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La préhistoire de la « géométrie moderne ». - article ; n°3 ; vol.2, pg 197-224

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Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1949 - Volume 2 - Numéro 3 - Pages 197-224
28 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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Publié le 01 janvier 1949
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Langue Français
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M Rene Taton
La préhistoire de la « géométrie moderne ».
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1949, Tome 2 n°3. pp. 197-224.
Citer ce document / Cite this document :
Taton Rene. La préhistoire de la « géométrie moderne ». In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1949, Tome
2 n°3. pp. 197-224.
doi : 10.3406/rhs.1949.2704
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1949_num_2_3_2704préhistoire de la « géométrie moderne »(*} La
La célèbre dissertation inaugurale de Félix Klein connue sous
le nom de Programme ďErlangen (1) marque dans l'histoire de la
géométrie une date d'une extrême importance. C'est d'elle en
effet que découlent la classification des diverses propriétés géomét
riques suivant le groupe des transformations qui les laissent
invariantes et la subdivision de la géométrie, considérée auparavant
comme un tout, en geometries particulières dont chacune est
attachée à un groupe de transformations donné (2). L'importance
de cette classification tient à la clarification qu'elle introduit dans
l'ensemble des méthodes et des résultats géométriques et à sa
fécondité liée d'ailleurs aux nouvelles conceptions de l'espace
découlant des travaiix de Lobatschefsky, Bolyai et Riemann.
Sans vouloir insister sur des conséquences qui seraient en dehors
de notre sujet, il nous faut remarquer que si cette révolution dans
la conception même de la géométrie est apparue à la suite de la
systématisation de la théorie des groupes de substitutions et de
l'introduction des groupes continus (3), elle a été en fait préparée
par un ensemble de travaux qui, après un premier échec partiel
au xvne siècle, réussirent, dans les premières décades du xixe siècle,
à étendre considérablement le champ de la géométrie en renouvelant
son orientation. C'est cette orientation nouvelle caractérisée par
l'introduction d'éléments à l'infini et d'éléments imaginaires, par
un recours plus ou moins apparent à l'appui ' de la géométrie
analytique, par l'étude et l'emploi des diverses transformations
géométriques et par une classification encore imparfaite des diffé
rentes propriétés que de nombreux auteurs désignèrent sous le
nom de géométrie moderne. S'il est vrai que la nomenclature nouvelle
introduite à la suite de la diffusion du programme d'Erlangen
possède seule une signification précise conforme aux exigences de
(*) Les diverses notes ont été renvoyées à la fin de l'article.
T. II. — 1949 13 198 revue d'histoire des sciences
l'axiomalique moderne, il est néanmoins nécessaire de garder cette
expression pour désigner brièvement l'esprit des recherches géomét
riques entreprises en particulier pendant plus de la moitié du
xixe siècle. Il est vrai qu'elle est assez critiquable car, ainsi que
l'écrit Cremona (4), « quoique les méthodes puissent être considérées
comme modernes, la matière est vieille » ; cependant comme les
autres expressions (géométrie supérieure, récente ou protective)
proposées pour la remplacer, risquent de créer des confusions encore
plus graves, nous la conserverons, d'autant plus que d'excellents
ouvrages relativement récents (5) en popularisent l'emploi de nos
jours encore.
* * *
('es préliminaires posés, abordons maintenant le problème de
l'origine de cette « géométrie moderne ». Il est essentiel de noter
tout d'abord qu'un certain nombre de ses concepts se rencontrent
déjà dans l'Antiquité. C'est ainsi que chez Apollonius se trouve une
théorie assez complète des diamètres conjugués dans les coniques (6)
que nous rattachons aujourd'hui à la géométrie affine et une
proposition équivalant à la définition de la polaire d'un point (7).
