection of the RG equations for the couplings shows that they
not only contain terms leading to a logarithmic increase of the coupling
strength but also subleading terms which are unimportant in the weak cou-
pling regime. The RG equations are solved analytically for the case where
the subleading terms are neglected. It is found that the coupling functions
develop resonances at energies associated with the chemical potentials of the
reservoirs. The height of these resonances is determined by the decoherence
rate . However, for bias voltages V much larger than the Kondo temper-
ature T these resonances do not a ect the conductance for a two terminalK
setup, so the conductance does not provide a measure for the decoherence
rate in this case. I is found that the for the two termi-
nal setup is a universal function of V=T and T=T in the weak couplingK K
regime. This function is calculated analytically in the limits T V and
V T. Furthermore, it is found that for zero temperature the decoherence
rate is proportional to the non-equilibrium current o wing through the
system. This supports the physical picture that a non-equilibrium current is
associated with a decoherence rate, which cuts the logarithmic scaling of the
coupling strength.
Finally, the RG equations are solved numerically for zero temperature in-
cluding the subleading corrections found before. As expected, the subleading
corrections have no impact on the decoherence rate and the conductance
in the weak coupling regime (T V ). On the other hand, it is found thatK
they lead to strong deviations from the results of the analytic leading loga-
rithmic approximation if the bias voltage approaches the Kondo temperature
(V & T ). Generally, it is found that the subleading corrections lead to aK
saturation of the decoherence rate and the conductance to some nite value.
However, for the numerical solution a numerical regularization parameter
has to be introduced. It turns out that the saturation value found depends
on the value of , so no statements on the precise value of the decoherence
rate and the current can be made in this regime.Contents
Zusammenfassung 3
Summary 5
Introduction 11
1 Kondo physics in a nutshell 15
1.1 Kondo e ect in metals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Anderson impurity model and Kondo model . . . . . . 15
1.1.2 Transport calculations using the scattering T-matrix . 19
1.2 Kondo e ect in mesoscopic systems . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Quantum dots and Coulomb blockade . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Relation to the Anderson and Kondo model . . . . . . 24
1.2.3 Consequences for the linear conductance and experiments 26
2 Real time diagrammatics 29
2.1 Foundations of the Keldysh formalism . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Application to mesoscopic transport . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Integrating out the reservoirs . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4 Kinetic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.5 Conservation laws and sum rules . . . . . . . . . . . . 45
3 Real time RG 49
3.1 Motivation and functional formulation . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Diagrammatic derivation of RG equations . . . . . . . . . . . 51
3.3 Relation to perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 to poor man’s scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6 Concluding remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
78 CONTENTS
4 Solution of the RG equations 65
4.1 Introductory remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Ansatz for the superoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 RG equations for the couplings . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 RG for and I(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Analytic solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.5.1 Splitting of the vertex RG equations and cuto s . . . . 79
4.5.2 Leading logarithmic vertex scaling . . . . . . . . . . . . 80
4.5.3 Decoherence rate and current to leading logarithmic
order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.4 Special case: two reservoirs, symmetric coupling . . . . 85
4.6 Numerical solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6.1 Decoherence rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6.2 Di eren tial conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.6.3 Resume of the numerical results . . . . . . . . . . . . . 90
5 Conclusions 93
A Superoperator matrix representation 95
B Wick’s theorem 97
B.1 Wick’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
B.2 Calculation of the contractions (2.28) . . . . . . . . . . . . . . 100
B.3 Normal ordering along the contour . . . . . . . . . . . . . . . 101
C Perturbation calculations 103
C.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ndC.2 2 order calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
D Superoperator algebra 107
D.1 Basis superoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
D.1.1 Basis set 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
D.1.2 Basis set 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
D.2 Adjoint superoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
D.3 Trace expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
D.4 Time evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
D.5 Pauli matrix contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
D.6 Tables for the algebra of the basis sets . . . . . . . . . . . . . 114CONTENTS 9
E Calculation of the coupling function 117
E.1 Solution for
= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
E.2 for
= 0,j
j D=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
E.3 Upper bounds for g( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Publications 125
Acknowledgement 127
Curriculum Vitae 129
610 CONTENTS