Notes de cours de statistiques univariees

Jean-Etienne Poirrier

Sujets

• Homo sapiens
• Valeur de la biodiversité
• Relation de un à un
• Famille Visconti
• Population des provinces italiennes
• Statistique

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• Publié par: Thyom
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• Langue: Catalan

Extrait

Notesdecoursde Statistiquesunivarie´es Jean-EtiennePoirrier ∗ 26septembre2006 Tabledesmatie`res 1Introductionetde´finitions3 1.1Population,e´chantillon,unite´etvariable........................3 1.2Lestroistypesdevariables...............................3 2Lastatistiquedescriptive4 2.1L’approchegraphiquedere´ductiondesdonne´es....................4 2.1.1Variablediscre`te.................................4 2.1.2Variablecontinue.................................7 2.2L’approchenume´riqueder´eductiondesdonne´es....................8 3Parame`tresnume´riquesdere´ductiondesdonne´es8 3.1Lesparame`tresdeposition...............................8 3.1.1Lemode......................................9 3.1.2Lamoyenne....................................9 3.1.3Lame´diane....................................10 3.1.4Lequantile....................................10 3.2Lesparame`tresdevariabilite´..............................11 3.2.1L’e´tendue.....................................11 3.2.2L’intervalleinter-quartiles............................11 3.2.3L’e´cartmoyen...................................12 3.2.4Lavariance....................................12 3.2.5L’e´cart-type....................................12 3.3Lesparame`tresdeforme.................................14 3.3.1Coefficientdesyme´trie..............................14 3.3.2Coefficientd’aplatissement...........................14 3.4Lesparame`tresd’association..............................14 3.4.1Covariance....................................15 3.4.2Coefficientdecorre´lation............................15 ∗ Cesnotesdecoursdestatistiquessontlargementinspire´esdemesnotesprisesaucoursduprofesseur A.Albertpourlesdeuxie`mescandidaturesenbiologiea`l’Universite´deLie`ge(Belgique).Jenesuisdonc passtatisticienet,sivousaviezdesremarques,dessuggestionsousivoustrouviezdeserreurs,vouspouvez m’enfaireparta`l’adressesuivante:[e-mail]`reversiondecesnotessetrouventici: http://www.poirrier.be/jean-etienne/notes/.CesnotessontsouslaGNUFreeDocumentationLicencedontle textesetrouveici:http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html 1

TABLEDESMATIE ` RES 4 A B C 3.4.3Droitedere´gression....................... 3.4.4Coefficientdede´termination................... Enchantillonnage,probabilite´etvariablesale´atoires De´monstrationdelaformuledelavariancedanslecasou`n=2 De´monstrationdelaformuledetravaildelavariance De´monstrationdelaformuledetravaildelacovariance . . . . . . . . . . . . . . . . 2 16 61 71 81 81 91

