Notions de petitesse, géométrie des espaces de Banach et hypercyclicité

Pierre Moreau

Description

Sous la direction de Jean Esterle, Etienne Matheron
Thèse soutenue le 15 juin 2009: Bordeaux 1
Il existe de nombreuses notions de petitesse en analyse. On considère trois d'entre elles: la Haar-négligeabilité, la Gauss-négligeabilité et la sigma-porosité. On étudie à quelles conditions le cône positif d'une base de Schauder est Haar-négligeable, et ce que cela entraîne pour l'espace de Banach associé. On étudie également sous quelles conditions l'ensemble des vecteurs non-hypercycliques d'un opérateur hypercyclique est Haar-négligeable ou sigma-poreux.
-Haar-négligeabilité
-Hypercyclicité
-Gauss-négligeabilité
-Espace de Banach
-Porosité
-Base de Schauder
There are many notions of smallness in Analysis. We will consider three of them: Haar-negligeability, Gauss-negligeability and sigma-porosity. We will study on which conditions the positive cone of a Schauder basis is Haar-null, and its consequence on the Banach space. We will also study on which conditions the set of non-hypercyclic vectors of an hypercyclic operator is Haar-null or sigma-porous.
-Haar-negligeability
-Hypercyclicity
-Gauss-negligeability
-Porosity
-Banach space
-Schauder basis
Source: http://www.theses.fr/2009BOR13803/document

Sujets

• Espace de Banach
• Porosité
• Base de Schauder

Informations

• Publié par: Thesee
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• Langue: Français

Extrait

1

Soutenue le 15/06/2009

Num´erod’ordre:3803

Th`esepr´esent´ee`al’Universit´edeBordeaux1

Ecole Doctorale de Math´ematiques et Informatique de Bordeaux

par MOREAU Pierre

Pour obtenir le grade de de Docteur de Math´ematiques

espaces

g´eome´triedes hypercyclicit´e

Notions de petitesse, de Banach et

The`sedirig´eeparESTERLEJeanetMATHERONEtienne

Jury : DEVILLE Robert, Professeur d’Universit´e, Universit´e de Bordeaux 1 ESTERLEJean,Professeurd’Universit´e,Universite´deBordeaux1 KUPINStanislav,MaˆıtredeConfe´rences,Universit´eAix-Marseille1 LANCIENGilles,Professeurd’Universit´e,Universite´deFranche-Comt´e LEFEVRE Pascal, Professeur d’Universit´e, Universit´e d’Artois MATHERON Etienne, Professeur d’Universit´e, Universit´e d’Artois

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46 49 56 57 62

Haar-ne´gligeabilite´etbasesdeSchauder 3.1 Rappels sur les Bases de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Coˆnecontenantuntranslat´edetoutcompact............... 3.3Haar-n´egligeabilite´ducoˆnepositifassoci´ea`unebasedeSchauder.... 3.3.1 Condition su!r-aaegnntsaeHede´ti....egilliba......... ´ 3.3.2 Conditions n´ecessaires de non-Haar n´egligeabilit´e, application aux bases sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3c 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -saturation . 3.3.4 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Structure des quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Mesures gaussiennes et cˆones positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Notions de petitesse et Hypercyclicit´e 4.1 Hypercyclicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . a po s n 4.2 Shifts ` id on!-poreux hypercycliques 4.3 Un crit`ere de!orop-...e´tis....... 4.4 Haar-n´egligeabilit´e . . . . . . . . . . . . .

37 38 42 45 45

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27 28 33

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Le 2.1 2.2

theore`medeMatouskova-Stegall ´ Preuve de (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Preuve de (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70 70 72 75 79

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7 7 15 18 18 21 22 22 23

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Notions de petitesse 1.1Haar-ne´gligeabilit´e................... 1.2 Bor´eliens non Haar-n´egligeables et non compactivores 1.3Gauss-ne´gligeabiliteet!-po..........isor.e´t ´ 1.3.1 Gauss-n´egli bilit´ gea e . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2! . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-porosit´e . 1.4 Complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1Ge´ne´ralit´es................... 1.4.2Complexit´edesferme´sGauss-n´egligeables..

