On Rho-invariants of fiber bundles [Elektronische Ressource] / Michael Bohn

Michael Bohn

Sujets

• Mathematics

Informations

• Publié par: rheinische_friedrich-wilhelms-universitat_bonn
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

On Rho Invariants of Fiber
Bundles
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades (Dr. rer. nat.)
der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakul¨at
der
Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universit¨at Bonn
vorgelegt von
Michael Bohn
aus
Solingen
Bonn 2009Angefertigt mit Genehmigung der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult¨at der Rheinischen
Friedrich-Wilhelms-Universit¨at Bonn
1. Gutachter : Prof. Dr. Matthias Lesch
2. Gutachter : Prof. Dr. Matthias Kreck
Tag der Promotion: 17. Juli 2009
Diese Dissertation ist auf dem Hochschulschriftenserver der ULB Bonn
unter http://hss.ulb.uni-bonn.de/diss_online elektronisch pub-
liziert.
Erscheinungsjahr: 2009Zusammenfassung
DerGegenstanddieserArbeitisteinedetaillierteUntersuchungvonRho-InvariantenaufTo-
talraumen von Faserbundeln. Die Grundidee ist, mit Hilfe der Theorie adiabatischer Grenz-¨ ¨
werte von Eta-Invarianten die Berechnung von Rho-Invarianten weitestgehend nach Faser
und Basis des Bundels zu trennen. Mit einer adiabatische Metrik auf einem Faserbundel¨ ¨
wird die Metrik der Basismannigfaltigkeit so skaliert, dass sich die Geometrie des Bun¨ dels
immermehreinerProduktsituationannahert.FurdieEta-InvarianteistdieserProzessinder¨ ¨
Literatur weitreichend untersucht worden. Aus diesem Grunde beschaft¨ igt sich ein gewisser
Teil der Arbeit damit, die sehr technischen Aspekte der lokalen Indextheorie fur¨ Familien
vonDiracOperatorenimFalledesungeradenSignaturoperatorszuformulierenundbekannte
Resultate in einen Kontext zu setzen, der die Behandlung von Rho-Invarianten ermoglic¨ ht.
Die resultierende Formel druckt die Rho-Invariante als Summe dreier Terme aus, die¨
jeweils sehr unterschiedlicher Natur sind. Zun¨achst wird ein hoher¨ dimensionales Analogon
der Rho-Invariante der Faser uber der Basis integriert. Dieser Term ist von lokaler Natur¨
auf der Basis, enth¨alt jedoch globale spektrale Information der Faser. Der nac¨ hste Term ist
im Wesentlichen eine Rho-Invariante der Basis, wobei der zugrundeliegende flache Zusam-
menhang auf dem Bun¨ del der Kohomologiegruppen der Faser definiert ist. Als letztes tritt
ein rein topologischer Term auf, der mit Hilfe der Spektralsequenz des Faserbundels berech-¨
net werden kann. Insgesamt stellt diese Formel also eine Zerlegung der Rho-Invariante des
Totalraums dar, die der Struktur des Faserbun¨ dels gerecht wird.
Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt jedoch darauf, diese abstrakte Formel fur Bei-¨
spielklassen von gefaserten 3-Mannigfaltigkeiten explizit anzuwenden. Genauer beschaft¨ igen
1wir uns mit S -Hauptfaserbundeln uber kompakten Riemannschen Flachen und mit Ab-¨ ¨ ¨
bildungstori, deren Fasern ebenfalls eine kompakte Riemannsche Flac¨ he ist. Fur¨ die erste
Beispielklasse lassen sich U(1)-Rho-Invariaten bereits ohne Anwendung dieser allgemeinen
Formel ad hoc berechnen. Insbesondere ergibt sich so die Gelegenheit, diese verschiedenen
Herangehensweisen miteinander zu vergleichen und den systematischen Vorteil der allgemei-
nen Formel zu testen.
Fur¨ 3-dimensionale Abbildungstori liefert die dargestellte Theorie ebenfalls die M¨oglich-
keit, Rho-Invarianten explizit zu berechnen. Wir beschranken uns zunachst auf den Fall,¨ ¨
dass die Monodromieabbildung von endlicher Ordnung ist. Hier l¨asst sich eine allgemeine
Formel herleiten. Um eine weitere interessante Klasse von Abbildungstori zu untersuchen,
werden U(1)-Rho-Invarianten in dem Fall betrachtet, dass die Faser ein 2-dimensionaler To-
rus ist. Insbesondere hyperbolische Monodromieabbildungen erfordern hier eine besondere
Aufmerksamkeit. In diesem Fall treten in natur¨ licher Weise Logarithmen verallgemeiner-
ter Dedekindscher Eta-Funktionen auf, aus deren Transformationsverhalten sich eine sehr
zufriedenstellende Formel fur¨ U(1)-Rho-Invarianten herleiten l¨asst.
iiiSummary
The content of this thesis is a detailed investigation of Rho invariants of the total spaces
of fiber bundles. The main idea is to use adiabatic limits of Eta invariants to obtain a
formula for Rho invariants that separates the contribution coming from the fiber and the
one coming from the base. An adiabatic metric on a fiber bundle rescales the metric of the
base manifold in such a way that the geometry of the fiber bundle approaches a product
situation. ConcerningtheEtainvariant,thisprocesshasreceivedafar-reachingtreatmentin
theliterature. Forthisreason, oneconcernofthisthesisistoformulatethetechnicalaspects
