Numerical methods for mass transport equations in two-phase incompressible flows [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Trung Hieu Nguyen

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• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 20
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

Numerical methods for
mass transport equations
in two-phase incompressible flows
Von der Fakult¨at fu¨r Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
der RWTH Aachen University zur Erlangung des akademischen Grades
eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Master of Science Trung Hieu Nguyen
aus Hanoi, Vietnam
Berichter: Universit¨atsprofessor Dr. Arnold Reusken
Universit¨atsprofessor Dr. Siegfried Mu¨ller
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 08. Dezember 2009
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten
der Hochschulbibliothek online verfu¨gbar.Acknowledgements
First of all, I would like to express my gratitude to my advisor Prof. Arnold
Reusken, forhis invaluable support, guidance and patienceduring the course
of this work. I sincerely thank my second referee Prof. Siegfried Mu¨ller for
takingathoroughreadingofthisthesis andforhis manyvaluablecomments.
Many thanks to my colleagues at the IGPM for the great working atmo-
sphere. I am grateful to J¨org Grande, Sven Groß, Volker Reichelt, Maxim
Larin, Eva Loch and Patrick Esser for many valuable ideas, suggestions and
helps. ThankyouJ¨orgforyourwillingnesstohelpatanytime. IthankEvan-
gelos Bertakis at the Chair of Thermal Process Engineering for the helpfull
discussions on the topic of mass transport process and for kindly providing
me the simulation data and figures in Chapter 4.
Finally and foremost, I wish to express my deepest gratitude to my par-
ents and my brother for their love, understanding and support throughout
my life. Special thanks go to my wife Hong Nhung and our children Duc and
Thanh for your love, patience and encouragement as well as for the sacrifices
you made to support and accompany me during my PhD in Aachen.Abstract
In this thesis, we presented numerical methods for discretizing and solving
the mass transport problem in two-phase flows. The level set method is
used for capturing the time-dependent interface. The motion of the fluid
is described by the two-phase Navier-Stokes equations. For the spatial dis-
cretization of these equations we use the known methods in the literature,
namely the improved Laplace-Beltrami discretization for the surface force
and the extended finite element (XFEM) for the pressure approximation.
The combination of these methods delivers optimal error bounds when the
surface tension coefficient is constant. For the general case with a variable
surface tension coefficient, we introduce a new discretization of the localized
surface force term.
The solution of the mass transport equation must satisfy certain inter-
face conditions, which imply that in general both the concentration and its
derivatives are discontinuous across the interface. A simple transformation
is often used in the literature to eliminate the discontinuity of the solution,
1
2which, however, results inasuboptimalapproximation errorboundO(h )in
2theL norm for the finite element discretization. We use the Nitsche-XFEM
method to handle the Henry condition and obtain an optimal error estimate
2 2O(h )in theL -normforthe spatial discretization in the case of astationary
interface. The semi-discretization resulting from the Nitsche-XFEM method
is combined with the standard θ-scheme and an optimal time discretization
error bound is also obtained. This method can also be applied for problem
with moving interface but a full error analysis is not available.
Finally, we performed numerical simulations of the coupled two-phase
Navier-Stokes and mass transport equations for rising droplet problems for
both cases of constant and concentration-dependent surface tension coeffi-
cients. For the latter case, different phenomena were observed, such as the
occurrence of the so-called stagnant cap in the velocity field and a significantiv
change in the droplet rising velocity. Due to the absence of a stabilization
method for the discretization of the mass transport problem, we restrict
ourselves to the case of medium diffusivity instead of the physically correct
(much smaller) diffusivity. Effects of the initial concentration and the size of
the convection (relative to the diffusion) on the droplet rising velocity and
the droplet concentration at steady state are investigated.Zusammenfassung
Indervorliegenden Doktorarbeitpr¨asentieren wirnumerische Methoden, um
das Stofftransportproblems bei Zweiphasenstr¨omungen zu diskretisieren und
zul¨osen. ZurBeschreibungderzeitabh¨angigenGrenzfl¨achewirddieLevelset-
methode verwendet. Die Bewegung des Fluids wird mit Hilfe der zweiphasi-
gen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben. Fu¨r die r¨aumliche Diskretisie-
rung benutzen wir in der Literatur bekannte Methoden aus verbesserter
Laplace-Beltrami-Diskretisierung derGrenz߬achenspannung underweiterten
finiten Elementen (XFEM) fu¨rden Druck. Diese Kombination liefert im Fall
eineskonstantenGrenzfl¨achenspannungkoeffizientenoptimaleFehlerschranken.
