LES THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE DE GÖDEL (EN PASSANT) par Miles Mathis Kurt Gödel LES THÉORÈMES D’INCOMPLÉTUDE DE GÖDEL M. Mathis Théorème 1 : Dans tout système, on peut construire des phrases qui ne sont ni vraies ni fausses (variations mathématiques du paradoxe du menteur). Théorème 2 : Dès lors, aucun système consistant ne peut être utilisé pour prouver sa propre consistance. Aucune preuve ne peut se prouver elle-même. J’ai ici paraphrasé et distillé les théorèmes, car l’intention de ce court article n’est pas de prouver ou de réfuter les théorèmes de Gödel. Son intention est simplement de les commenter en passant. Je crois que Gödel fait partie de la branche princi- e pale de l’argumentation sur la logique au cours du 20 siècle, et on peut dès lors le révoquer avec celui-ci, en tant que groupe. Il ne mérite pas une critique appro- fondie ; il me suffit de montrer que son argumentaire tombe dans une catégorie ayant déjà été falsifiée. En résumé, je suis d’accord avec le théorème 2, mais je ne pense pas qu’il découle du théorème 1. Le théorème 2 est une version faible de la thèse centrale de Karl Popper selon laquelle toutes les mathématiques et les sciences créatives sont ba- sées sur des hypothèses et ne sont pas prouvables. Toute déclaration, quelque soit sa forme, au-delà d’une tautologie ou d’une stricte déduction, est dès lors falsi- fiable mais improuvable.
LES THORMES D’INCOMPLTUDE DE GDEL (E NPA S S A N T)
parMiles Mathis
Kurt Gdel
LES THORMES D’INCOMPLTUDE DEGDEL
M. Mathis
ThÉorÈme 1: Dans tout systme, on peut construire des phrases qui ne sont ni vraies ni fausses (variations mathmatiques du paradoxe du menteur). ThÉorÈme 2: Ds lors, aucun systme consistant ne peut tre utilis pour prouver sa propre consistance. Aucune preuve ne peut se prouver elle-mme. J’ai ici paraphras et distill les thormes, car l’intention de ce court article n’est pas de prouver ou de rfuter les thormes de Gdel. Son intention est simplement de les commenter en passant. Je crois que Gdel fait partie de la branche princi-e pale de l’argumentation sur la logique au cours du 20sicle, et on peut ds lors le rvoquer avec celui-ci, en tant que groupe. Il ne mrite pas une critique appro-fondie ;il me suffit de montrer que son argumentaire tombe dans une catgorie ayant djÀ t falsifie. En rsum, je suis d’accord avec le thorme 2, mais je ne pense pas qu’il dcoule du thorme 1. Le thorme 2 est une version faible de la thse centrale de Karl Popper selon laquelle toutes les mathmatiques et les sciences cratives sont ba-ses sur des hypothses et ne sont pas prouvables. Toute dclaration, quelque soit sa forme, au-delÀ d’une tautologie ou d’une stricte dduction, est ds lors falsi-fiable mais improuvable. La thorie de Gdel a peut-tre prdat celle de Popper de 3 ans, mais cela n’a aucune importance, car le thorme 2 dcoule, non pas du thorme 1, mais entirement de la critique approfondie du positivisme de Popper. Tout systme logique est tabli dans le but d’viter la ncessit de prouver des axiomes ou des postulats. Un systme logique est un systme ferm dans lequel des axiomes et des oprationsdÉfinissentl’tendue totale de toute consistance (ou vrit). Le systme tout entier ne requiert ds lors aucune preuve, et toute r-frence À une chose en dehors du systme est illogique en soi. Les dductions n’exigent pas de preuve au-delÀ de leurs propres postulats. Seules des inductions ou des infrences exigent une preuve extrieure. Ce qui veut dire que connec-ter un systme logique À un autre exige une preuve. Cette preuve constitue un ensemble supplmentaire d’axiomes ou d’oprations qui sont galement accepts sans preuve.
