cours-exos2

Description

ontr103xe22.1Denontlin?airespDansdelelorspremierxehapitre,syst?meonxeat?tudi?tquelquesunm?thoexistedesOndesir?solutiondoncdepsys-approt?mesleslin?aires:enetdimensionlesnie.2.1L'obxetractionestxemaind?nittenanourtteldeuned?vremarquereloppsierundeslin?airem?thoundesdeexiste.r?solutionladeh?esyst?mes:nondeslin?aires,ttoujoursoinendimensionoinnie.monotonieOndesseedonnem?thoestoinPtedeergensivv?riep,yfonctionh.Caucquedeleesteton,euthercsurheomplet,1.seulemendansac:xe)quesyst?metrerreviensolutiontrouvdeoin:oinmonqu'unatv.Onour.r?solutionourpdupar(2.0.1)d?niesuitem?tholadeetoinSoitxe(2.0.1)pAutChapitredeItractiononpat?tudi?dedesm?thom?thodesdedeypr?solutionNewton.duLessyst?medes(2.0.1)pdanstle2.1.1oinparticulierxesuitelaSoitdepluse.gencquionverointuniqueetexistedeon,laeilExistencA:tout1petelEtapqu'il:parD?monstratione,actante,.quandfonctionalorset,.etp.alorsOnquevealamaintenanm?triquett?tendreeleespSoithamp.d'?tudeleaunon(2.0.1)o?t,?n'esterpaspforc?menttdeane..Onfaut-il?tudierateldeuxoinfamillesxede.m?tho(PdespetChapitreSyst?mesN N Ng∈C(IR ,IR ) x IRNx∈ IRg(x) = 0.Ng(x) = Ax−b A ∈ M (IR) b ∈ IRNgN N N Ng ∈ C(IR ,IR ...

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• Publié par: Urku
• Nombre de lectures: 41
• Langue: English

Extrait

actante,
t
(P
2
plus

.
non
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Dans
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premier
t

du
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t
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métho
.
des
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de
t
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tel
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linéaires
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dimension
Newton.
nie.
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L'ob


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on
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t
fonction
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er
non
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.
des
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de
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résolution

de
(2.0.1)
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non
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linéaires,
p
toujours
de
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p
dimension
de
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On
yp
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Les
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p
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2.1.1

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Soit
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.
v
oint

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la
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A
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p
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:
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que
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p
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:
faut-il
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oin
a
.
v
103
On
la
.
appro
our
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p
système
par
:
dénie
les
suite
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la
p
et
t
Soit
:
(2.0.1)
oin
Au
xe
Chapitre

I
et
on
oin
a
xe
étudié
monotonie
des
les
métho
des
des
t
de
e
résolution
2.1
du
métho
système
de
(2.0.1)
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le
P

t
particulier
de
suite
traction
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De
e
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p

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,
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,
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.
:
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1
que
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:
tel
Démonstration

,
ontr
.

quand
une
alors
,
,
On
et
eut
.
remarquer
On
sur
v

a
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main
si
tenan
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t
si
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ac
le
un

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hamp
t
d'étude
système
au
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où
donc
,
trouv
n'est
un
pas
oin
forcémen
xe
t
oin
ane.

On
qu'un
étudiera
p
deux
t
familles
existe.
de
.
métho
2.1
des
p
et
Chapitre
Systèmes
N N Ng∈C(IR ,IR ) x IR

N
x∈ IR
g(x) = 0.
Ng(x) = Ax−b A ∈ M (IR) b ∈ IRN
g
N N N Ng ∈ C(IR ,IR ) f ∈ C(IR ,IR ) f(x) =
x +g(x) g(x) = 0 f(x) = x
Résoudre
f
Théorème E d
E f : E → E
k∈]0,1[ d(f(x),f(y))≤kd(x,y) x,y∈E
x¯ ∈ E f(x¯) = x¯
(0) (n+1) (n) (n)x ∈E x =f(x )∀n≥ 0 x →x¯ n+∞
x¯
(0) (n) (n+1) (n)x ∈ E (x ) x = f(x )n∈IN
n≥ 0
(n)(x ) Ensi

Unicité
vérier).
alors
le
,
our
passan
p
Comme
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du
or
Soit
thé
de
du
on
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donc
démonstr
quand
la
donc
e
2.1,
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Sous
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est
est
et
p
:
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p
t
Etap
xe
limite
de
dans
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est
.
fonction
P
a
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y
h

yp
si
othèse,
or
on
hyp
sait
2.2
que
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p
,
our
Alors
tout
donc

a
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qui
ontr
ts

et

2
est
déduit
fois
l'égalité
n
à
que
.
tel
a
existe
tin
il
te,


ar
Comme
p
2.
actante"

ontr
i.e.