1INTRODUCTIONETDE ´ FINITIONS3 1Introductionetde´finitions R.A.Fisherade´finilastatistiquecommeladisciplinequie´tudielesme´thodesdere´duction dedonne´es,lavariabilite´etlespopulations. –Lesme´thodesdere´ductiondesdonne´esfontpartiedelastatistiquedescriptive(ouexplora- toire).Ellesconsistenta`essayerdere´sumerune´chantillondedonne´esviadesgraphiquesou descaracte´ristiquesnume´riques.Elleestpre´sente´eende´taila`lasection2. –L’e´tudedelavariabilite´cherchea`l’expliquer.Ellefaitpartiedelath´eoriedel’e´chantillonnage. –L’e´tudedespopulationsfaitpartiedelastatistiqueinfe´rentiellequiprendune´chantillonet entiredesconclusionspourtoutelapopulation.Ellepartdoncdel’expe´riencea`l’hypothe`se (faiteaude´part). 1.1Population,e´chantillon,unite´etvariable Avantd’allerplusloin,ilestimportantdede´finirclairementquelquestermes... Lapopulationestunensembledesujets(=objets=e´le´ments)quiontau-moinsuneproprie´te´ encommun. L’e´chantillondelapopulationestunsous-ensembledelapopulation.Cete´chantillondoiteˆtre repre´sentatifdelapopulation. L’unite´statistiqueestl’e´le´mentdelapopulationsurlequelontravaille.Parexemple,sion s’inte´resseauxe´tudiantsd’unee´cole,l’unite´seral’e´tudiant. Finalement,lavariableestunegrandeurcaracte´ristiquea`laquelleons’inte´resse.Sions’inte´resse a`uneseulevariable,onparleradestatistiqueunivarie´e.Sions’inte´ressea`deuxouplusieursva- riable,onparleradestatistiquemultivarie´e. 1.2Lestroistypesdevariables Ilexistetroistypesdevariables:lesvariablesquantitatives,qualitativesetbinaires. Lesvariablesquantitativesexprimentunequantite´:x=0,1,2,3,...,n.Ellessontdonc mesurables,nume´riques.Onlesclasseenvariablesquantitativesdiscre`tesetvariablesquantitatives continues. Unevariablequantitativediscre`tepeuteˆtrerepre´sente´parunnombrefinidevaleurs.Cesera, parexemple,lenombred’enfantsparfamille,lenombred’hospitalisationsparpatient,lenombre depe´talesdansunefleur,etc.Cesvaleurspeuventeˆtretraite´esmathe´matiquement(parexemple, pardesope´rationsdebasecommel’addition,lasoustraction,etc.). Unevariablequantativecontinuepeutprendretouteslesvaleurspossiblesdansunintervalle donne´[a,b] 1 .Parexemple,lepoids,lataille,l’aˆge,laconcentrationenozoneouencalcium,...sont desvariablesqualitativescontinues.Eneffet,sijedisquejep`ese77kg,c’estuneapproximation: jepe`se,enre´alite´entre76.5et77.5kgouentre76.6et77.4kgou... Lesvariablesqualitativesexprimentunequalite´;cesontdesdonne´escate´gorise´es(onparlera aussidevariablesnominales):x=m 1 ,m 2 ,m 3 ,...m q .Lesvaleursprisentparlavariablesontdes modalite´s,setraduisantpardesnoms.Parexemple,lacouleurdepeauestunevariablequalitative: onestblanc,jaune,noir,rouge,etc.Legroupesanguinestunautreexempledevariablequalitative: onestA,BOouABmaisriend’autre. Ilarrivequel’onassocieunchiffrea`unemodalite´,ge´ne´ralementpourenfaciliterl’encodage. Maisilfautbienfaireattentionqu’onnepeutpaslestraitermathe´matiquement! 1 Cettenotation[a,b]signifieunensembleallantde”a”a`”b”enincluantcesdeuxvaleurssignifieunensemble allantde”a”a`”b”enincluantcesdeuxvaleurs.Lanotation]a,b]signifieraitl’ensembledesvaleurscomprisesentre aetbavecseulbcomprisdansl’ensemble.Touteslesvariationssontpermises.

