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Description

Application de la th´eorie des∗ondelettesVal´erie PerrierLaboratoire de Mod´elisation et Calcul de l’IMAGInstitut National Polytechnique de [e-mail]∗Enseignement UNESCO Traitement du signal et des images num´eriques, Tunis,ENIT, 14-18 mars 20050-0D´ebruitage par ondelettes orthogonalesR´ef´erences : articles de Donoho et JohnstoneMesures bruit´ees :X[n] =f[n]+W[n], n = 0,N −1X : donn´ees mesur´ees,f : signal (inconnu) de taille N contamin´e par le bruitW : bruit blanc gaussien de moyenne nulle et d’´ecart type σ.˜L’objectif est de construire un estimateur F =D(X) de f minimisant lerisque :N−1n o n oX2 2˜ ˜r(D,f) =E kf −Fk = E |f[n]−F[n]|n=0Estimateurs non lin´eaires sur basesN NSoit B ={g ∈R ; k = 0,N −1} une base orthonorm´ee deR . Onkd´ecompose les donn´ees sur B :N−1XX[n] = g [n]k kk=0et les produits scalaires v´erifient := +k k kRemarques :2• () est ´egalement un bruit blanc gaussien de variance σk(car B est orthonorm´ee).2 2• E{} =|| +σk kOp´erateurs diagonauxUn op´erateur diagonal D dans la base B conduit `a un estimateur de laforme :N−1X˜F =DX = d () gk k kk=0ou` les d sont des fonctions d’att´enuation des coefficients bruit´es.kEstimateur id´eal (i.e. qui minimise le risque r(D,f))N−1X˜F =DX = θ(k) gk kk=0avec8<1 si ||≥σkθ(k) =:0 si ||<σkDans ce cas, l’op´erateur D est un ...

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• Publié par: Odri
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• Langue: Français

Extrait

Applicationdelathe´oriedes ∗ ondelettes

Vale´riePerrier

LaboratoiredeMod´elisationetCalculdel’IMAG Institut National Polytechnique de Grenoble [e-mail]

∗ Enseignement UNESCOnsmuamegedislateques´eriduntgnsiaiTrmete, Tunis, ENIT, 1418 mars 2005

00

D´ebruitageparondelettesorthogonales

R´ef´erences:articlesdeDonohoetJohnstone Mesuresbruit´ees:

X[n] =f[n]+W[n],

n= 0, N−1

Xsmesur´e:donn´ee,se f(inconnu) de taille: signal Nonctrbiurael´npeatim W:bruit blancendgeamussienenuoyendt´’lleettpyceraσ.

˜ L’objectif est de construire unestimateurF=D(X)defminimisant le risque : N−1 n o n o X 2 2 ˜ ˜ r(D, f) =Ekf−Fk=E|f[n]−F[n]| n=0

Estimateursnonlin´eairessurbases N N SoitB={g k ∈R;k= 0, N−1}ederm´etroeonohnusabeR. On d´ecomposelesdonn´eessurB:

N−1 X X[n] =< X / g k > g k [n] k=0 etlesproduitsscalairesv´erifient:

Remarques :

< X / g k >=/ g< f k >+/ g< W k >

2 •(< W / g k >se´t)menegelaruittunbcgaublanvedneissecnairaσ (carBes´neohrom.rtet)o

2 2 •E{/ g< X k >}=|< f / g k >|+σ

Op´erateursdiagonaux Unare´poagdiurtealonDdans la baseBaocdniu`taunestimateurdel forme : N−1 X ˜ F=DX=d k (/ g< X k >)g k k=0 ou`lesd k e´.surtitnbsfficiescoeondeuatine´tta’dsnoitcnosfdentso

Estimateurid´eal(i.e.qui minimise le risquer(D, f))

N−1 X ˜ F=DX=/ g< X k >θ(k)g k k=0 avec 8 < 1si|/ g< f k >| ≥σ θ(k) = : 0si|< f / g k >|< σ Danscecas,l’op´erateurDnlno´einreai.tseponuare´ruet

Estimateurs par seuillage Un estimateur par seuillage dans la baseBnurdonn´epaestruetare´poD diagonal: N−1 X ˜ F=DX=d k (< X / g k >)g k k=0 o`ulesd k sont des fonctions de seuillage (Tun seuil): 8 < x si|x|> T(seuillage ”dur”) d k (x)=ρ T (x) = : 0si|x| ≥T 8 ou bien x−xT si ≥T(seuillage ”doux”) > < d k (x)=ρ T (x) = x+xT si ≤ −T > : 0si|x| ≤T Question: comment choisirTpour approcher le risque minimal de l’estimateurid´eal? R´eponsechoix: le T=σ2 logN`aitriuncduon`etruesqerg`´esltneme e supe´rieur(th.deDonohoJonstone).

Seuillage dans une base d’ondelettes Onchoisitcommebase(casp´eriodique): j J B={ϕ, ψ j,k ; 0≥j≥J−1, k= 0,2−1}(N.2=at=leilsdden´ons)ee L’estimateur de seuillage sur base d’ondelettes est :

J J−1 2−1 X X ˜ F=ρ T (/ ϕ >< X )ϕ+ρ T (/ ψ< X j,k >)ψ j,k j=0 k=0

2 Estimation de la varianceσdu bruitW:

Sifamitsenu,xuaecrormpaerligu´etresuc´l`eaetsectlauitrobusteurdubr partir de la´emandieneic’dstsedffieoclelachelfinepluselttnoed’le´sea` : J−1 N {< X / ψ J−1,k >}c2 = k=0,2−1 : 2 oefficients d’ondelettes des J−1 donn´eesa`l’e´chellelaplusfine.  Si/ ψ< f J−1,k >est petit (fstetdepporuselrusreiluge´rψ J−1,k ), on a :/ ψ< X J−1,k >≈< W / ψ J−1,k >.  Si< f / ψ J−1,k >spond`auelacorreratie´edenisgnluargtc,dnsef,

mais sifststr´ere`ilugeaecrom/edeeu,puxencieffico< X / ψ J−1,k > sontaffect´es`alapluspetitee´chelle. 2 Donc< X / ψ J−1,k >l´eableaariaunevcneraaideveosttrieσ.

J−1 On calcule alorsσpar la formule (exacte dans le cas deP= 2 variablesal´eatoiresgaussiennesinde´pendantes,demoyennenulles,etde 2 varianceσ) : M X σ≈ 0,6745 ou`M X tlamesaned´ediocseicffiestne{< X / ψ J−1,k >} k=0,2−1 a` J−1 l’e´chellelaplusfine.

Exemple :f(x) =|cos 2πx|+bruit 10 (discre´tis´eesur1024=2valeurs)

−1

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ExempledeprogrammeWaveLabded´ebruitage %Ge´n´erationd’unsignaly n=1024;dx=1/n;x=(0:n1)/n; alpha=0.1 % rapport du bruit y=sqrt(abs(cos(2*pi*x))); ou y=MakeSignal(’PieceRegular’,n);

% y=y+alpha*randn(size(y)); % ajout d’un bruit gaussien plot(x,y)%tracedusignalbruit´e

%D´ebruitageparseuillage"dur"surbaseorthonormee’Symmlet4’ out=ThreshWave(y); plot(x,out)%tracedusignalde´bruite´