Metastability of the Chafee-Infante equation with small heavy-tailed Lévy Noise [Elektronische Ressource] : a conceptual climate model / Michael Anton Högele. Gutachter: Peter Imkeller ; Ilya Pavlyukevich ; Jerzy Zabczyk

Herrn Dipl.-Math. Michael Anton Högele

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• Publié le: 01 janvier 2011
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Extrait

Metastability of the Chafee-Infante Equation with small
heavy-tailed Lévy Noise
A Conceptual Climate Model
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
doctor rerum naturalium
(Dr. rer. nat.)
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Herrn Dipl.-Math. Michael Anton Högele
geboren am 16.04.1980 in Cham in der Oberpfalz
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Peter Frensch
Gutachter:
1. Prof. Dr. Peter Imkeller
2. Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
3. Prof. Dr. Jerzy Zabczyk
eingereicht am: 30.08.2010
Tag der mündlichen Prüfung: 02.12.2010XXIX
Caminate, son tus huellas
el camino, y nada más;
caminate, no hay camino,
se hace camino al andar.
Al andar se hace camino
y al volver la vista atrás
se ve la senda que nunca
se ha de volver a pisar.
Caminante, no hay camino,
sino estelas en la mar.
A. Machado: Proverbios y Cantares
In Memory of My MotherAbstract
If equator-to-pole energy transfer by heat diffusion is taken into account, En-
ergy Balance Models turn into reaction-diffusion equations, whose prototype is
the (deterministic) Chafee-Infante equation. Its solution has two stable states and
several unstable ones on the separating manifold (separatrix) of the stable domains
of attraction. We show, that on appropriately reduced domains of attraction of
a minimal distance to the separatrix the solution relaxes in time scales increasing
only logarithmically in it. Motivated by the statistical evidence from Greenland
ice core time series, we consider this partial differential equation perturbed by an
infinite-dimensional Hilbert space-valued regularly varying (pure jump) Lévy noise
ofindexalphaandintensityepsilon. Aproto-typeofthisnoiseisalpha-stablenoise
in the Hilbert space.
Extending a method developed by Imkeller and Pavlyukevich to the SPDE set-
ting we prove under mild conditions that in contrast to Gaussian perturbations
the expected exit and transition times between the domains of attraction increase
polynomially in the inverse intensity. In Chapter 6 we introduce an additional
natural separatrix hypothesis on the jump measure that implies an upper bound
on the exit time of a neighborhood of the separatrix. This allows to obtain an
upper bound for the asymptotic exit time uniform for the initial positions inside
the entire domain of attraction. It is followed by two localization results. Finally
we prove that the solution exhibits metastable behavior. Under the separatrix
hypothesis we can extend this to a result that holds uniformly in space.
vZusammenfassung
Wird der Äquator-Pol-Energietransfer als Wärmediffusion berücksichtigt, so ge-
hen Energiebilanzmodelle in Reaktions-Diffusionsgleichungen über, deren Modell-
fall die (deterministische) Chafee-Infante-Gleichung darstellt. Ihre Lösung besitzt
zweistabileZuständeundmehrereinstabileaufderseparierendenMannigfaltigkeit
(Separatrix)derstabilenAnziehungsgebiete.Eswirdbewiesen,dassdieLösungauf
geeignet verkleinerten Anziehungsgebieten mit Minimalabstand zur Separatrix in-
nerhalbvonZeitskalenrelaxiert,diehöchstenslogarithmischdarinanwachsen.Mo-
tiviert durch statistische Belege aus grönländischen Zeitreihen wird diese partiel-
le Differentialgleichung unter Störung mit unendlichdimensionalem, Hilbertraum-
wertigen, regulär variierenden Lévy’schen reinen Sprungrauschen mit index alpha
und Intensität epsilon untersucht. Ein kanonisches Beispiel dieses Rauschens ist
alpha-stabiles Rauschen im Hilbertraum.
Durch Erweiterung einer Methode von Imkeller und Pavlyukevich auf stochasti-
sche partielle Differentialgleichungen wird unter milden Bedingungen bewiesen,
dass im Gegensatz zu Gauß’schem Rauschen die erwarteten Austritts- und Über-
trittszeiten zwischen Anziehungsgebieten polynomiell mit Ordnung in der inversen
Intensität für kleine Rauschintensität anwachsen. In Kapitel 6 wird eine zusätz-
liche natürliche ”Separatrixhypothese“ über das Sprungmaß eingeführt, die eine
obere Schranke für die Austrittszeiten aus einer Umgebung der Separatrix impli-