matieres `

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Table

des

Introduction

Il existe de nombreuses notions de petitesse en analyse, la plus classique d’entre ellese´tantlapetitesseausensdeBaire:unepartieestpetiteausensdeBairesielleest incluse dans le compl´ementaire d’unG ! dense. Cette notion caract´erise un comportement global, elle ne permet pas de quantifier la taille des ensembles. Ceci peut ˆetre accompli en dimensionfiniegraˆcea`lamesuredeLebesgueetpeuts’´etendreauxespaceslocalement compactsgrˆaceauxmesuresdeHaar,c’est`adirelesmesuresbor´eliennesinvariantes par translation ; “ˆetre de mesure de Haar nulle” est donc une autre notion naturelle de petitesse. Dans un espace qui n’est pas localement compact, l’absence de mesure de Haar ne permet pas d’utiliser cette notion. En I972, Christensen a introduit ([C]) la notion de Haar-n´egligeabilit´e dans les groupes ab´elienspolonais(compl`etementm´etrisablesets´eparables):unepartiebor´elienned’un tel groupe est dite Haar-n´egligeable s’il existe une mesure de probabilit´e qui s’annule sur cette partie et sur tous ses translat´es. On dit alors d’une telle mesure qu’elle est une me- sure test pour la partie. Cette notion co¨ıncide, quand le groupe est localement compact, aveccellede”mesuredeHaarnulle”.LaHaar-n´egligeabilite´aservidansl’´etudedela di"acitnooncnalssfiiienneeteipschitzitcnlsnode´tofseabtilili´eneredsecapesesedirean´lin- Banach, on trouvera dans les chapitres 6 et 7 de [BL] beaucoup d’informations `a ce sujet.

Ilestpluse´tonnantdevoirquelaHaar-n´egligeabilit´epermetd’obtenirdesinforma- tionssurlage´ome´triedesespacesdeBanach.Ondoitcetteapproche`aMatouskovaet Stegallqui,danslesarticles[MS]et[M3],ontli´elar´eflexivit´ed’unespacedeBanacha ` laHaar-ne´gligeabilit´edesespartiesconvexes,ferm´eesetd’inte´rieurvide.Lesprincipaux ´sultatssurcesujetpeuventˆetreregroup´esdansl’e´nonce´suivant: re Soit X un espace de Banach s´eparable. 1.SiXestr´eflexifalorstoutepartieconvexe,ferm´eeetd’inte´rieurvidedeXest Haar-ne´gligeable. 2. Si X est non r´eflexif, il existe une partie convexe, ferm´ee et d’int´erieur vide de X qui contient un translat´e de toute partie compacte de X.

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En particulier, X est r´eflexif si et seulement si toute partie convexe, ferm ee et d’int´erieur ´ vide de X est Haar-n´egligeable.

Lepremierchapitredecetteth`eseestconsacre´ea`lapre´sentationg´ene´raledecer- tainesnotionsdepetitesse.Danslasection1.1,ondonneraunepr´esentationde´taille´e de la Haar-n´egligeabilit´e, notamment du fait que contenir un translat´e de tout compact entraˆınelanonHaar-n´egligeabilite´,etondiscuteradelar´eciproquedanslasection1.2. Danslasection1.3,onpr´esenterabrie`vementdeuxautresnotionsdepetitesse:la!- porosit´eetlaGauss-n´egligeabilite´.Enfin,nousmontreronsdans1.4quedansunespace deBanachse´parableXegn´gelileabsedecapseseitrapsl’,egbageil.i.eel(s´eesferms-n´Gaus pourtoutemesureGausiennenon-d´eg´ene´r´eesurX) est une partie non-bor´elienne dans l’espace des parties fermees deX. ´

Lesecondchapitredecetteth`eseestconsacre´ea`lad´emonstrationduth´eor`emede Matouskova et Stegall. Il y a dans cette d´emonstration un type particulier de convexe ferme´etd’inte´rieurvidequijoueunrˆoleclef:lecoˆnepositifassoci´ea`unebasede Schauder.IlestalorsnatureldesedemanderquellessontlesbasesdeSchauder`acoˆne Haar-n´egligeable et ce que cela entraˆıne pour la structure de l’espace de Banach. Ces questions seront trait´ees dans le troisi`eme chapitre.