2LASTATISTIQUEDESCRIPTIVE4 Parmilesvariablesqualitatives,ilyalesvariablesordinalesdanslesquellesilyaunordredans lesmodalite´s:m 1 <m 2 <...<m p .Parexemple,legradea`unexamenestunevariablequalitative ordinale:AJ<S<D<GD<PGD 2 .Onpourraittraitercesvariablesmathe´matiquementcar, en-dessous,ilya(ouilpeutyavoir)unevariablequantitativecontinue. Poureˆtrecomplet,signalonsqu’ilexistedesvariablesquantitativescontinuesqu’oncate´gorise pourenfairedesvariablesqualitatives.C’estmoinsbien.Exemple:vousavezentre0-20ans,20 -40ans,40-60ans,60+ans(alorsquel’aˆgeestunevariablequantitativecontinue). Finalement,lesvariablesbinairespeuventeˆtrededeuxtypes.Soitc’estunevariablequalita- tivequineprendquedeuxmodalite´s(exemples:lesexeM/F,lestatutdefumeurO/N,l’anomalie ge´ne´tique:O/N).Soitc’estunevariablequantitativediscre`teneprenantquedeuxvaleurs.On peuttoujoursalorslaramenera`0ou1(N=2;x=0/1). 2Lastatistiquedescriptive L’objectifdelastatistiquedescriptiveestdere´sumerune´chantillondedonne´es.Aude´part,on al’e´chantillonetunevariableXsuppose´equantitative.Onde´signeparnl’effectifdel’e´chantillon (enanglais:”samplesize”).L’effectifestlenombred’objets,desujets,depersonnes,...dans l’e´chantillon.Onrepre´sentel’e´chantillondesdonne´esdansuntableaubrutdesdonne´esdela manie`resuivante 3 : { x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n } Deuxremarquesa`proposdesdonne´es: 1.lesdonne´esmanquantes(missingvalues)doiventquandmeˆmeeˆtreencode´es.Onchoisipour celaunsigneouunevaleurparticulie`re.Ilfautdoncindiquerauprogrammedenepasprendre enconside´rationcesigneoucettevaleur.Parexemple,danslelogicielSAS,lesdonne´es manquantessontsignale´esparunpoint(”.”)maisd’autreslogicielsutilisente´ventuellement d’autresspe´cifications. 2.lesdonne´escensure´es(censoredvalues)sontdesvaleursqu’onn’apaspuobtenirouobserver maisdontonauneborne(infe´rieureousupe´rieure).Parexemple,enparlantdupoidsd’une personne,onpeutnepasavoirsonpoidsmaiseˆtresuˆrqu’ellefaitplusde40kg.Ilnefaut paslaissertombercesdonne´esettrouverunmoyenpourlesencoder. Pourre´sumerl’e´chantillon,lastatistiquedescriptivedisposededeuxmoyens:l’approchegra- phiqueetl’approchenume´rique. 2.1L’approchegraphiquedere´ductiondesdonne´es 2.1.1Variablediscre`te Soitl’e´chantillondedonne´essuivant: { x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n } .Sionletrie,onobtientune´chantillon ordonne´: { x (1) ,x (2) ,c (3) ,...,x (n) } .Leschiffresenindiceentreparenthe`sesindiquelerangdel’ob- servation,ca`d.lapositiondelavaleurdansl’e´chantillons’ilesttrie´parordrecroissant. Ilya,ainsi,troistypesdetableaux: 1.letableaubrutquinecontientquelesdonne´estellesquere´colte´es; 2.letableauordonne´quicontientlesdonne´estrie´esparordrecroissant; 3.letableaurecense´:(x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n ). 2 AJ=ajourne´;S=satisfaction;D=distinction;GD=grandedistinction;PGD=plusgrandedistinction 3 lechiffreenindiceindiquelenume´rodelavaleurdansl’e´chantillon