of local index theory for families of Dirac operator in terms of the odd signature operator,
and place known results in a context which permits the treatment of Rho invariants.
The resulting formula expresses the Rho invariant as a sum of three terms, each of which
is of a very different nature. First of all, a higher dimensional analog of the Rho invariants
of the fiber has to be integrated over the base. This term is of a local nature on the base,
but contains global spectral information about the fiber. The next term is essentially a
Rho invariant of the base, where the underlying flat connection is defined on the bundle of
cohomology groups of the fiber. Lastly, there is a purely topological term, which can be
computed from the spectral sequence of the fiber bundle. Together, this formula casts the
Rho invariant of the total space into a form which incorporates the structure of the fiber
bundle in a satisfactory way.
The main concern of this thesis is, however, to use this theoretical formula to compute
Rho invariants for explicit classes of fibered 3-manifolds. More precisely, we consider prin-
1cipal S -bundles over closed, oriented surfaces as well as mapping tori with fiber a closed,
oriented surface. For the first class of examples, one can compute U(1)-Rho invariants with-
out using this general formula. In particular, this yields the opportunity to compare the
different approaches and test the systematical advantage of the general formula.
For 3-dimensional mapping tori, the presented theory can also be used for explicit com-
putations. We first consider the case that the monodromy map is of finite order. In this
case, a general formula for Rho invariants can be derived. To investigate a further inter-
esting class of mapping tori, we consider U(1)-Rho invariants in the case that the fiber is a
2-dimensionaltorus. Here, hyperbolicmonodromymapsdeserveparticularattention. When
discussing them, the logarithm of a generalized Dedekind Eta function naturally appears. A
satisfactoryformulaforU(1)-Rhoinvariantsofhyperbolicmappingtoricanthenbededuced
from a transformation formula for these Eta functions.
iiiivContents
Zusammenfassung i
Summary iii
Introduction viii
Acknowledgements xv
1 The Signature Operator and the Rho Invariant 1
1.1 The Signature of a Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Intersection Forms and Local Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Twisted Signature Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Dirac Operators and the Atiyah-Singer Index Theorem . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 The Index and the Heat Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Geometric Dirac Operators and the Local Index Theorem . . . . . . . 14
1.2.3 Hirzebruch’s Signature Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Manifolds with Boundary and the Eta Invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 The Eta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Variation of the Eta Invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 The Atiyah-Patodi-Singer Index Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4 The Atiyah-Patodi-Singer Rho Invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.1 The Signature of Manifolds with Boundary . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4.2 Twisted Odd Signature Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.3 The Signature Theorem for Manifolds with Boundary . . . . . . . . . 35
1.5 Rho Invariants and Local Index Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.1 Relation to Chern-Simons Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.2 The Variation Formula and Local Index Theory . . . . . . . . . . . . . 42
2 Rho Invariants of Fiber Bundles, Basic Considerations 49
2.1 Fibered Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.1 Connections on Fiber Bundles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2 Differential Forms on a Fiber Bundle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.3 The Exterior Differential of a Fiber Bundle. . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.4 The Levi-Civita Connection on Forms and the Adjoint Differential . . 59
2.2 Rho Invariants and Adiabatic Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.1 The Odd Signature Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
vvi Contents
2.2.2 Adiabatic Metrics on Fiber Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
12.3 The U(1)-Rho Invariant for S -Bundles over Surfaces . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.1 The U(1)-Moduli Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.2 The Odd Signature Operator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.3 The Eta Inva