La notion de rapport anharmonique qui jouera un rôle si important
entre les mains de Chasles et de Môbius se trouve déjà chez
Pappus (8). Il semble également qu'un porisme d'Euclide que nous
ne connaissons que par le commentaire de Pappus (9) se rapproche
dans son inspiration du célèbre théorème de Desargues sur les
triangles homologiques (10). Signalons encore le premier emploi
d'une transformation géométrique autre que le déplacement ou
la similitude (11), la projection stéréographique, dans l'œuvre de
Ptolémée (12). Dans la Sphérique de Ménélaiis, on trouve aussi le
théorème bien connu sur les transversales qui inspira une partie
des théories de Carnot (13). Mais autant que nous puissions juger
dans l'état actuel de nos connaissances sur les mathématiques
antiques, il semble que ce ne soient là que des résultats isolés, non
compris dans un corps de doctrine, à moins d'admettre, comme
Chasles le fait dans sa reconstitution des porisme?, qu'Euclide
utilisait couramment les divisions homographiques. Cet ensemble
ne se constituera qu'au xixe siècle, mais, avec des circonstances un
peu plus favorables, il eût pu naître un siècle et demi auparavant
sous l'influence des progrès de la perspective et du génie géomét
rique de Desargues. PREHISTOIRE DE LA « GEOMETRIE MODERNE » 19$ LA
Trois courants d'idées principaux ont, en effet, dirigé l'évolution
de la géométrie depuis le xive siècle, époque où cette science
renaît véritablement en Occident sous l'influence de la tradition
grecque transmise par les Arabes, jusqu'à la fin du xvine siècle.
Le premier courant a pour objet de préciser et d'approfondir
la connaissance des Éléments d'Euclide tout en améliorant leur
présentation logique. Les Euclidis Elementorum de R. Simson1
(Glasgow, 1756) et les Éléments de Géométrie de Clairaut (Paris,
1741), de Legendre (Paris, 1794) et de S. F. Lacroix (Paris, 1799)
sont, à la fin du xvine siècle, les exemples les plus remarquables
de cette tendance.
Le second courant, nourri de l'enseignement d'Apollonius et
spécialement de son Traité des sections coniques, amène la floraison
de nombreux traités sur les coniques inspirés plus ou
moins directement de l'Antiquité ; il contribue aussi à la création
par Descartes et Fermat de la « géométrie cartésienne », application
des nouvelles techniques algébriques à la résolution des problèmes
géométriques de lieux à la manière d'Apollonius (14).
Tandis que ces deux premières tendances, issues des deux
œuvres géométriques les plus célèbres de l'Antiquité, sont d'inspi
ration purement théorique, le troisième courant est, pendant la
plus grande partie de son évolution, dominé par des soucis d'ordre
pratique. Il tire son origine des études sur la perspective, entreprises
en Italie au xve siècle par F. Brunelleschi, L. G. Alberti et P. dei
Franceschi (15) pour donner une assise rationnelle aux divers arts
plastiques et à l'architecture. Ce mouvement s'étendit ensuite dans
les divers pays d'Europe occidentale et de nombreux artistes
et théoriciens parmi lesquels il suffît de citer les noms de Léonard de
Vinci, Pèlerin, G. B. del Monte, Durer et Stevin participèrent à
l'élaboration de cette nouvelle science concuremment d'ailleurs
avec celle de la méthode des projections, première esquisse de la
géométrie descriptive utilisée par les architectes, les constructeurs
de fortifications et les tailleurs de pierre et de bois.
Mais dans une science déjà très évoluée, comme l'était la géomét
rie après Euclide et Apollonius, des progrès réellement essentiels
ne pouvaient venir que d'un changement radical d'orientation.
(Vest ainsi que le premier courant étudié n'amena de réels progrès
qu'au xixe siècle, à la suite de la révision complète de ses principes
de base, entraînée par les nouvelles théories de Lobatschefsky,,
Bolyai et Riemann. De même, la géométrie analytique et l'analyse revue d'histoire des sciences 200
infinitésimale sont nées de nouvelles orientations données aux
procédés géométriques antiques. Le même fait se vérifie pour la
géométrie moderne : ses deux apparitions successives sont dues à
deux esprits remarquablement créateurs et originaux : Girard
Desargues (1593-1661) et Gaspard Monge (1746-1818) chez qui
confluèrent deux tendances, l'une purement géométrique, l'autre
influencée par des besoins pratiques.