Notez qu’il existe deux significations spares du mot «preuve »dans le dernier paragraphe. Selon une signification, une preuve se rfre À une srie d’tapes, d’un postulat À un rsultat. Selon l’autre, une preuve est suppose tre l’vidence absolue d’une vrit. Si nous utilisons cette dernire signification, ce qui est l’usage commun, nous devons trouver que rien ne peut tre prouv, mme les tautologies. Un philosophe astucieux peut insrer du doute mme dans A=A. Mais ce n’est pas ce que signifie «preuve »en logique. Selon les rgles de la logique, une preuve doit avoir un point de dpart. Ce point de dpart est un axiome, ou postulat. Ce postulatdoittre logiquement improuvable. Essayer de le prouver, c’est ne pas
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comprendre la logique elle-mme. Mais de mme, s’il ne peut tre prouv vrai, on ne peut pas prouver qu’il est faux. Cela n’en fait pas un paradoxe. Cela en fait une supposition.
Ds lors, le thorme 1 me parat vrai mais trivial. Ces phrases paradoxales peuvent tre cartes simplement en ajoutant un autre axiome. Par exemple, n’importe quelle variante du paradoxe du menteur peut tre vite en ajoutant ce postu-lat : «aucune dclaration auto-rfrence ne sera permise, car ces dclarations sont une cause de cercles vicieux logiques. Le contenu de toute dclaration doit s’appliquer À une autre dclaration et pas À elle-mme ». Si vous me demandez de prouver la vrit de ce postulat ajout, je peux vous rpondre que vous ne compre-nez pas le concept de postulat. Je peux postuler tout ce que je veux. Vous pouvez essayer de le falsifier en montrant qu’il est inconsistant avec d’autres postulats djÀ accepts mais vous ne pouvez pas exiger de preuve.
Gdel semble galement confus quant au concept de postulat, ou axiome. Des axiomes peuvent tre choisis À volont, afin de crer de la consistance À partir de rien. Un axiome est vrai parce qu’il est dfini comme vrai. De mme, une opration est lgale parce que je dclare qu’elle l’est. Et un systme logique est consistant en raison du fait qu’on n’a pas montr qu’il est inconsistant. Ce n’est pas la mme chose qu’tre vrai ou prouv.
Popper ne perdit pas de temps avec des rfutations ou des preuves formelles, parce qu’il comprenait l’absurdit d’une telle notion. Crer une rfutation ou une preuve formelle en gnral est une contradiction dans les termes. La rfutation de la com-pltude par Gdel doit tre aussi incomplte que toute autre preuve. Ce qui signifie que le Thorme d’Incompltude est lui-mme incomplet et ds lors improuvable. Il est inutile, except en tant que contradiction grandiose supplmentaire, et nous n’avons aucun besoin d’encore plus de contradictions logiques posant en tho-rmes.
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Karl Popper
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Popper critiquait Hilbert de la mme manire qu’il critiquait les positivistes lo-giques. Le problme d’Hilbert tait qu’il essayait de prouver des choses que, non seulement il ne pouvait prouver, mais qui n’avaient pas besoin d’tre prouves. Russell et Whitehead se trouvaient dans la mme position, mathmatiquement. Nous n’avons pas besoin de prouver que1 + 1 = 2, car c’est un axiome. C’est vrai par dfinition. Vous ne pouvez pas prouver des dfinitions et, ce qui est plus impor-tant,vous n’avez pas besoin de prouver des dÉfinitions. C’est la raison pour laquelle elles sont des dfinitions : pour que nous n’ayons pas À les prouver. Nous dcidons de les accepter arbitrairement et nous examinons oÙ elles nous entranent. Si nous pouvons bátir des systmes qui ne sont pas dmontrs inconsistants sur ces dfini-tions, alors nous pouvons affirmer que ces dfinitions sont corrobores. Mais cela ne les rend pas vraies ou prouves. Elles sont simplement non rfutes.