2LASTATISTIQUEDESCRIPTIVE5 001111111122222222223333333333 333333333333333333333333333333 333333333333444444444444444444 444444455555555555555666666666 66666666779910 Tab. 1–Nombred’enfantsparfamille(variableX)observe´dansune´chantillonde133familles Nbreenfants/familleRe´pe´titionsFr r i e´quencesFr P e´q.cumule´es X i r i f i = n (en%)c i = j f j (en%) 021.51.5 186.07.5 2107.515.0 35239.154.1 42518.872.9 51410.583.4 61712.896.2 721.597.7 80097.7 921.599.2 1010.8100.0 Totaln=133100 Tab. 2–Tableaurecense´dunombred’enfantsparfamilledansune´chantillonde133familles Dansl’exemplesuivant(voirtableaux2 4 ;letableau1reprendlesvaleursbrutesordonne´es),la premie`recolonnereprendlesvaleursdelavariable(X i ),lasecondemontrelenombredere´pe´titions (absolutefrequency,r i ),lacolonne3montrelesfre´quences(f i )etladernie`relesfre´quencescu- mule´es(c i ).Lafre´quencecumule´esertnotammenta`re´pondrea`desquestionscomme“quelleest laproportiondefamilleposse´dantmoinsde3enfants?”.Elleexistetoujoursetonpeuttoujours lacalculer. Onpeutde´riverunpremiergraphiquedecestableaux:lediagrammedebaˆtons(enanglais: bardiagram)ou`onrepre´sentelesfre´quences(f i ,enordonne´es)enfonctiondunombred’enfants parfamille(X i ,enabcisse).Parfois,one´crirae´galementcetterepre´sentation f i − vs − X i Surlegraphique1 5 ,vousremarquerezque“c¸a`montepuisc¸a`descend”:c’estunedistribution unimodale. Nouspouvonse´galementde´riverunsecondgraphiquedecestableaux:lediagrammedes fre´quencescumule´esoudiagrammecumulatif,ou`onrepre´sentec i − vs − X i .Surlegraphique2, vousremarquerezque“c¸a`monteenescalier”. Notezquesinousavonsunevariablequalitative,nouspouvonse´galementtraiterlesdonne´es delameˆmemanie`regraphique(saufc i ). 4 danscetableau,ilyadonc0re´pe´titionsdufaitd’avoir8enfantsparfamilledansl’e´chantillonobserve´;mais celanesignifiepasquecelan’existepasdanslapopulation! 5 surlesdiffe´rentsgraphiquesstatistiques(etdoncceuxpre´sente´sici),ilfautessayerd’indiquerlale´gendedes axesainsiquelenombred’e´chantillonsobserve´s.Celarendplusfacilelacompre´hensiondugraphique

2LASTATISTIQUEDESCRIPTIVE Fig. 1–Histogrammedesdensite´sdunombred’enfantsparfamille Fig. 2–Diagrammedesfre´quencescumule´es 6

2LASTATISTIQUEDESCRIPTIVE 10222442377789852863 910751215274854 3 3 6 2 6 2 9 9 40 2 6 1 1 5 1 4 2 6 2 4 1 8 5 3 4 9 5 6 3 7 5 2 8 1 3 4 2 27331252268111565 4 6 6 3 3 5 3 3 8 8 5 8 2 4 2 85 5 2 8 8 7 7 2 7 8 15 2 1 8 5 5 2 6 3 1 3 16426971053333858 5 3 1 0 6 7 0 6 58 7 9 6 1 2 4 7 7 1 4 8 2 1 4 7 8 5 7 37 7 0 8 49 1 Tab. 3–Agea`l’admissiona`l’hoˆpital(variableX)pourune´chantillonde100patients Classesd’aˆgesCentresRe´pe´titionsFre´quencesFre´q.cumule´es (enanne´es)C i r i f i (en%)c i (en%) 1 0 0 - - 1 2 0 01 5 58 22 8 22 3 2 0 2 20-3025131343 30-4035101053 40-50458861 50-6055161677 60-70657784 70-80755589 80-90851111100 Totaln=100100 Tab. 4–Tableaudeclassesdel’aˆgea`l’admissiona`l’hoˆpitalchez100patients 7 2.1.2Variablecontinue Commetoujours,ilvaeˆtreplusfaciledemontrerl’approchegraphiquedere´ductiondesdonne´es devariablecontinueparunexemple.Dansletableaubrutdesdonne´essuivant –l’unite´statistiqueestlasuivante:lespatientsentranta`l’hoˆpital, –lavariable(continue)est:l’aˆgeenanne´es. Triercetableauseralourdetpeuinte´ressant(surtoutsinousavonse´norme´mentdedonne´es). C’estpourquoinousalloncre´eruntableaudeclasses.Danscetableau(voirtableau4),onde´finit 10classes(danslacolonne1):de0a`10ans(inclus:0-10),de10(exclus)a`20ans(10-20), √ ... The´oriquement,onde´finirakclassespoursone´chantillon,ou`l’heuristiquenousditquek=n (avecn=lenombrededonne´esdanssone´chantillon). Dansladeuxie`mecolonne,onde´finiralecentredelaclasse(C i ).Commelenoml’indique,le centredelaclasseestlavaleurnume´riquedumilieudelaclasse.Parexemple,lecentredelaclasse 0-10est5. P Danslatroisie`mecolonne,onde´finiralare´pe´tition:r i =n.Cenombrerepre´sentelenombre devaleurscontinuesseretrouvantdanschaqueclasse.Cettemanie`redeproce´dervaplusvitequele classement“classique”.Sinon,onrepre´senteraencorelesfre´quences(f i )etlesfre´quencescumule´es .)C( i Cetableaudesclassesestdonccaracte´rise´sparlesclasses,C i ,r i ,f i ,c i . Onpeutde´riverunpremiergraphiquedecestableaux:l’histogramme(oudiagrammed’aires) ou`onrepre´sentelesfre´quences(f i ,enordonne´es)enfonctiondesclasses:f i − vs − classes(voir

