Méthodes de statistique inférentielle.

A. Philippe

Description

Plan du cours
Methodes de statistique inferentielle.
1 Introduction
A. Philippe
2 Probabilites : Variables Aleatoires ContinuesLaboratoire de mathematiques Jean Leray
Universite de Nantes
[e-mail]
3 Estimation
Version modi ee le 23 avril 2009
4 Tests
Ce cours est destine aux etudiant(e)s de l’IUT de Nantes,
5 liere GEA, 2eme annee. Regression
http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~philippe/
A. lippe (U. Nantes) Methodes de statistique inferentielle. 23 avril 2009 1 / 166 A. lippe (U. Nantes) Methodes de statistique inferentielle. 23 avril 2009 2 / 166
Introduction Introduction
Plan de la section Quelques problemes
1 Un fabricant souhaite veri er la qualite des ampoules electriques
produites par une nouvelle cha^ne de production.
Il faut donc evaluer la duree moyenne de fonctionnement des
ampoules.
1 Introduction
Comment evaluer cette duree moyenne ?
On ne peut pas tester toutes les ampoules !
2 Le responsable d’un parti politique souhaite estimer la proportion
des militants favorables a la candidature de Mr X pour la
prochaine election presidentielle.
Comment calculer la popularite d’un candidat au sein d’une
population ?
Interroger tous les militants est trop cou^teux.
A. lippe (U. Nantes) Methodes de statistique inferentielle. 23 avril 2009 3 / 166 A. lippe (U. Nantes) Methodes de statistique inferentielle. 23 avril 2009 4 / 166Introduction Introduction
Population& Echantillon Pour resumer
De nition
La population : l’ensemble de tous les elements ...

Sujets

• Nantes Atlantique Hockey Glace
• Arrondissement de Lippe
• Loi normale
• Dérogation (zonage)
• Scrutin proportionnel plurinominal
• Test (statistique)

Informations

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• Langue: Catalan
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

M´ethodesdestatistiqueinfe´rentielle.

A. Philippe

Laboratoiredemath´ematiquesJeanLeray Universit´edeNantes [e-mail] Versionmodifi´eele23avril2009

Cecoursestdestin´eaux´etudiant(e)sdel’IUTdeNantes, fili`ereGEA,2`emeanne´e.

http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~philippe/

A. Φlippe (U. Nantes)

Plan de la section

1 Introduction

A. Φlippe (U. Nantes)

M´ethodesdestatistiqueinfe´rentielle.

Introduction

M´ethodesdestatistiqueinfe´rentielle.

23 avril 2009 1 / 166

23 avril 2009 3 / 166

Plan du cours

1 Introduction

2 esirntCol´sAtoeairaVelbatili:se´bobarPnieus

3 Estimation

4 Tests

5 R´ ion egress

A. Φlippe (U. Nantes)

Me´thodesdestatistiqueinf´erentielle.

Introduction

Quelquesprobl`emes

23 avril 2009

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1 fiire´vetiahuostnsade´eitalqulaerricanfabUlecertqipmuoel´sues produitesparunenouvellechaıˆnedeproduction. Ilfautdonc´evaluerladure´emoyennedefonctionnementdes ampoules.

Comment´evaluercettedure´emoyenne? On ne peut pas tester toutes les ampoules ! 2 Le responsable d’un parti politique souhaite estimer la proportion desmilitantsfavorablesa`lacandidaturedeMrXpourla prochaine´electionpr´esidentielle. Commentcalculerlapopularite´d’uncandidatauseind’une population ? Interrogertouslesmilitantsesttropcoˆuteux.

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Me´thodesdestatistiqueinfe´rentielle.

23 avril 2009 4 / 166

Introduction ´ Population&llnotianchE

D´efinition Lapopulation:l’ensembledetousles´el´ementsconside´re´sdansune e´tude.

De´finition L’e´chantillonestunsousensemblefinidelapopulation. Latailledel’e´chantillonestlenombred’´el´ementss´electionn´espour constituerl’´echantillon.

Lebutdel’inf´erencestatistique.

Tirerdesconclusionsconcernantcertainescaracte´ristiquesdela populationa`partirdesinformationscontenuesdansl’e´chantillon.

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Introduction

Retour aux exemples

1

2

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Le fabricant d’ampoules. Ilpre´l`eveun´echantillonconstitu´ede130ampoules. Pourchaqueampoule,ilmesureladure´edefonctionnement. Lamoyennedel’e´chantillonvaut36000heures. Une estimation pour la population est 36 000 heures. Le responsable du parti. Ilconstitueune´chantillondetaille400.Parmilespersonnes ´lectio´ees,250sontfavorablesaucandidatpropos´e. se nn Uneestimationdelaproportiondelapopulationfavorable`aMr X est 250/400 = 0.625

Quelleestlaqualite´decesdeuxestimations?