Les thormes de Popper sont bien plus importants pour l’Histoire que ceux de Gdel, pour la simple raison que les thormes de Popper vitent mieux l’inconsis-tance que ceux de Gdel. Le Thorme d’Incompltude est lui-mme un paradoxe, un paradoxe qui dpend d’une contradiction primordiale. Les thormes de Pop-per possdent galement plus de contenu. Popper relie explicitement ses systmes À d’autres systmes logiques – comme par exemple la physique, les mathma-tiques, la logique symbolique, la thorie des jeux, les probabilits, etc. Il passa sa vie entire À discuter des implications de ses thormes. Il ne se contenta pas de
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simplement donner quelques paradoxes au monde pour ensuite se retirer dans du mysticisme.
Ce n’est pas par hasard que le nom de Gdel est dsormais li À celui d’Escher. Ils sont tous deux profonds et importants. Ce qui veut dire qu’ils ne le sont pas. Ils ne sont que des modes. Gdel est devenu plus connu que Popper et plus fa-e meux que n’importe quel mathmaticien ou logicien du 20sicle parce que ses ides – comme les ides d’Escher en peinture – permirent le passage vers le mains-tream, oÙ elles pouvaient tre dulcores et popularises. Elles pouvaient tre relies, comme les interprtations populaires de la relativit et de l’lectrodyna-mique quantique, À d’autres modes comme Star Trek, Star Wars ou la science-fiction d’Asimov.
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Comme une sorte d’addenda, je vais montrer que Popper sous-entendait l’exis-tence d’un moyen de tourner autour, ou de dpasser, l’implication de sa thorie, À savoir que « rien n’est vrai ou prouvable ». Cette mthode, que je vais relater en des termes trs gnraux, nous entrane aussi dans les parages du Thorme d’Incom-pltude de Gdel. Trs souvent, nous choisissons des dfinitions et des axiomes À partir d’un ensemble de dclarations qui sont empiriquement ou intuitivement trs fortes. C’est-À-dire que nous pouvons nous rfrer comme d’une preuve À de l’inn ou À un rsultat d’exprience. Mais cette sorte de preuve n’a jamais t accepte par les philosophes, pour diverses raisons (pas tellement bonnes). Si la dclaration « ce chien est blanc » ne peut pas tre prouve en dsignant un chien blanc, quel espoir avons-nous de pouvoir prouver quoi que ce soit? Si la phrase « les oiseaux savent comment migrer » n’est pas prouve par les milliards d’oiseaux qui migrent vers le sud pour revenir ensuite À leur point de dpart, quelle chance avait Russell de pouvoir prouver que1 + 1= 2? Cette galit, une fois que l’on a montr qu’elle se situe mathmatiquement au-delÀ de la preuve, doit s’en remettre À une preuve empirique – en dsignant un paire de pommes, par exemple. Personnellement, je trouve la preuve empirique complte, et je vais maintenant vous dire pourquoi.
Popper croyait que les tautologies chappaient À son principe de falsifiabilit. Les tautologies ne pouvaient pas tre falsifies, puisqu’il n’existe pas logiquement de falsificateur possible. Elles taient ds lors vraies, mme lorsque rien d’autre ne l’tait. En fait, Popper pensait que l’expression= 21 + 1tait vraie parce qu’il s’agissait d’une tautologie. Il pensait que les preuves de Russel taient inutiles parce qu’une tautologie reprsente l’exception À la rgle de la falsification et de la vrification. Si c’est le cas, alors je peux chapper À l’exigence d’tre falsifiable en montrant que dsigner un chien blanc est une tautologie, À savoir : «cette chose que je dsigne, je la dfinis comme tant un chien. La couleur de cette chose, je l’appelle blanc. Ds lors, cette chose que je dsigne est un chien blanc». Ce qui revient bien entendu À appeler un chien blanc un chien blanc. A=A. Comment pourrais-je tre dans le faux?