ziert. Dies ermöglicht den Nachweis einer oberen Schranke für die Austrittszeiten,
welche gleichmäßig für Anfangsbedingungen in dem ganzen Anziehungsgebiet gilt.
Es folgen zwei Lokalisierungsergebnisse. Schließlich wird gezeigt, dass die Lösung
metastabiles Verhalten aufweist. Unter der ”Separatrixhypothese“ wird dies auf
ein Ergebnis erweitert, welches gleichmäßig im Raum gilt.
viiContents
List of frequently used Notation 1
1. Introduction 5
1.1. A Conceptual Approach to Low-Dimensional Climate Dynamics . . . . . 6
1.1.1. Hasselmann’s Unfinished Program . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Energy Balance Models perturbed by Noise of Small Intensity . . 8
1.1.3. The Motivating Phenomenon: Paleoclimatic Warming Events . . 9
1.2. The Mathematical Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. The Derivation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. The Basic Idea: Noise Decomposition by the Intensity Parameter 14
1.2.3. A Glance at Related Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.4. Organization of the Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. The Main Results 19
2.1. The Mathematical Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. The Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3. The Small Deviation of the Small Noise Solution 35
3.1. Small on Deterministic Time Intervals . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1. Small Deviation with Controlled Small Noise Convolution . . . . 36
3.1.2. Control of the Small Noise Convolution . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.3. The Small Deviation Estimate on Deterministic Time Intervals . 47
3.2. Small Deviation before the First Large Jump (Proof of Proposition 3.1) 49
4. Asymptotic Exit Times 53
4.1. Estimates of Exit Events by Large Jump and Perturbation Events . . . 53
4.2. Asymptotic Exit Times from Reduced Domains of Attraction . . . . . . 57
4.2.1. The Upper Estimate of the Laplace Transform . . . . . . . . . . 59
4.2.2. The Lower Estimate of the T . . . . . . . . . . 67
4.2.3. Asymptotic Exit Times in Probability . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Proofs of the Estimates for the Exit Events . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.1. Partial (Proof of Lemma 4.1) . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3.2. Full Estimates (Proof of Lemma 4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.3. Asymptotics of Large Jump Events (Proof of Lemma 4.4) . . . . 80
ixContents
5. Asymptotic Transition Times 83
5.1. Asymptotic Times to enter different Reduced Domains of Attraction . . 83
5.1.1. Estimates of Transition Events (Proof of Lemma 5.2) . . . . . . 89
5.2. Transition Times between Balls Centered in the Stable States . . . . . . 91
6. Localization and Metastability 95
6.1. Hypothesis (H.3) prevents Trapping close to the Separatrix . . . . . . . 95
6.2. Asymptotic Estimates of Exit Times from Entire Domains of Attraction 104
6.3. Localization on Subcritical and Critical Time Scales . . . . . . . . . . . 106
6.4. Metastable Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A. The Stochastic Chafee-Infante Equation 119
A.1. Lévy Processes in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.2. Stochastic Integration in Hilbert Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.3. The Stochastic Convolution with Lévy Noise . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.4. The Stochastic Chafee-Infante Equation with Lévy Noise . . . . . . . . 128
A.5. The Strong Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.6. Basics on Slowly and Regularly Varying Functions . . . . . . . . . . . . 138
B. The Fine Dynamics of the Chafee-Infante Equation 141
B.1. Consistency of Reduced Domains of Attraction (Proof of Lemma 2.13) . 141
B.2. Logarithmic Bounds on the Relaxation Time in Reduced D.o.A. . . . . . 143
B.2.1. The Fine Structure of the Attractor . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B.2.2. Logarithmic Relaxation Times (Proof of Proposition 2.15) . . . . 144
B.2.3. Local Convergence to Stable States . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
B.2.4. Local Repulsion from Unstable States in Reduced D.o.A. . . . . 156
B.2.5. Uniform Exit from Small Tubes around Heteroclinic Orbits . . . 166
B.3. An Integrability Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Bibliography 180
List of Figures 181
Acknowledgement 183
Selbständigkeitserklärung 185
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