A. Φlippe (U. Nantes)el.itleeisqtuaedteissdteertehnoinMf´´

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Pour resumer ´

Introduction

A. Φlippe (U. Nantes)lle.ituqiefne´ertneith´eesodstdeisatM

Introduction

Erreurd’e´chantillonnage

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Ellere´sultedel’utilisationd’unsousensembledelapopulation (l’e´chantillon)etnondelapopulationtouteentiere. ` Exemple : le responsable du parti (suite).tsenidsnre´fftnahollideux´ec

Quelleestlaprecisiondesestimationsr´ealis´ees? ´

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M´ethodesdestatistiqueinf´erentielle.23 avril 2009

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Probabilit´es:VariablesAl´eatoiresContinues

Plan de la section

2 onsCnutiat´ereoisear:Vest´AlesbliaPilibabor G´ene´ralite´s Loi gaussienne/normale

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M´ethodesdestatistiqueinf´erentielle.

Probabilite´s:VariablesAle´atoiresContinues´s´tliaer´eG en

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Unexempledeloidiscr`ete:laloiBinomiale

Unhoˆtelposs`ede50chambres.Auprintempsletauxderemplissage est de 75%. On noteXnolerembtcuhndeesueep´cuocesbramse’C.e´nnodruojn variableal´eatoire. X∈ {0, . . . ,50}prend un nombre fini de valeurs, c’estunevariableal´eatoirediscre`te. La loi deXest laloi binomialede parametren= 50 etp= 0.75. ` c’est`adire,pourtoutk∈ {0, . . . ,50}, on a P(X=k) =C k p k (1−p) 50−k 50 Laprobabilit´equel’hˆotelsoitcompletvaut P(X= 50) =C 05 50 0.75 50 (1−0.75) 0 = 0.75 50

A. Φlippe (U. Nantes)nere´fni.elleitteoh´Mestadesdiquetist

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Probabilite´s:VariablesAle´atoiresContinuesGe´´nrelait´es

2 iraV:se´´lAselbaesirtoeaueinntCosProbabilit Ge´neralite´s ´ Loi gaussienne/normale

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Me´thodesdestatistiqueinfe´rentielle.

Probabilit´es:VariablesAl´eatoiresContinuesGn´´eslaree´ti

Plusge´n´eralement

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Unevariableale´atoirediscre`teprendunnombreauplus de´nombrabledevaleurs.L’ensembledesvaleursprisesparX peutdoncs’´ecriredelaforme{x i ,i∈E}uo`Eest un sous ensemble deN Laloidelavariableal´eatoireXilibse´tpsedaborastlteuies p k =P(X=x k ) pour toutk∈E L’esperance (moyenne) deX: ´ E(X) = X p k x k k∈E La variance deX: X
X ! 2

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var(X) =p k x k 2 −p k x k k∈E k∈E

M´ethodesdestatistiqueinf´erentielle.

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Probabilite´s:VariablesAle´atoiresContinuess´lnaer´eGe´ti

Unexempledevariableal´eatoirenondiscre`te

On noteXle temps de vol entre Paris et Vilnius. C’est une variable ale´atoirequiprenddesvaleurscomprisesentre135mnet165mn. Lavariableal´eatoireXpeut prendre toutes les valeurs de l’intervalle [135,165]. Cettevariablealeatoiren’estdoncpasunevariablediscre`te. ´

De´finition OnditqueXestunevariableal´eatoirecontinue.

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Probabilite´s:VariablesAl´eatoiresContinues´itals´ee´G ner

Calculdesprobabilite´s

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L’airecommemesuredesprobabilite´s SoitXuabrivanenieu,oirecontleal´eatfedsntie´as De´finition Laprobabilite´queXappartiennea`l’intervalle[a,b]P(a≤X≤b) este´galea`l’aireendessousdelacourberepre´sentativedeladensite´ comprise entre x=a et x=b

Autrement dit b P(a≤X≤b) = Z f(t)dt a

A. Φlippe (U. Nantes)´Meddsteohtistestainf´ique.leenerelti

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Probabilit´es:VariablesAle´atoiresContinuesG´en´eraltie´s De´finition

Laloid’unevariableal´eatoirecontinueestde´finiea`partid’ r une fonctionfe´eppleaneisdt´eteans:se´tviusporpe´ireleserifiuiv´q fest positive pour toutx∈R,f(x)≥0 l’aire en dessous la courbe repre´sentativedefvaut 1 autrement dit Z ∞− ∞ f(x)dx= 1

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Probabilit´es:VariablesAl´eatoiresContinuesalern´´eGse´ti

Illustration

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1 eatoeal´iredeleis´tailbvarableubeencourLadanetnlee´eserrp 2 L’aise´eprreentozaledertrevneen sur l’image de gauche :P(X≤a) sur l’image du milieu :P(a≤X≤b) sur l’image de droite :P(X≥b)

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