ImallgemeinenFalleinesvariablenGrenzfl¨achenspannungkoeffizientenstellen
wir eine neue Diskretisierung des lokalen Grenz߬achenkraftterms vor.
Die L¨osung der Stofftransportgleichung genu¨gt zwei Bedingungen, die
dazu fu¨hren, dass im allgemeinen sowohl die Konzentration als auch ihre
Ableitung an der Grenz߬ache unstetig sind. In Methoden aus der Literatur
wird h¨aufig eine einfache Transformation verwendet, um die Unstetigkeit zu
eliminieren. Diese Transformation fu¨hrt bei der Finite-Elemente-Diskretisie-
1 2
2rung zu einer suboptimalen Approximationsfehlerschranke O(h ) in der L -
Norm. WirsetzendieNitsche-XFEM-Methodeein,umdieHenry-Bedingung
zu erfu¨llen. Deshalb erhalten wir im Fall einer station¨aren Grenzfl¨ache fu¨r
2 2die r¨aumliche Diskretisierung eine optimale Fehlerschranke O(h ) in der L -
Norm. DieausderNitsche-XFEM-MethoderesultierendeSemidiskretisierung
wird mit einem Standard-θ-Schema kombiniert. Wir zeigen eine optimale
Fehlerschranke fu¨r die Zeitdiskretisierung. Die Methode kann auf Probleme
mit beweglicher Grenz߬ache angewendet werden, jedoch ist in diesem Fall
keine vollst¨andige Fehleranalyse verfu¨gbar.
Abschließend fu¨hren wir numerische Simulationen mit den gekoppelten
zweiphasigen Navier-Stokes- und Stofftransportgleichungen durch. Ein auf-
steigender Tropfen wird sowohl mit konstantem als auch mit konzentrations-vi
abh¨angigem Grenzfl¨achenspannungskoeffizienten simuliert. Im letzteren Fall
treten im Vergleich zum ersteren neue Ph¨anomene auf, zum Beispiel eine
¨starre Kappe im Geschwindigkeitsfeld und eine signifikante Anderung der
Aufstiegsgeschwindigkeit des Tropfens. Da keine Stabilisierung fu¨r die Dis-
kretisierung des Stofftransportproblems implementiert wurde, beschr¨anken
wir uns auf den Fall mittlerer Diffusivit¨at. Die physikalisch korrekte Diffu-
sivit¨at ist viel kleiner. In weiteren Simulationen wird der Effekt der An-
fangskonzentration und der Konvektionsst¨arke (relativ zur Diffusion) auf
die Aufstiegsgeschwindigkeit des Tropfens und auf die Stoffkonzentration im
Tropfen im Gleichgewichtszustand untersucht.Table of Contents
1 Introduction 1
2 Model for two-phase flow with mass transport 7
2.1 Two-phase flow Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Mass transport of a dissolved species . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Level set function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Discretizationofthetwo-phaseflowNavier-Stokesequations 13
3.1 Weak formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Spatial discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Multilevel triangulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Galerkin finite element discretization . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Extended finite element space for the pressure . . . . . 19
3.2.4 Implementation issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Time discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.1 The generalized θ-scheme . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 An implicit Euler type of method . . . . . . . . . . . . 28
4 Treatment of variable surface tension 31
4.1 Laplace-Beltrami method for discretization of the surface ten-
sion force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Discretization of f (v) with variable surface tension coefficient 34Γ
4.3 Implementation issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Numerical experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5 Two-phase mass transport problem with a stationary inter-
face 41
5.1 Weak formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43viii Table of Contents
5.2 Nitsche’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Analysis of Nitsche’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Time discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5.1 Test problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5.2 Implementation issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.3 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6 Two-phase mass transport problem with a moving interface 65
6.1 Time disc