Avant de commencer ` traiter ces questions, nous donne rons dans 3.1 les principales a de´finitionsetpropri´et´esdesbasesdeSchauder,ainsiquelalistedesr´esultatsde´j`aconnus surlaHaar-ne´gligeabilite´ducˆone,notammentquelecˆonepositifdelabasecanonique del p aelbpeuon-e´lggiestHaarrp!silare´.3snadset2etnorne´gatluesstesscesr´1ou.T ´ 3.3. Il y a deux approches pour tester la Haar-n´egligeabilit´e d’une partie : soit mon- trer qu’elle contient un translat´e de tout compact et dans ce cas cette partie n’est pas H´ligeable,soitconstruireunemesuretest,cequiimpliquelaHaar-n´egligeabilite´ aar-neg de cette partie ; c’est ce qui sera fait respectivement dans 3.2 et 3.3.

Nous´etablironsdans3.2uneconditionn´ecessaireetsu!sante pour que le c one ˆ contienne un translat´e de tout compact, condition qui implique que la base canonique dec 0 silamronltnodee´ioitndcoetleelnnedcSabesreniahdueseuletlaseitntnoˆceocen un translat´e de tout compact. Il existe n´eanmoins d’autres bases, non inconditionnelles, quiv´erifientcecietnousenverronsunexemple.Cer´esultat,danslecasdesbasesincon- ditionnelles,nelaissequedeuxpossibilit´espourlaHaar-n´egligeabilite´ducoˆne:soitla basecanoniqueestlaseulebasedeSchauderinconditionnelleetnormalis´eedontlecoˆne n’est pas Haar-n´egligeable, soit il existe une base de Schauder inconditionnelle et nor- malise´edontlecˆonen’estpasHaar-n´egligeablemaisquinecontientpasuntranslat´ede toutcompact.Cesdeuxpossibilit´esontleurinterˆet:lapremie`reparcequ’elledonnerait ´ une caract´erisation surprenante de la base canonique dec 0 , ce que les r´esultats suivants

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laissentespe´rer,lasecondeparcequ’onobtiendraitainsiunexemplenatureldeconvexe ferm´eetd’inte´rieurvidequin’estpasHaar-n´egligeableetnecontientpasuntranslat´e de tout compact.

La partie 3.3 traite des bases inconditionnelles et contient deux r´esultats principaux quig´ene´ralisentlesre´sultatspre´sent´esdans3.1.Lepremierestuneconditionsu!sante pourquelecoˆnesoitHaar-n´egligeable:s’ilexisteunebloc-basedelabasedeSchauder dontlecoˆneestHaar-ne´gligeabledansl’espacequ’elleengendre,alorslecˆonepositifdela base de Schauder est Haar-n´egligeable. Cette condition donne une premi`ere information sur la structure de l’espace de Banach sous-jacent. En e"et un r´esultat classique de James indique qu’il n’y a que deux possibilit´es pour une base de Schauder inconditionnelle : soit elle engendre un espace r´eflexif, soit elle contient la base canonique del 1 et/ouc 0 comme bloc-base. Ceci implique donc que si le cˆone est n’est pas Haar-n´egligeable, l’espace de Banach sous-jacent contient une copie isomorphe dec 0 . Ceciestpre´cise´parledeuxie`mer´esultatquiestcettefoisuneconditionn´ecessaire:si lecoˆnepositifn’estpasHaar-n´egligeable,onpeutextrairedetoutebloc-base(etmˆeme “uniforme´ment”)unesous-suite´equivalentea`labasecanoniquedec 0 iudeeuqton;d´en la base canonique dec 0 ptsahcuadeSebesaeslustlaese’ntseenoˆceltndoueiqtr´eymrsde Haar-ne´gligeable.Cecipeutˆetrevucommeune“sorte”dec 0 -saturation, en particulier l’espace de Banach sous-jacent s’´ecrit comme une somme topologique de copie isomorphe dec 0 . Nous verrons egalement que cela entraˆıne lac 0 -saturation de l’espace au sens clas-´ sique du terme. N´eanmoins, cette derni`erec 0 -saturation uniforme n’est pas su!sante : nous terminerons la section 3.3 en construisant un espace de Banach muni d’une base de Schauderve´rifiantcetteconditionmaisdontlecˆonepositifestHaar-n´egligeable.