Cauc

suite

104
othèse
6
l'hyp
donc
emplaçant
ème
r
thé
en
othèses
xe
les
oint
1.
p
.
du
sauf
ème
imp
or

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le
;
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.
génér
et
eut
t
p
on
On
donc
2.
satisfon
lentement).
,
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quand
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elle
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t
,
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.
t
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que
donc
liné
on
moins
est
au
:
donc
,
est
h
e
de
genc
est
onver
La

quand
a
L
(n)lim x =x¯ f
n→+∞
n≥ 1,
(n+1) (n) (n) (n−1) (n) (n−1)d(x ,x ) =d(f(x ),f(x ))≤kd(x ,x ).
n
(n+1) (n) n (1) (0)d(x ,x )≤k d(x ,x ), ∀n≥ 0.
n≥ 0 p≥ 1
(n+p) (n) (n+p) (n+p−1) (n+1) (n)d(x ,x ) ≤d(x ,x )++d(x ,x )
pX
(n+q) (n+q−1)≤ d(x ,x )
q=1
pX
n+q−1 (1) (0)≤ k d(x ,x )
q=1
(1) (0) n p−1≤d(x ,x )k (1+k +...+k )
nk(1) (0)≤d(x ,x ) −→ 0 n→ +∞ k< 1.
1−k
(n)(x )n∈IN
(n+p) (n)∀ε> 0, ∃n ∈ IN; ∀n≥n , ∀ p≥ 1 d(x ,x )≤ε.ε ε
(n)E x −→x¯ E n→ +∞
f
(n)f(x )−→f(x¯) E n+∞
(n+1) (n)x =f(x ) x¯ =f(x¯).
x¯ y¯ f x¯ =f(x¯) y¯=f(y¯)
d(f(x¯),f(y¯)) =d(x¯,y¯)≤kd(x¯,y¯) k< 1
x¯ =y¯
Remarque
(n+1) (n)d(x ,x¯) = d(f(x ),f(x¯)) ≤
(n+1)d(x ,x¯)(n) (n)kd(x ,x¯); x = x¯ ≤ k (< 1).(n)d(x ,x¯)
f
(n)n> 0 f =f◦f◦...◦f| {z }othèses

eut
question

qui
et
vien
sur
t
donné
alors
en
naturellemen
ontr
t
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est
.
:
que
que
L
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si
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et
t
p

sur
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.
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si
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v
eut
est
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qui
la

et
si
que
te
de
tractan
p

Il
t
.
telle
a
que
On

trer
est
norme
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On
la
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Démonstration
et
r
:
tel
a
suite
on
que
(2.1.3),
dé
et
pr
.
alors
On
ar
aimerait
si
déterminer
:
les
la


sur
aussi
(2.1.2)
on
p
(2.1.4)
our
onstruisant
que
de
othèses
eut
soit
our

et
t
les

(2.1.3)
tractan
fonction
te.

Plus
si
yp
ème
t
L
si
donc
h
seul
6
ave
aux
que
grâce
v
,
relaxation)
on
désigne
dénit
ar
Donc
mon

la
norme

la
v
de
.
dénition
Soit
par
2.3
alors,
du
,
.
Soit
elaxation
.
de
que
est
tel
le
,
(2.1.5)
et
la
on
tel
remarque

que
de
existe
é
est
o
solution
e
du
.
système
(2.1.5),
(2.0.1)
la
si
p
et
est
seulemen
eet
t
(2.1.5)
si
suivante
qu'il
manièr
est
de
p
ette
oin
e
t
é
xe
(2.1.2)
de
p

Or
te,
que
tractan
:

la
t

.
(2.0.1)
On
solution
aimerait
obtenir
dans
p

,

p
a
(2.1.3),
v
(2.1.2)
oir
hyp
des
sous

er
p
A
our
la
que
montr

est
est

soit
actante

ermet
t
2.3

or
tractan
e
te.
.
que
existe
2.3
un
(P
un
oin
2.4
t

xe
quand
de
tel

105
traction
f
N Ng ∈ C(IR ,IR ) f(x) = x +g(x)
g f
généralemen ω = 0 f (x) =x+ωg(x) xω
x f (x)ω
fω
Théorème
N N N|.| IR g∈C(IR ,IR )
N2∃α> 0 (g(x)−g(y))(x−y)≤−α|x−y| ,∀x,y∈ IR ,
N∃M > 0 |g(x)−g(y)|≤M|x−y|,∀x,y∈ IR .
2α
f 0<ω<ω 2M
N (n)x¯∈ IR g(x¯) = 0 x −→x¯ n+∞
(n+1) (n) (n) (n+1)x =f (x ) =x +ωg(x )ω
Remarque
2αω∈]0, [2M
<