Lattice Quantum ChromoDynamics with approximately chiral fermions [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Dieter Hierl

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• Physik

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• Publié par: universitat_regensburg
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 4
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

Lattice Quantum ChromoDynamics
with approximately chiral fermions
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
der naturwissenschaftlichen Fakulta¨t II - Physik
der Universita¨t Regensburg
vorgelegt von
Dieter Hierl
aus Hemau
Mai 2008Die Arbeit wurde von Prof. Dr. Andreas Scha¨fer angeleitet.
Das Promotionsgesuch wurde am 22. April 2008 eingereicht.
Das Promotionskolloquium fand am 27. Juni 2008 statt.
Pru¨fungsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. W. Wegscheider
1. Gutachter: Prof. Dr. A. Scha¨fer
2. Gutachter: Prof. Dr. T. Wettig
weiterer Pru¨fer: Prof. Dr. J. Fabian¨FUR MEINE ELTERNContents
1 Introduction 1
1.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Outline of this work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I Quantum Chromodynamics 5
2 The QCD action and its symmetries 10
2.1 The QCD action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 The path integral method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Local and global symmetries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Perturbation theories 18
3.1 Introduction to QCD perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Introduction to chiral perturbation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Finite volume effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Random Matrix Theory 26
4.1 Introduction to RMT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2 Chiral RMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
II Lattice Quantum Chromodynamics 29
5 Discretizations 33
5.1 The lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 The gauge action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 The Dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
vvi CONTENTS
6 Chiral fermions 41
6.1 Chiral symmetry on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Consequences of the Ginsparg-Wilson equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 The chirally improved Dirac operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4 The parametrized fixed-point Dirac operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 Ensemble creation 51
7.1 Monte Carlo integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2 Running a simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Improvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8 Analysis 58
8.1 Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.2 Correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3 Improvements I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4 Improvements II - Low-mode averaging for meson correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.5 Improvements III - Correlators using covariant operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9 Data Modeling 79
9.1 Setting the scale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2 Two-point correlation functions in Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.3 LECs from ”unphysical” regimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4 Extrapolations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.5 Interpreting the data and its errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
III LQCD with chirally improved fermions 93
10 The baryon spectrum in the quenched approximation 95
10.1 Computing the baryon masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.2 Effective masses, eigenvectors and fit ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.3 Nucleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.4 Sigma and Xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.5 Lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.6 Delta and Omega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.7 Chiral extrapolations for the fine lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.8 Predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105CONTENTS vii
11 The pentaquark 107
11.1 Quark models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.2 The Quantum Numbers of the Pentaquark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
11.3 Details of our lattice calculation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.4 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.5 Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.6 What is still missing? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
IV LQCD with 2+1 flavors using the fixed-point action 119
12 Algorithm for dynamical fermions 121
12.1 Update . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.2 Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.3 Subtraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.4 Relative gauge fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.5 Determinant breakup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.6 Nested Accept/Reject steps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
12.7 Matrix-vector multiplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
13 Low Energy Constants 136
13.1 The delta regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
13.2 The epsilon regime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3 Comparing results in the epsilon-regime with RMT predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.4 Comparing results in the epsilon-regime with ChPT predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
V Conclusion 151
Summary 152
Outlook 155
Acknowledgements 156
Appendix 157
A Definitions 158
A.1 Gamma matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
A.2 Gell-Mann matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.3 Grassmann Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A.4 Discrete symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161viii CONTENTS
B Path integral formalism on the lattice 163
B.1 The generating functional for fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B.2 Expectation values of fermionic operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
C Chiral transformations (extended) 165
C.1 Left- and right handed projectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C.2 Global covariant densities and conserved currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C.3 Local covariant densities and conserved currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C.4 Neglecting contact terms in the densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.5 The AWI mass in 2+1 flavors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
D Chiral transformations with non-constant operator R 170
D.1 The general chiral transformations on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
D.2 Neglecting the contact