On forward and inverse models in optical tomography [Elektronische Ressource] / Matthias Schlottbom

Matthias Schlottbom

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• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 17
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 7 Mo

Extrait

On Forward and Inverse Models in Optical
Tomography
Von der Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
der RWTH Aachen University zur Erlangung des akademischen Grades
eines Doktors der Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Diplom-Computermathematiker
Matthias Schlottbom
aus Borken (Westf.)
Berichter: Universitätsprofessor Dr. Herbert Egger
Univ Dr. Martin Frank
Tag der mündlichen Prüfung: 11.11.2011
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfügbar.Abstract
The present work deals with forward and inverse models in optical tomography.
Optical tomography is a non-invasive medical imaging method utilizing near-infrared
lighttoprobe biologicaltissue in order toinferqualitativeorquantitativeinformation
on the optical properties of the tissue. The propagation of light in biological tissue is
usually modeled by the (time-harmonic) mono-chromatic radiative transfer equation.
This equation is analyzed in detail in this work. In particular, a mixed variational
framework for the radiative transfer equation is derived. Within this framework,
results on unique solvability of the radiative transfer equation are proven under
mild assumptions on the parameters. The proofs of these results yield some insight
into the stability of the problem, which will be exploited when deriving stable
approximation schemes. Since the inverse problem of optical tomography, i.e., the
reconstruction of optical properties of the object of interest, is ill-posed, some
standard regularization methods are presented. A detailed analysis of the forward
model, i.e., the relation of optical properties to actual measurements, allows the
verification of the abstract assumptions of standard regularization theory, and in
turn ensures the stability of our approach for reconstructing optical parameters.Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit Vorwärts- und Rückwärtsmodellen in
der optischen Tomographie. Mit optischer Tomographie wird ein nicht-invasives
bildgebendes Verfahren bezeichnet, bei dem biologisches Gewebe mit Hilfe von
Licht im nah-infraroten Bereich durchleuchtet wird, um qualitative oder quanti-
tative Informationen über optische Eigenschaften des Gewebes zu erlangen. Die
Ausbreitung von Licht in solchen Geweben wird weithin mit der (zeitharmonischen)
monochromatischen Strahlungstransportgleichung modelliert. Diese Gleichung wird
in der vorliegenden Arbeit detailliert analysiert. Insbesondere wird ein gemischtes
Variationsproblem für die Strahlungstransportgleichung hergeleitet. Innerhalb dieser
Variationsformulierung werden dann Aussagen über die eindeutige Lösbarkeit der
Strahlungstransportgleichung unter schwachen Annahmen an die auftauchenden
Parameter bewiesen. Die Beweise dieser Existenzresultate gewähren eine gewisse
Einsicht in die Stabilität des Problems, die bei der Herleitung stabiler Approxima-
tionsmethoden benutzt wird. Da das inverse Problem der optischen Tomographie,
welches die Rekonstruktion der optischen Parameter des zu untersuchenden Gegen-
standes anhand gegebener Messdaten umfasst, schlecht gestellt ist, werden einige
Methoden der Regularisierungstheorie dargelegt. Eine detaillierte Analyse des Vor-
wärtsmodells, welches den Zusammenhang zwischen den optischen Parametern und
den Messungen beschreibt, erlaubt es, die allgemeinen und abstrakten Annahmen
der Regularisierungstheorie für das hier vorliegende Problem nachzuweisen. Dies
wiederum hat zur Folge, dass der hier diskutierte Ansatz eine stabile Rekonstruktion
der optischen Parameter erlaubt.Contents
1. Introduction 1
I. The radiative transfer equation 3
2. The radiative transfer equation 5
2.1. Basic definitions in radiative transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Derivation of thee equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Preliminaries 11
3.1. Function spaces and traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Even-odd splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Operators in the radiative transfer equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Unique solvability of the radiative transfer equation 25
4.1. Derivation of a variational principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2. Absorbing media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2.1. Proof of unique solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2. Time-harmonic transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3. Regularity of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4. Even-parity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4.1. Derivation and connection to the mixed variational framework . . . . . 32
4.4.2. Unique solvability of the even-parity equation . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5. Additional existence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.1. A saddle-point problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.2. Existence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6. Other approaches to show solvability of the radiative transfer equation . . . . . 40
4.6.1. Other variational approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6.2. Source iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6.3. Semigroup theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5. Galerkin approximation 45
5.1. Galerkin method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1. Conditions for stable approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2. P approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47N
5.2.1. Spherical harmonics expansion in two dimensions . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.2. P system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50N5.2.3. P approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50N
5.2.4. A negative stability result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.5. Convergence of the P approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52N
5.3. P sytem and diffusion approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
5.4. Spatial discretization via finite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4.1. Approximation spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.5. Implementation of the P -FEM discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57N
6. Numerical results 61
6.1. Test with exact solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2. Transport simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2.1. Monte Carlo simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2.2. Example with a void region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
II. Inverse problem of optical tomography 69
7. Introduction 71
8. Inverse problems and regularization 73
8.1. Tikhonov regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.2. Derivatives and adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.3. Iterative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3.1. Projected gradient method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3.2. Projected Gauß-Newton method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9. Inverse problem and radiative transfer 85
9.1. Problem setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2. Properties of the forward operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2.1. Continuity and compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2.2. Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
9.2.3. Adjoint of the derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.3. Additional results and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.Inverse problem and diffusion approximation 95
10.1.Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
10.2.Properties of the forward operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.2.1. Continuity and compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
10.2.2. Hölder and Lipschitz continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2.3. Results on differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.2.4. Adjoint of the derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10.3.A refined regularity result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.4.Additional results and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.Discretization of the inverse problem based on the even-parity equation as forward
model 109
11.1.Discrete forward problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.2. Tikhonov functional and discrete iterative algorithms . . . . . . . . . . 112
12.N