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M. Mathis
De cette manire, nous allons au-delÀ de Gdel et de Popper. Nous pouvons « prou-ver » un grand nombre de choses en dmontrant qu’elles constituent des tautolo-gies. Les oiseaux migrateurs sont un autre exemple. «Je dfinis ces choses que vous voyez voler comme des oiseaux. Je dfinis “migrer” comme tant ce qu’ils sont en train de faire. Ds lors, ils migrent ». Comment cette dclaration pourrait-elle tre falsifie? Il se trouve que l’on peut dmontrer qu’une grande partie du langage, et mme de la science, est constitue de tautologies.
Vous allez dire que ceci signifie simplement que ces choses sont triviales : c’est vide de contenu. Mais ce n’est pas vide de contenu. C’est rempli de dfinitions et d’axiomes, qui sont assez riches en contenu. Par exemple, dans l’exemple du chien blanc, vous avez appris ce qu’est un chien et ce qu’est blanc, du moins selon moi. Qu’est-ce qu’apprendre, dans la plupart des cas, sinon dcouvrir ce que sont les choses selon d’autres gens – des parents, des enseignants, des historiens, des crivains, des scientifiques, etc. En tant que personne, vous apprenez une liste gigantesque de dfinitions. Un large pourcentage de ce que sait n’importe quelle personne est dfinitionnel. Apprendre la signification des mots est central pour toute intelligence. La signification des mots est dfinitionnelle. C’est galement tautologique. «Ceci est un chien; un chien, c’est ceci». A=A. Nous possdons donc djÀ un corpus norme de dclarations qui sont vraies du fait qu’elles sont des tautologies et qui, pourtant, sont riches en contenu.
Les mots s’appliquent galement aux actions, pas uniquement aux choses. Les op-rations sont des actions. De cette manire, je peux prouver beaucoup d’oprations en montrant qu’elles sont des dfinitions tautologiques. Les oiseaux migrateurs ne sont qu’un exemple parmi d’autres.
— « Ces oiseaux migrent » — « Qu’est-ce que migrer? » — « Voler vers le sud pour la dure de l’hiver » — « Qu’est-ce que l’hiver? » — « L’hiver, c’est maintenant » — « Qu’est-ce que le sud? » — « Le sud, c’est la direction dans laquelle ils volent ».
Des tautologies, encore et encore. «Je dfinis ces choses faisant ce qu’elles font comme faisant ce qu’elles font ».
L’une des subtilits de Gdel concernant son premier thorme tait que celui-ci s’appliquait uniquement À des systmes logiques qui taient suffisamment riches en contenu – qui taient non-triviaux. Il ne fournit aucune mthode infaillible permettant de dcouvrir quels systmes sont riches et lesquels sont trop pauvres, mais il a t suppos qu’il cartait d’avance les tautologies (au strict minimum). Je viens de montrer que les tautologies sont plutÔt riches en contenu. En faisant ainsi, j’ai fatalement sap le thorme 1.
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Un systme logique entirement compos de tautologies ne peut admettre le moin-dre paradoxe du menteur, car le paradoxe du menteur ne se rsout pas en la forme A=A. Aucun paradoxe du menteur n’est une tautologie, et aucune tautologie n’est un paradoxe du menteur. Et pourtant, les tautologies sont riches en contenu. Ds lors, le thorme 1 est falsifi.
Je peux aller encore plus loin. Toute dduction est une tautologie, puisque la chose prouve est contenue dans les axiomes. Les axiomes sont des dfinitions, qui sont des tautologies. Les rsultats sont des sous-ensembles des axiomes. Ds lors, toutes les dductions sont tautologiques. Il n’y a pas plus de contenu dans le rsultat qu’il n’y en avait dans les axiomes. Ds lors, le rsultat ne peut pas tre falsifi. Si les axiomes ne peuvent pas tre falsifis, alors les rsultats ne peuvent pas tre falsifis.