*
La vie de G. Desargues est assez mal connue (16). Né à Lyon
en 1593, il vint d'établir à Paris où, dès 1626, il s'était déjà fait
remarquer par l'étendue de ses connaissances mathématiques et
son désir de perfectionner divers procédés artisanaux. Il participa
dès l'origine aux travaux du cercle de savants dont les réunions
hebdomadaires donnèrent naissance beaucoup plus tard à l'Acadé
mie des Sciences (17) ; il fut très estimé de la plupart des savants
éminents de l'époque tels Descartes, Fermat et Pascal (18) et en
même temps violemment attaqué par une cabale de géomètres
et d'artistes de valeur très modeste. Mais, les critiques virulentes
et souvent injustifiées faites par ce groupe de détracteurs dont les
noms ne nous sont restés qu'à cette occasion (19) furent plus puis
santes que les éloges des plus grands savants. Et quoique l'œuvre
de Desargues fût de toute première importance (20), elle tomba
rapidement dans l'oubli pour n'être de nouveau estimée qu'à
partir du xixe siècle (21). Nous reviendrons d'ailleurs sur les
différentes raisons de cet oubli si préjudiciable aux progrès de la
géométrie.
La personnalité de Desargues est d'une originalité exceptionn
elle ; génie créateur de tout premier plan, il était capable des
synthèses théoriques les plus hardies tout en gardant un sens très
averti de la technique pratique (22). Il semble qu'il ait eu un grand
talent d'exposition orale, mais son style écrit, très concis et semé
de termes assez étranges (23), a beaucoup nui au succès de ses publi
cations ; néanmoins, en faisant un petit effort de compréhension,
on souscrit aisément au jugement de Fermat : « Je suis obligé de
vous dire que j'aime beaucoup M. Desargues et d'autant plus qu'il
est seul inventeur de ses Coniques ; son livret, qui passe, dites-vous,
pour jargon, m'a paru très intelligible et très ingénieux (24). »
Si nous délaissons ses travaux de perspective pure et leurs LA PRÉHISTOIRE DE LA « GÉOMÉTRIE MODERNE » 201
diverses applications, l'essentiel de l'œuvre géométrique de Desar
gues se trouve dans son traité sur les coniques : Brouillon projed
ďune atteinte aux événements des rencontres ďun cône avec un
plan (25) de 1639 et dans les notes insérées dans la Perspective
de Bosse de 1648 (26). Nous n'en exposerons que les idées essent
ielles, sans faire l'analyse de l'ensemble. A l'aide des faisceaux
(ordonnances) de droites et de plans, il introduit dans le cas limite
des éléments parallèles, la notion de point à l'infini dans le plan
et de droite à l'infini dans l'espace. « Pour donner à entendre V espèce
de position d'entre plusieurs droites en laquelle elles sont toutes
parallèles entre elles, il est icij dit que toutes ces droites sont entre elles
d'une mesme ordonnance, dont le but est à distance infinie, en chacune
de part et d'autre (27). » Sans citer le paragraphe analogue sur la
droite à l'infini dans l'espace : axe (essieu) d'un faisceau de plans
parallèles, nous noterons l'introduction de la droite à l'infini d'un
plan : « Quand en un plan, aucun des points ďune droite n'y est à
distance finie, celle droite y est à distance infinie » qui permet de
montrer la parenté entre cercle et droite « deux espèces ďun mesme
genre dont on peut énoncer le tracement en mesmes paroles ».
Cette intervention de notions nouvelles est évidemment suggérée
par la perspective qui, transformant l'un en l'autre des faisceaux
de droites concourantes ou parallèles, en montre la parenté étroite.
