Numerical analysis of Lattice Boltzmann methods for the heat equation on a bounded interval [Elektronische Ressource] / von Jan Philipp Weiß

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• Publié par: karlsruher_institut_fur_technologie
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 9 Mo

Extrait

Jan-Philipp Weiß
Numerical Analysis of Lattice Boltzmann Methods
for the Heat Equation on a Bounded Interval Numerical Analysis of
Lattice Boltzmann Methods
for the Heat Equation
on a Bounded Interval
von
Jan-Philipp WeißDissertation, Universität Karlsruhe (TH)
Fakultät für Mathematik, 2006
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Universitätsverlag Karlsruhe
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D-76131 Karlsruhe
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Universitätsverlag Karlsruhe 2006
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ISBN-13: 978-3-86644-069-2
ISBN-10: 3-86644-069-3Vorwort
Diese Dissertationsschrift entstand im Rahmen meiner Ta¨tigkeit am Institut
f¨ur Angewandte und Numerische Mathematik, Lehrstuhl II, der Universit¨ at Karls-
ruhe (TH). Der Anstoß zu dieser Arbeit fand sich w¨ ahrend meiner Zeit am Fach-
bereich Mathematik der Universit¨ at Kaiserslautern. In Zusammenarbeit mit dem
Fraunhofer Institut fur¨ Techno- und Wirtschaftsmathematik (ITWM) in Kaisers-
lautern nahm ich dort an der Bearbeitung eines Projektes des Bundesministeriums
f¨ur Bildung und Forschung (BMBF) mit dem Titel Adaptive Gittersteuerung fur¨
Lattice-Boltzmann Verfahren zur Simulation von Fu¨llprozessen im Gießereibereich
teil. Ich mo¨chte all jenen danken, die wahrend¨ dieser Zeit zum Gelingen meiner
Arbeit beigetragen haben.
Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Willy D¨ orfler fur¨ die vielen wertvollen
und hilfreichen Anregungen und die immerwah¨ rende Unterstutzung¨ in s¨amtlichen
Angelegenheiten. Mein weiterer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Vincent Heuveline fur¨
die nutzlic¨ hen Hinweise und die fruchtbaren Gespra¨che. Den Mitarbeitern des In-
stitutes, insbesondere unserer Sekret¨ arin Frau Kerstin Dick, danke ich fur¨ die an-
genehme Atmosph¨ are und die hervorragende Zusammenarbeit.
Meine Familie, meine Freunde und meine Freundin Steffi moc¨ hte ich fur¨ die see-
lische, geistige und moralische Unterstutzung¨ , die Geduld und die wunderbare Zeit,
die ich mit Ihnen verbringen durfte, an dieser Stelle in besonderem Maße wur¨ digen.
Herzlichen Dank Euch allen!
Karlsruhe, August 2006 Jan-Philipp WeißContents
Introduction iii
List of Abbreviations vii
Chapter 1. From Boltzmann to Lattice Boltzmann 1
1.1. The Boltzmann Equation 1
1.2. A General Discrete Velocity Model 2
1.3. Examples of Discrete Velocity Models 4
1.4. Lattice Boltzmann Methods 7
Chapter 2. The Heat Equation 9
2.1. Definitions 9
2.2. The Fluid-dynamic Limit 13
2.3. The Heat Equation 15
2.4. Existence and Regularity of the Solutions 16
2.5. Energy Estimates 24
Chapter 3. The Goldstein-Taylor Model 29
3.1. The Advection System in the Diffusion Scaling 29
3.2. A Priori Estimates 30
3.3. Convergence of the Solutions of the Advection System 34
Chapter 4. The Telegraph Equations 37
4.1. Transformation to Telegraph Equations 37
4.2. The Telegraph Equation 38
4.3. Fourier Solutions for the Telegraph Equations 41
4.4. Fourier Solutions for the Advection System 45
4.5. Energy estimates 46
Chapter 5. Lattice Boltzmann Schemes 49
5.1. Vertex Centered and Cell Centered Grids 49
5.2. Lattice Boltzmann Discretizations 51
5.3. Finite Element Methods 54
5.4. The Lattice Boltzmann Scaling 55
5.5. Boundary Conditions 55
5.6. Matrix Formulations for the UV-Systems 57
5.7. Matrix Formulations for the RJ-Systems 61
5.7.1. FD Lattice Boltzmann Schemes 61
5.7.2. FV Lattice Boltzmann Schemes 66
5.8. Reduction of the Boundary Values 68
5.9. Discrete Stability of the FD Lattice Boltzmann Solutions 70
5.10. Discrete Fourier Solutions for the FD Lattice Boltzmann Schemes 77
5.11. Discrete Fourier Solutions for the FV Lattice Boltzmann Schemes 94
iii CONTENTS
Chapter 6. Convergence of the Lattice Boltzmann Solutions 107
6.1. A Formal Approach 107
6.2. Consistency of the FD Lattice Boltzmann Schemes 109
6.3. Convergence of the FD Lattice Boltzmann Solutions 114
Chapter 7. Numerical Results 125
7.1. Experimental Orders of Convergence 125
7.2. Dependence on the Parameters 133
7.3. Dependence on the Initial Data 138
7.4. Numerical Reference Solutions 143
7.5. Nonsmooth Data 151
7.6. Lattice Boltzmann or σ-Schemes? 154
7.7. The Advection-Diffusion Equation 155
7.8. The Viscous Burgers Equation 156
Chapter 8. Lattice Boltzmann Methods on Coupled Grids 159
8.1. Overlapping Grids 160
8.2. Intersection Conditions 161
8.3. Algorithms for VC Grid Intersections 163
8.4. Algorithms for CC Grid Intersections 165
8.5. Numerical Results 167
8.6. Concentrated Errors 178
8.7. The Time Evolution Operator on Coupled Grids 182
8.8. LB-Algorithms on a Hierarchy of Refinement Zones 184
8.9. Efficiency of Local Refinements 185
Summary and Outlook 187
Bibliography 189