En fait, c’tait le raisonnement des anciens Grecs, qui dfinissaient « preuve » exac-tement de cette faÇon. Vous prouviez des choses en montrant que vos rsultats taient logiquement contenus dans vos axiomes. Vous ne prouviez pas quoi que ce soit selon les standards modernes, puisque vous ne trouviez aucune « nouvelle information ».Vous ne faisiez que clarifier une ancienne information. Vous r-largissiez vos dfinitions, vous rappelant de leur contenu entier. Et pourtant les Grecs voyaient ce processus comme un vrai enseignement, comme de la vraie in-telligence, comme de la vraie connaissance, comme non-trivial.
De cette faÇon, nous possdons un norme corpus de connaissances que nous pou-vons appeler «vraies ».Et rien de tout cela n’a À tre prouv au-delÀ de simples preuves dductives, parce que tout cela est dfinitionnel, ou axiomatique. Tout est tautologique.
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Bertrand Russell
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Vous pouvez dire que mon utilisation de la tautologie est de bien des faÇon simi-laire À celle de Russel. C’est le cas. La diffrence tant que Russell et Whitehead ont normment sur-complexifi le problme en parlant de «la classe de toutes les classes» et autres charabias mathmatiques. Cette fausse rigueur, apprise de Peano, de Frege, de Cantor et du reste, ne fit que donner À d’autres chicaneurs comme Gdel l’occasion de pntrer dans la place et d’entretenir des paradoxes. J’ai montr que Gdel n’a caus aucun dommage rel À Russell (ou À qui que ce soit d’autre), mais que Popper fit grand tort À Russell. Popper fit paratre Russell plus que ridicule pour avoir crit des milliers de pages axiomatisant des choses qui taient djÀ des axiomes ds le dbut. Peano est aussi coupable d’avoir gách des rames de papier pour nous apporter 9 axiomes lÀ oÙ un ou deux auraient suffi – et avaient suffi pendant des sicles.
D’autres pourraient affirmer que ma preuve empirique ressemble fort À la re-cherche des positivistes d’une donne sensible ou d’une observation–dclaration, ou bien qu’elle reflte la «thorie de la correspondance». Mais ce n’est pas le cas. J’affirme qu’une preuve empirique est en ralit une tautologie. Une preuve par dsignation nedevientpas vraie ou vrifie par une correspondance. Elle est vraie parce qu’elle est djÀ axiomatique avant mme qu’une preuve quelconque ait dbut. Ma thorie est bien plus forte car elle vite la ncessit d’une vri-fication, d’une preuve ou d’une correspondance. Une tautologie ne requiert pas de preuve ni de vrification. Ce n’est pas une correspondance. C’est une galit
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dfinitionnelle. Selon les rgles de ma logique, demander une preuve ou une vri-fication d’une tautologie est une contradiction. Cette logique interdit la chicanerie ou l’ergoterie par de vieux moyens (on pourrait dire « Grecs ») : elle dfinit comme contradictoire toute demande de vrification d’axiome, de postulat, de dfinition ou de tautologie. Je pourrais approfondir le sujet mais je ne trouve pas cela utile. Popper croyait qu’argumenter sur de la smantique tait une perte de temps. Je trouve la logique fondamentale une encore plus grosse perte de temps, car nulle part, dans aucun secteur philosophique, aussi peu n’a jamais t accompli avec autant d’nergie.
Qu’est-ce que cela peut faire, allez-vous demander, que Peano ou Russel aient pass tant de temps À prouver avec rigueur des tautologies ? Ils ne faisaient de tort À per-sonne et ils taient au moins dans le bon camp. Ils taient honntes. Eh bien c’est important, parce qu’il y avait (et il y a encore) tellement de travail rel À faire en mathmatique et en physique. Quand les grands mathmaticiens et les grands phy-siciens perdent leur temps À des trivialits et À des absurdits, cela devrait avoir une certaine importance pour l’Histoire et pour les futurs scientifiques et math-maticiens. Personnellement, cela me tracasse, car je m’aperÇois que Russel et les grands mathmaticiens de l’poque auraient pu corriger Einstein, Newton, Cauchy, Cantor et ainsi de suite. R-axiomatiser des tautologies pendant que Cantor ajoute des infinis, qu’Einstein fait des erreurs de simple algbre et que Heisenberg saute À des conclusions hátives, on pourrait appeler cela chipoter pendant que Rome brÛle. En fait, Russell fut l’un des grands vulgarisateurs d’Einstein, avec son livre The ABC of Relativity. Sachant ce que je sais, je ne peux pas laisser passer ce fait. Un grand mathmaticien aurait vu l’erreur dans les simples quations algbriques d’Einstein. C’est le principal. Le fait que Russell tait contre la bombe, la guerre ou tout autre chose ne me concerne pas. Exactement comme je ne suis pas concern par le fait qu’Einstein tait contre la bombe ou la guerre. Je suis concern par la constatation que les mathmaticiens et les physiciens ne sont pas capables de faire de la simple algbre.