Pour Desargues, en effet, la perspective apparaît comme un chapitre
de la géométrie ; cette technique élevée peu à peu au rang de science
prend ainsi sa place normale dans l'édifice mathématique. Les
conséquences qui en découlent sont de la plus haute importance,
en particulier dans la théorie des coniques. Desargues constate
l'identité qui existe entre les diverses coniques et les sections planes
quelconques de cônes ayant pour bases des cercles ou des coniques
donnés : c'est là, pour lui, le fondement même de leur théorie.
La perspective entre deux sections planes quelconques d'un même
cône, permet d'étendre à l'une toutes les propriétés de l'autre qui
se conservent par cette transformation. De là, à la classification
esquissée par Poncelet entre propriétés projectives et propriétés
métriques, il n'y a évidemment qu'un pas. L'outil qu'il utilise
constamment dans sa longue étude sur les coniques est l'involution
entre points d'une même droite, ou entre droites d'un même
faisceau, transformation dont il étudie minutieusement les divers
cas et dont il considère spécialement un cas particulier : la division
ou le faisceau harmonique (involution de quatre points ou de quatre revue d'histoire des sciences 202
droites), (<eci lui permet de définir et d'étudier la polaire d'un point
soit par rapport à un faisceau de deux droites, soit ensuite par
rapport à une conique (traversalc). Les diamètres lui apparaissent
comme étant les polaires de points à l'infini car, comme il le dit,
« la souche et la dislance infinie sont un couple de nœuds d'une
involution ». Les asymptotes sont particulièrement bien définies :
« Les droites nommées asymptotes, ou qui ne rencontrent le bord de la
figure à aucune distance finie, y tiennent lieu tout ensemble de diamét
rales de la figure et de touchantes à ses bords à dislance infinie (28). »
Notons encore la construction classique de la polaire à l'aide de la
règle, le théorème sur les diagonales d'un quadrilatère complet
et le célèbre sur la division en involution déterminée sur
une sécante quelconque par une conique et les côtés d'un quadri
latère quelconque qui y est inscrit. Sans vouloir épuiser toute la
richesse et la nouveauté du traité de Desargues, nous nous bornerons
maintenant à citer le passage où il suggère l'extension de la théorie
des polaires à l'espace, si riche d'idées modernes que la
signification du vocabulaire de Desargues s'en déduit aisément :
« Ayant conceu que c'est qu'une droite traversale des droites d'une
ordonnance, on conçoit aisément que c'est qu'un plan traversai aussi
des droites d'une ordonnance en ce qui est des lieux à surface.
« Quand une boule et un plan sont chacun immobiles, ce plan à
l'égard de la boule est traversai d'une ordonnance de droites dont le
but est donné de position, et le but en estant donné, la position de ce
plan est donnée, le tout des choses cy-devanl.
« Et quand plusieurs droites ayant chacune un point immobile en
ce plan se meuvent à l'entour de cette boule, les plans des cercles
qu'elles y décrivent sont traversaux chacun des droites ordonnées au
point immobile de la droite qui le décrit et s'entrecoupent toutes au
but des ordonnées de ce premier plan.