3PARAME ` TRESNUME ´ RIQUESDERE ´ DUCTIONDESDONNE ´ ES Fig. 3–Histogrammedesdensite´sdesaˆgesd’admissiona`l’hoˆpital 8 graphique3).Troisremarques: 1.lesclassesd’aˆgesdoiventeˆtree´quidistantes; 2.sionveutregrouperdeuxclasses,ondoitadditionnerlesfre´quencesetlabasedel’airedoit eˆtreagrandie(exemple,sionveutregrouperles2dernie`resclasses,l’airedoitfaire16%); 3.ilnefautpasoublierd’indiquerlendel’effectif. Nouspouvonse´galementde´riverunsecondgraphiquedecestableaux:lediagrammecumu- latifapproche´(voirgraphique4).Ici,celadonne´beaucoupplusd’informations;celapermet,par exemple,dere´pondrea`laquestion“quelleestlaproportiondesgensquionttelaˆgeouplus/ moins?”.Commenousleverronsplustard(section3.1.3),nousavonsunevaleurparticulie`reim- portante:lame´diane,valeurou`50%desvaleurssonten-dessouset50%desvaleurssontau-dessus. 2.2L’approchenume´riquedere´ductiondesdonne´es Soitl’e´chantillond’effectifnsuivant: { x 1 ,x 2 ,x 3 ,...,x n } Deuxfamillesdeparame`tresvontpouvoirre´duirelesdonne´esnume´riquement:lesparame`tres depositionetlesparame`tresdevariabilite´.D’autresfamillesdeparame`trespourronteˆtrede´finies. Ellessonttoutesde´critesdanslasectionsuivante. 3Parame`tresnume´riquesdere´ductiondesdonne´es 3.1Lesparame`tresdeposition Lesparame`tresdepositionsontlemode,lamoyennearithme´tique,lame´dianeetlequartile. Ilspermettentdesavoirautourdequellesvaleurstournentlesdonne´esdel’e´chantillon,detrouver

3PARAME ` TRESNUME ´ RIQUESDERE ´ DUCTIONDESDONNE ´ ES Fig. 4–Diagrammecumulatifapproche´ 9 unevaleurcentraledel’e´chantillon. 3.1.1Lemode Lemodeestlavaleurlaplusfre´quentedansl’e´chantillon.Parexemple,pourlenombred’en- fantsparfamille,lemodeest3(end’autrestermes,pourlavariablediscre`tedunombred’enfants parfamille,lavaleurlaplusfre´quenteest3).Parcontre,pourl’aˆged’admissiona`l’hoˆpital,la classemodaleest0-10ans(cetteclassedelavariablecontinuecontientleplusd’individus). 3.1.2Lamoyenne Lamoyennearithme´tique(enanglais:mean,average)estde´finieparl’e´quationsuivante: P x x=m= i (1) n P Dansl’exempledunombred’enfantsparfamille,n=133etx=498.Donc,x=3.74.Ce re´sultatestbizarrepourunevariablediscre`te.Ondiraiciquelamoyennesesitueentre3et4, qu’elleestplusprochede4quede3. P Dansl’exempledel’aˆged’admissiona`l’hoˆpital,n=100etx=3920.Donc,x=39.2ans. Lamoyennearithme´tiquealesproprie´te´ssuivantes: 1.simplicite´(d’emploietdeconcept) 2.ge´ne´ralite´(utilise´partout) 3.sensibleauxvaleursaberrantes(erreursdedonne´es) 4.siX=0/1avec0=nonfumeuret1=fumeur,n=100:x= nbr n ede1 .Celadonne´une proportionp!Uneproportionestdoncunemoyennearithme´tiquedevariablesbinaires.Une proportionpeutdonceˆtretraite´ecommeunemoyennearithme´tique.