Lasection3.4estd´edie´ea`l’´etudedesquotientsd’unespacedeBanachmunid’une base de Schauder inconditionnelle dont le c one n’est pas Haar-n´egligeable. Rappelons ˆ qu’un espace de Banach est ditc 0 mrefed-e´etmuisdaoeissrn´ouitoutsess-cepaninfinie contient une copie isomorphe dec 0 . Odell montre dans [O] que tous les quotients de l’espace de Schreier sontc 0 iostesndelosueaqe´ruptestas-urrevraipoe’tsneocvaiosrci tout espace de Banachc 0 ebund’nimu´eurats-e.LenelltionondiircnuaedSehcsadeung [L],puisdefa¸conplusge´n´eraleGasparis[G],yr´epondentparlan´egativeenconstruisant des contre-exemples. Nous verrons que lac 0  etablie dans 3.3 passe au-saturation uniforme ´ quotient,lecoˆnepositifassoci´esauxbasesdeSchauderconstruitesparLeungetGasparis est donc encore une fois Haar-n´egligeable. Nous verrons enfin qu’elle est “presque” une propi´te´destroise r e spaces.

Danslasection3.5,nous´etudierons`aquellesconditionsunemesuregaussienne,i.e. laloid’unes´eriepresque-suˆrementconvergentedevariablesal´eatoiresdeloinormaleuni- dimensionnelles, est une mesure test du cˆone positif d’une base de Schauder. Le premier

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constat est que le cˆone positif n’est jamais Gauss-n´egligeable et nous construirons ex- plicitement une mesure Gaussienne qui ne s’annule pas sur le cˆone. On obtient le mˆeme r´esultatdefa¸conencoreplusflagranteenregardantlesmesurescubiques(voirsection 1.3) : une mesure cubique n’est jamais une mesure test pour le cˆone, ce qui est quelque peusurprenantpuisquelaGauss-n´egligeabilite´est´equivalentea`lacube-ne´gligeabilite´. Nous´etablironsensuiteuneconditionsu!sante pour qu’une mesure Gaussienne ne soit pas une mesure test du cˆone, qui devient une condition n´ecessaire et su!sante dans une certaine classe d’espaces contenant les espacesl p ,p!1, etc 0 . Ceci permettra de d´ecrire enti`erementl’ensemblenonvidedesmesurestestGaussiennesducˆonepositifdelabase canonique del p enaplrnistlelsseuqnslaetraucˆot´edqusinl’uin,aelbmopedegraesne n’est pas de mesure nulle quand la mesure n’est pas une mesure test (pourl p etc 0 ).

Lechapitre4estd´edie´`al’´etudedelatailledel’ensembledesvecteursnon-hypercycli- ques pour un op´erateur hypercyclique d´efini sur un espace de Fr´echet. Dans la section 4.1,onpre´senterasommairementlanotiond’hypercyclicit´eainsiqueplusieursr´esultats classiques, notamment que l’ensemble des vecteurs hypercycliques est toujours petit au sensdeBaire.Danslasection4.2,ons’int´eressera`auncertaintyped’op´erateurshy- percycliques, les shift `a poids, et on montrera qu’il existe toujours de tels op´erateurs dont l’ensemble des vecteurs non-hypercycliques n’est pas!tnemenuqoo,rpice´R.uxrepo- donnera dans 4.3 un crit`ere pour que l’ensemble des vecteurs non-hypercycliques soit !on l’appliquera aux shifts `a poids ainsi qu’aux op´erateurs de translation sur-poreux et l’espace des fonctions enti`eresH(C) pour une certaine classe de m´etriques. Enfin dans 4.4 on montrera que pour des poids assez grands, un shift `a poids n’est pas “Haar-n´egligeable hypercyclique”, et que c’est aussi le cas pour une certaine classe d’op´erateurs surH(C) commutant avec les translations.