« Semblable propriété se trouve à l'égard d'autres massifs qui ont
du rapport à la boule, comme les ovales autrement ellipses en ont au
cercle, mais il y a trop à dire pour n'en rien laisser. »
Après la citation de ce passage de Desargues qui prévoit toute
la théorie des pôles et plans polaires par rapport à la sphère et aux
quadriques (il faut à ce propos se souvenir combien l'idée que l'on se
faisait des quadriques à cette époque était imparfaite), il nous reste à
noter que, dans les passages reproduits par Bosse dans sa Perspect
ive de 1648, se trouvent le célèbre théorème sur les triangles homo-
logiques et la propriété de projectivité du rapport anharmonique. LA PRÉHISTOIRE DE LA « GÉOMÉTRIE MODERNE » 203
(let essai, quoique incomplet, semble cependant suffisant pour
montrer que Desargues est de loin le géomètre le plus original
du xviie siècle. Ayant réussi à relier la perspective à la géométrie
pure et spécialement à la théorie des coniques, il sut, avec une
grande ingéniosité, en tirer le maximum de conséquences, en parti-
fulier toutes celles qui constituent le point de départ de la géomét
rie moderne. Les raisons qui expliquent le faible succès de ses
théories et l'oubli dans lequel elles tombèrent rapidement sont
nombreuses. D'une part des raisons personnelles : l'étrangeté de
son vocabulaire géométrique, son style parfois exagérément concis,
la faible diiîusion de ses écrits (29) et surtout les dures et injustes
critiques de ses adversaires. Mais aussi des raisons beaucoup plus
générales : en effet, la création de la « géométrie cartésienne » et
les débuts du calcul infinitésimal ouvraient aux mathématiciens
de nouveaux domaines d'étude non encore défrichés (30) où le
succès des recherches apparaissait beaucoup plus certain que dans
le secteur géométrique déjà si fouillé par les anciens.. Évidemment
la « géométrie moderne » était aussi, en fait, — et les premières
décades du xixe siècle l'ont bien montré — un champ de recherches
très fertile, mais il aurait- fallu pour s'en convaincre que Desargues
formât toute une pléiade d'élèves qui eussent popularisé la nouvelle
science dont il avait jeté les fondations. Or il n'eut guère, en dehors
du peintre Abraham Bosse et de quelques autres peintres et
architectes, que deux disciples : Biaise Pascal et Philippe de La Hire
dont les écrits n'eurent pas un retentissement suffisant alors que,
au contraire, les tenants des nouveaux calculs constataient chaque
jour leur efficacité et leur puissance. De plus, la tentative de
Desargues était quelque peu prématurée, en ce sens qu'il lui
manquait le soubassement analytique solide qui fit la force de la
géométrie moderne à partir du xixe siècle.
Le nom du premier disciple de Desargues aurait dû. suffire pour
prouver l'excellence de ses théories, puisqu'il s'agit de Pascal. Le
petit placard qu'il publia en 1640, à l'âge de 17 ans, sous le titre
ď Essay pour les' Coniques (31), est, ainsi qu'il le reconnaît très
franchement, inspiré des idées de Desargues. Alors que la théorie
plane des coniques de ce dernier est basée sur l'étude approfondie
de l'involution, Pascal, au contraire, part de la propriété que nous ■
revue d'histoire des sciences 204
connaissons aujourd'hui — énoncée d'ailleurs sous une autre
forme — sous le nom de théorème de l'hexagone de Pascal. L'exi
guïté de son placard l'oblige à supprimer la plupart des démonst
rations et à ne donner qu'une esquisse de la méthode permettant
d'obtenir, à partir de cette proposition, une théorie de « géométrie
moderne » des coniques (32). L'essai est de haute valeur, mais
prétendre qu'il surpasse Desargues semble exagéré. Il est vrai que
nous ignorons presque tout d'un autre important traité sur les
coniques, resté manuscrit et où Pascal développait son esquisse de
jeunesse : nous n'en connaissons que quelques fragments retrouvés
à Hanovre dans les papiers de Leibniz et une courte analyse
de ce dernier (33). Les éloges d'un tel juge font évidemment
regretter la perte de cet ouvrage.
Le second disciple de Desargues : Philippe de La Hire publia
successivement trois traités sur les coniques, en 1673, en 1679 et
en 1685 (34). Du point de vue de la géométrie moderne, le traité
de 1673 : Nouvelle méthode en géométrie pour les sections des superf
icies coniques, el cylindriques, qui ont pour bases des Cercles, ou des
Paraboles, des Êlipses el des Hyperboles, par Ph. de La Hire, Pari
sien, à Paris..., MDCLXXIII, est de loin le plus original. Malheu
reusement, par suite de sa rareté,, il n'eut pas une bien grande
diffusion — l'accueil qui lui fut réservé ne semble pas non plus
très favorable (35) — et aujourd'hui encore de trop nombreux
historiens des mathématiques le passent presque sous silence,
concentrant leur attention sur le traité latin de 1685 (36) qui n'est
que le développement de la première partie du traité de 1673.