3PARAME ` TRESNUME ´ RIQUESDERE ´ DUCTIONDESDONNE ´ ES01 3.1.3Lame´diane Lame´dianeMestlavaleurquilaisse50%desobservationsen-dessouset50%desobservations au-dessus.Onl’appellee´galementparfois“percentile50”:c’estlavaleurcentraleparexellence. Pourlacalculer,ilfautd’abordtrierl’e´chantillon.Ensuite, –sil’effectifndel’e´chantillonestimpair, M=x ( n 2 +1 ) Parexemple,sil’e´chantillonest(28,14,11,21,13),ildevient,unefoistrie´:(11,13,14,21,28). M=x ( 5 2 +1 ) =x 3 =14. –sil’effectifndel’e´chantillonestpair, x ( 2 n ) +x ( n 2 +1 ) =M 2 Parexemple,sil’e´chantillonest(28,14,11,13,12,23),ildevient,unefoistrie´:(11,12,13,14,23,28) etM= x ( 2 6 ) +x ( 2 6 +1 ) = x 3 +x 4 = 13+14 =13.5. 222 Lame´dianea,commeproprie´te´,d’eˆtrepeusensibleauxvaleursextreˆmes. 3.1.4Lequantile Lequantileα 6 estlavaleurP α quilaisseα%desobservationsen-dessouset(1 − α)%des observationsau-dessusd’elle.Lesdeux“quartiles” 7 lesplusimportantssontP 25 (quilaisse25% desobservationsen-dessous)etP 75 . Cesdeuxquartilespeuvente´galementeˆtrede´finisdemanie`regraphique.Sionreportesurun graphiquelafre´quencedesobservationsenfonctiondecesobservations,onobtientlegraphique5. P 25 estlavaleurenabcissepourlaquelleladroited’e´quationx=P 25 de´coupeuneairerepre´sentant 25%del’airetotalesouslespoints. Afind’avoirunaperc¸udesdonne´es,onpeutcomparerlamoyenneetlame´diane.Troiscassont possibles... 1.Six ' M,nousnoustrouvonsdanslecaside´al:c’estunindicateurdesyme´trie.Afind’obtenir cettecourbe,nouspouvonse´ventuell √ ementnormaliserlesdonne´es,c’est-a`-direleurappliquer unetransformationcommelnxoux. 2.Six>>>M,c’est –soitunindicateurd’erreur(s)danslesdonne´es, –soitsigned’unedistributiondissyme´triquea`droite(c’estlecas,notamment,deladure´ede vie(MTBFdune´on,tempsd’hospitalisation,etc.),d’e´tudessurlesenzymes,leshormones, .)... 3.Six<<<M,c’est –soit,denouveau,unindicateurd’erreur(s)danslesdonne´es, –soitsigned’unedistributiondissyme´triquea`gauche(c’estlecas,notamment,del’aˆgelors d’uneinterventionchirurgicale,sionintervientapre`suncertainaˆge).Onpeute´galement normalisercesdonne´esavecunetransformationcommex 2 oux 3 . 6 Alaplacedequartile,onparleaussidepercentile 7 les4quartilesde´coupentl’e´chantillonen4morceaux