Je pourrais crire des milliers de pages À ratisser lesPrincipia Mathematicade Russell et Whitehead afin de montrer oÙ se trouvent les inconsistances et À trier les diverses dclarations de Frege, Russell et Gdel, mais aprs Popper cela ne vaudrait pas vraiment la peine. Toutes les variantes du positivisme se sont rvles tre des entreprises voues À l’chec (et franchement pathtiques). Axiomatiser encore plus des choses qui taient djÀ des axiomes est quivalent À tenter de venir À bout d’une srie infinie en additionnant tous les termes. Cela ne peut ressembler À rien d’autre qu’À de la perte de temps. Je pense qu’on le savait djÀ À l’poque de Russell. Le seul intrt qu’il y avait À rfuter un prcdent logicien tait de prendre son titre. Russell prit le titre de Frege en tant que logicien numro un. Gdel prit ensuite le titre de Russell. Mais cette faÇon de faire les faisait plus ressembler À des champions d’chec qu’À des solutionneurs utiles de problmes. Les champions d’chec ne sont pas plus utiles À la socit que les idoles du football. Ils ne crent rien de plus que du divertissement.
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M. Mathis
Le paradoxe de Russell est directement analogue aux Thormes d’Incompltude de Gdel. Russell dtruisit la nave thorie des ensembles de Frege au moyen d’un simple paradoxe, exactement comme Gdel dtruisit la thorie axiomatique des ensembles de Russell. Mais aucune de ces destructions n’est logique en elle-mme. Avec le recul, la raison pour laquelle Frege n’ajouta pas simplement un axiome supplmentaire afin de se dbarrasser du paradoxe de Russell n’apparat pas clairement. Historiquement, c’est exactement ce qui s’est pass. La thorie des ensemble ZFC (Zermelo-Fraekel/Choice) ajoute plusieurs axiomes qui interdisent la cration des paradoxes cancreux connus. Elle le fait À peu prs de la mme manire que je l’ai fait navement ci-dessus – en interdisant des dclarations auto-rfrences. Les paradoxes de Russell et de Gdel concernaient tous deux des dclarations auto-rfrences. En jargon de logicien, elles taient des ensembles qui s’incluaient eux-mmes. La ZFC les interdit axiomatiquement, et la plupart des logiciens contemporains acceptent la consistance de la ZFC.
Le problme avec ceci est qu’il est inconsistant de croire en la ZFC et de penser en mme temps que les paradoxes de Russell et de Gdel taient importants ou signi-ficatifs. Si la ZFC est correcte, alors il y a trs peu de choses fausses dans la thorie nave des ensembles et les intrigues historiques paraissent plus que ridicules. Ce n’tait qu’une tempte dans un verre d’eau. Ce fut plus d’un sicle de travail pass À rsoudre quelque chose alors qu’une semaine aurait suffi. Zermelo connaissait en ralit le paradoxe de Russell avant que Russell envoie sa lettre À Frege, mais il le ngligea comme quelque chose de trivial. Il pensait que Ça ne mritait mme pas la moindre attention jusqu’À ce que Frege commette un satı mathmatique sur le bÛcher funraire de la thorie nave des ensembles. Ce fut la raction extrme de Frege qui fut la cause d’une instabilit dans le monde des maths, pas le paradoxe lui-mme. On pourrait penser qu’un mathmaticien, et plus spcialement un ma-thmaticien entran dans tous les arts du peaufinage d’quation par son matre Cantor [voir mon article sur Cantor], pourrait comprendre comment transcender un paradoxe auto-rfrenc.
