Non-parametric hypersurfaces of prescribed mean curvature in H_1hnn x R [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Frank Roeser

Frank Roeser

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• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Deutsch
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Extrait

Non{parametric Hypersurfaces of
nPrescribed Mean Curvature inH R
Von der Fakult at fur Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
der Rheinisch{Westf alischen Technischen Hochschule Aachen
zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der
Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Diplom{Mathematiker
Frank Roeser
aus Emmerich
Berichter: Univ.-Prof. Dr. Heiko von der Mosel
AOR Priv.-Doz. Dr. Alfred Wagner
Tag der mundlic hen Prufung: 14. Juli 2010
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfugbar.Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit betrachten wir Hyper achen mit vorgeschriebener mittlerer
nKrumm ung und vorgeschriebenen Randwerten in der Produktmannigfaltigkeit H R unter
nVerwendung variationeller Methoden. Hierbei bezeichnet H das konforme Ball{Modell des
hyperbolischen n{dimensionalen Raumes. Wir richten unser Augenmerk haupts achlich auf
nicht parametrische Hyper achen, aber werden auch eine Verbindung zu der parametrischen
Formulierung des dazugeh origen Dirichlet{Problems herstellen, um Techniken und Methoden
der geometrischen Ma theorie zu nutzen. Die nichtparametrischen Hyper achen sind gegeben
als Graphen von H ohenfunktionen u ub er einem gegebenen beschr ankten (bezogen auf die hy-
nperbolische Metrik) Gebiet inH .
Wirosenl ein bestimmtes Dirichlet{Problem fur die Funktion u im Rahmen der direkten
Methoden der Variationsrechnung. Das dazugeh orige zu minimierende Funktional ist gegeben
durch
r u(x)Z Z Z n 2 n21 j xj2 22J (u) := 1 + jDuj + H(x;t)dtdx2 21 j xj 2 1 j xj

0
I n 1
2 n 1+ ju ’jdH :21 j xj
@

n
nDieses Funktional is wohlde niert auf Funktionen u 2 BV ( ), wobei
H mitH
10;1@
2 C ein beschanktesr Gebiet ist. Die Randwerte ’ 2 L (@ ) und die mittleren
H
0;1 @Krumm ung H2C (
R) mit H(x;t)> 0 sind vorgegeben.
@t
Wir zeigen Existenz und Eindeutigkeit eines Minimierers u vonJ . Weiterhin beweisen
1wir H ohenabsch atzungen fur u, wenn’2 L ( ) ist. Die innere Regularit at des Minimierersn
H
zeigen wir mit Hilfe der Regularit atstheorie von rekti zierbaren {minimalen Str omen aus der
geometrischen Ma theorie bis Dimension n 6. Fur den Beweis der inneren Regularit at des
Minimieres in beliebiger n 2, nutzen wir die Regularit atstheorie quasilinearer,
nicht{strikt gleichm a ig elliptischer partieller Di erentialgleichungen. Als Zusatz geben wir
eine Einfuhrung in die Funktionen von beschr ankter Variation auf Riemannschen Mannig-
faltigkeiten.
vAbstract
In the present thesis, we consider hypersurfaces of prescribed mean curvature and pre-
nscribed boundary values in the product manifold H R from a variational point of view.
nHere, H denotes the conformal ball model of the hyperbolic n{space. We focus mainly on
non{parametric hypersurfaces but also establish a link to the parametric formulation of the
corresponding Dirichlet problem in order to use techniques from geometric measure theory.
The hypersurfaces are given by graphs of height functions u over a given
nbounded (with respect to the hyperbolic metric) domain in H .
We solve a certain Dirichlet problem for the function u in the framework of the direct
methods of the calculus of variation. The corresponding functional to be minimized is given
by
u(x)rZ Z Z n 2 n21 j xj2 22J (u) := 1 + jDuj + H(x;t)dtdx2 21 j xj 2 1 j xj
0

I n 1
2 n 1+ ju ’jdH :21 j xj
@

n 0;1The functionalJ is well de ned on functions u2 BV n( ), where
H with @
2C
H
1is a bounded domain. The boundary values ’2 L (@ ) and the mean curvature H 2n
H
0;1 @C (
R) with H(x;t)> 0 are given.
@t
We establish existence and uniqueness of a minimizer u toJ . Furthermore, we prove
1height bounds for u if ’2 L n( ). The interior regularity of the minimizer is proved via
H
regularity theory of recti able {minimizing currents from geometric measure theory up to
dimension n 6. For the proof of the interior regularity of the minimizer in arbitrary di-
mension n 2 we use regularity theory of quasilinear, non{strict uniformly elliptic partial
di erential equations. As an addition, we give an introduction to the space of functions of
bounded variation on Riemannian manifolds.
viAcknowledgments
I would like to express my deep gratitude to my advisor Prof. Dr. Josef Bemelmans for
his support and for giving me the opportunity to work at the Institut fur Mathematik at
the RWTH Aachen University and for introducing me to the interesting research eld of the
calculus of variations. I am indebted to Prof. Dr. Heiko von der Mosel for being the rst
referee for this thesis, caused by the absence of Prof. Dr. Josef Bemelmans from the institute,
and AOR PD Dr. Alfred Wagner for accepting to be the second referee.
Furthermore, I would also like to thank all my colleagues at the Institut fur Mathematik
for many fruitful discussions, fun, and a comfortable lively atmosphere which I really enjoyed
the last years.
viiviiiContents
Introduction 1
1 Preliminaries and Foundations 7
1.1 Basic Notation and Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
n1.2 The Hyperbolic n{SpaceH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
n1.2.1 Euclidean nE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1;n 11.2.2 Lorentzian n{SpaceR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
n1.2.3 Hyperbolic n H (hyperboloid model) . . . . . . . . . . . . . . . 11
n1.2.4 Hyperbolic n{Space B (conformal ball model) . . . . . . . . . . . . . . 12
n1.2.5 Hyperbolic n U (upper{half space model) . . . . . . . . . . . . 16
n1.3 The Area Functional inH R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 The Space of Functions of Bounded Variation BV n . . . . . . . . . . . . . . . 23
H
n1.5 The Relaxed Area Functional inH R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6 Properties of BV n Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
H
2 Existence 47
2.1 The Mean Curvature Term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 Equivalent Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Semicontinuity of the Mean Curvature Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 The Euler{Lagrange Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Necessary Conditions on H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Existence and Uniqueness of a Minimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
12.6 L {Bounds for a Minimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70n
H
3 Parametric Formulation 79
3.1 Parametric Area Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 P Mean Curvature Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 Parametric Regularity for n 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
0;14 C Regularity of the Minimizer 107
n5 Dirichlet Problem in H R 111
5.1 Euler{Lagrange Equation in Non{Divergence Form . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Height Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Relation Between Hyperbolic and Euclidean Mean Curvature . . . . . . . . . . 114
5.4 Boundary Gradient Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5 Interiort Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
ixContents
Appendix
A BV on Riemannian Manifolds 125
A.1 De nition of BV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125M
A.2 Caccioppoli Sets inM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
List of Figures 135
Nomenclature 137
Bibliography 141
Index 147
x