Chapitre

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Notions de petitesse 1.1 Haar ´ ligeabilit´e -neg Avantded´efinirlaHaar-n´egligeabilite´ilfautpre´ciserquelquesnotationsetoutilsde the´oriedelamesure([K]).Touslesgroupesconsid´ere´sserontb´liensetPolonais.Rappe-a e lons qu’un espace topologique estPolonaissstle’is.letemenemte´rtsibaeparableetcompl´ ´ SiG´baeeileloPnianoesngtuuproetl`mpcoenumeolsrqieue´rtorsis,alstealexidcom- patible avec la topologie deGet invariante par translation. SoitX il existe alors une m´etrique ;un espace Polonaisdcompatible avec la topologie deXde´eetcompl´etllequeleXpourdsoit compact([K] page 22) l’ensemble ;U d (X) des fonctions uniform´ement continues de (X, d) dansRest alors un espace de Banach s´eparablepourlanorme"." ! . On noteP(X) l’ensemble des mesures de probabilit´e sur Xnsfinamoievergenceedelaconotopoliguminedallopoelgireditolae’c,a`tsrte´etio rendant continues les applicationsµ# ! f dµuo`fest une fonction continue et born´ee deXa`avelrurse´leelAls.sorP(X) est un espace polonais et si (f n ) n ! =0 est une suite dense deU d (X) ne contenant pas la fonction nulle, alors "(µ,#) = " ! 2 "n"1 # ! f n dµ$ ! f n d# # n=0 "f n " ! estunem´etriquecomple`tesurP(X), et compatible avec la topologie deP(X). SiGest un groupe Polonais, la convolutionµ%#de deux mesures de probabilit´eµ et#surG´idnfipeeeratsµ%#(A) = ! ! $ A (x+y)d(µ)(x)d(#)(x) pour tout bor´elien A&G`u,o$ A est la fonction indicatrice deA. On a alors pour toute fonctionfborn´ee et continue deG`leursrse´leel a va $ f(x)d(µ%#)(x) = $ $ f(x+y)d(µ)(x)d(#)(x).

L’ope´rateurdeconvolutionestcontinudeP(G)'P(G) dansP(G). Tousl´sultatssuivants,saufindicationcontraire,peuventˆetreretrouve´sdans[BL]. es re

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CHAPITRE 1.

NOTIONS DE PETITESSE

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De´finition1.1.1[C] Soit G un groupe ab´elien Polonais. Un bor´elien A de G est ditHaar-n´egligeables’il existe une mesure de probabilit´eµsur G telle queµ(A+x) = 0pour toutx(G. On dit alors queµest unemesure testpour A.

De´sormais,Gqutima´estsyranegise´ds,onainPolelieae´borpuutgnmenedsirteeuquare´men invariante par translation compatible avec la topologie deGetB(x, rbalarengeluosi´e)d ouverte de rayonrne´eeentrcx. La proposition suivante montre que dans le cas o`uG est localement compact, la notion de Haar-n´egligeabilit´e co¨ıncide avec celle de mesure de Haar nulle.

Proposition 1.1.1 Si G est localement compact, alors un bor´elien A de G est-Haar-n´egligeable si et seulement si sa mesure de Haar est nulle.

D´ nstration emo Soit#la mesure de Haar surG. Si#(A) = 0, alors#(A+x) = 0 pour toutx(G, et c’est donc le cas pour toute mesure de probabilit´eµqui est absolument continue par rapport`a#(par exempleµ(B) = "( " B ( # C) C) pour unCtel que#(C) soit strictement positif et fini). Re´ciproquement,siµest une mesure de probabilit´e telle queµ(A+x) = 0 pour tout x(G,auaece´htsrolaˆrgbiFu(ni`eordeme#etµsont!-finies) et par l’invariance de# par translation, on a 0 = ! ! $ A (x+y)dµ(x)d#(y) =#(A).!

Proposition 1.1.2 Une union d´enombrable d’ensembles Haar-n´egligeables est Haar-n´egligeable.

De´monstration Ceci est vrai pour une union finie : siµest une mesure de probabilit´e qui s’annule sur tous les translat´es deA, et#est une mesure de probabilit´e qui s’annule sur tous les translat´es deB, alors la convol´ee deµet#est une mesure de probabilit´e qui s’annule sur tous les translat´es deA)B. Siµest une mesure qui s’annule pour un ensembleAet sur tous ses translat´es, alors c’est aussi vrai pour toute mesure qui est absolument continue par rapport `aµ, et en particulier pour les mesures de la formeµ B (A) =µ(A*B)/µ(B) avecµ(B)>0. Puisque P(G) est complet pour la m´etrique"ourtoutduitquepo,endne´lpsuahtu´ediefin%>0, il existe une mesure#qui s’annule sur tous les translat´es deAet qui v´erifie"(#,& 0 )<%, & 0 eredemustnale´at.n0ceraDi Soit{A n } n ! =1 esHaar-n’ensembllbseL.see´lggiaensio´eprseobatrvsde´cetnedellimafenu permettent de d´efinir par r´ecurrence des mesures de probabilit´eµ n erv´tanifiµ n (A n +x) = 0 pour toutx(Get"('%µ n ,')<%u`o,'le produit de convolution d’une sous-est famille quelconque de la famille{µ k } 1$k<n .