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L’analyse de Popper sur la manire dont nous parvenons À la connaissance est bien plus proche de la ralit que l’analyse classique. C’est ce que l’on pourrait appeler une pistmologie oprationnelle. Elle est totalement oppose À l’pistmologie traditionnelle, qui se perd dans une tentative de gnralisation de dclarations spcifiques. Des millnaires ont t perdus À tenter de prouver de prtendus « uni-versels », alors qu’en fait les universels ne sont pas pertinents dans la question de l’apprentissage. Exactement comme nous n’avons pas À prouver des axiomes, nous n’avons pas besoin non plus de prouver des universels. Les neuf-diximes de nos connaissances sont de la sorte que je viens juste d’numrer, qui est base sur de la tautologie, ou de la dfinition et de la dduction. Le restant est du type de ce que Popper dcrit comme scientifique. Ce restant est hypothtique et fait reposer son
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contenu sur sa falsifiabilit. Les universels logie pratique. Ils ont un usage trs limit, Des abstractions infinies, ou universels, se
ne jouent aucun rÔle rel en pistmo-et cet usage est compltement abstrait. situent au-delÀ de la preuve.
Mais ce statut consistant À se situer au-delÀ de la preuve ne prsente pas de dan-ger pour la vrit, la connaissance, la science ou les mathmatiques. Absolument rien n’est perdu en laissant les universels non-prouvs. La seule chose que l’pis-tmologie classique n’a jamais expliqu est pourquoi nous devrions prouver les universels. Ce fut le grand apport de Popper À la philosophie. Ce fut sa premire question aux positivistes : « Que perdrions-nous si nous ne pouvions pas “induire” des dclarations gnrales, ou universels, À partir de dclarations singulires? ». Rponse : rien. Rien dans nos connaissances ne repose rellement sur une telle induction. Toutes les choses que les gens se soucient d’appeler vraies peuvent tou-jours tre appeles vraies, car elles sont vraies par dfinition. Les pommes sont rouges, les chiens aboient,2 + 2 = 4, et ainsi de suite. Et la science peut se passer d’universels puisqu’elle a toujours fonctionn sans universels. Sa mthode n’est pas inductive, elle ne proclame pas la certitude et ses rsultats ne sont pas vrifiables. Ses rsultats sont seulement plus ou moins falsifiables.
De cette faÇon, vous pouvez voir que les universels sont analogues À l’infini en ma-thmatique. Une dclaration universelle est une dclaration emmene vers l’infini, amene À la limite. L’analogie est encore plus serre, car l’infini comme l’univer-sel se sont rvls tre, dans leurs domaines respectifs, des briques gantes dans le mur. En philosophie, on a pass un nombre d’annes rellement extraordinaire À discuter de l’universel alors que son importance est pratiquement de zro. La mme chose peut tre dite de l’infini en mathmatique. Pratiquement rien d’utile en math n’a pu tre tir de l’tude de l’infini. Toute l’histoire du transfini a t une manipulation, cause par une erreur. Mme le calcul ne repose par sur l’infini, comme je l’ai dmontr autre part. Dvelopper des quations en utilisant des s-ries de Taylor et autres mthodes s’est rvl utile, mais ces mthodes n’auraient pas t ncessaires si le calcul avait t tabli en tout premier lieu sur le diffren-tiel constant plutÔt que sur un diffrentiel diminuant vers zro. La rsolution des problmes, dans tous les domaines, possderait un caractre tout diffrent aujour-d’hui si Archimde n’avait pas continu À rechercher des solutions aux quadratures au moyen de sries infinies, donnant ainsi des ides À Newton, Leibniz et tous les autres.