Quoique La Hire dans une note jointe à sa copie du Brouillon projed
de Desargues affirme n'avoir eu connaissance du traité de Desargues
que postérieurement à 1673 et n'avoir donc pu s'en inspirer (37),
il nous semble au contraire que cette inspiration est manifeste.
Une première raison est que le père de P. de La Hire, peintre du roi,
était un des élèves assidus des cours oraux de Desargues : il serait
donc bien surprenant qu'il ait ignoré l'existence de son traité et
n'ait pu en faire connaître la teneur à son fils (38). La seconde
raison, la plus importante, est tirée de l'étude du texte. Il semble
que La Hire, connaissant au moins l'esprit du traité de Desargues,
ait tenté d'en tirer un ouvrage utilisant les mêmes principes mais
évitant les défauts qui furent à l'origine des violentes critiques des
adversaires de Desargues.
En effet, La Hire paraît vouloir faire une synthèse des théories LA PRÉHISTOIRE DE LA « GÉOMÉTRIE MODERNE » 205
de Desargues, tout en leur donnant un tour plus classique. C'est
ainsi qu'il se base non sur 1 'involution en général mais sur la division
harmonique (involution de quatre points chez Desargues) qu'il
dénomme « harmoniquement coupée » à la manière de Pappus. Il
donne la construction du conjugué d'un point par rapport à un
segment, démontre la projectivité de la division harmonique et
fait une étude minutieuse des faisceaux harmoniques généraux ou
particuliers. Il en vient ensuite à l'étude de la polaire par rapport
à un cercle dans les différents cas de figure, démontre la propriété
de réciprocité polaire et en déduit que les polaires des points d'une
droite passent toutes par le pôle de cette droite. Puis il donne la
construction classique de la polaire et diverses autres propriétés
et en vient à l'étude des coniques, « sections des superficies coniques
qui ont pour bases des cercles ». Sa méthode que nous ne pouvons
étudier en détail, malgré son grand intérêt, revient en fait à déduire
les propriétés projectives d'une conique quelconque de l'espace
située sur un cône à base circulaire horizontale des propriétés du
cercle de base, en passant par l'intermédiaire de la projection de la
section sur le plan de la base. Elle utilise donc en fait les propriétés
de la projection cylindrique (pour le passage de la courbe de l'espace
à sa projection) et de l'homologie (pour le passage de la conique,
projection au cercle de base). La lourdeur de certains passages
est due à l'emploi de procédés détournés pour la démonstration
de propriétés non projectives.
La méthode pour étudier les propriétés des sections coniques
« dans le cône », amenait assez logiquement à un autre procédé
d'étude qui consiste à déduire directement — dans le plan — toute
conique d'un cercle par une homologie. C'est l'objet de la seconde
partie du petit traité de La Hire, intitulée Les Planiconiques (39).
Cette méthode très ingénieuse est appliquée à l'aide d'un certain
nombre de lemmes sur les propriétés élémentaires de l'homologie.
Nous sommes donc là, apparemment, en présence d'un traité qui,
quoique inspiré des idées de Desargues ne craint pas de s'en éloigner
parfois, avec plus ou moins de bonheur (disparition malencontreuse
des éléments à l'infini, utilisation très ingénieuse des propriétés
des faisceaux harmoniques et de l'homologie), mais il ne semble pas
contenir de résultats réellement nouveaux (40).
Avec La Hire, l'influence directe de Desargues semble s'éteindre.
L'élaboration du corps de doctrine de « géométrie moderne » que
le Brouillon project semblait annoncer par la mise en lumière de