Percolation and Elasticity of Networks [Elektronische Ressource] : From Cellular Structures to Fibre Bundles = Perkolation und Elastizität von Netzwerken / Susan Nachtrab. Betreuer: Klaus Mecke

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• Publié le: 01 janvier 2012
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Extrait

Percolation and Elasticity
of Networks
From Cellular Structures to Fibre Bundles
Perkolation und Elastizität
von Netzwerken
Von Zellulären Strukturen zu Faserbündeln
Der Naturwissenschaftlichen Fakultät
der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
zur
Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat.
vorgelegt von
Susan Nachtrab
aus RudolstadtAls Dissertation genehmigt von der Naturwissen-
schaftlichen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg.
Tag der mündlichen Prüfung: 9. Dezember 2011
Vorsitzender der
Promotionskommission: Prof. Dr. Rainer Fink
Erstberichterstatter: Prof. Dr. Klaus Mecke
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. Ben FabryAbstract
A material’s microstructure is a principal determinant of its effective physical properties.
Structure-property relationships that provide a functional form for the dependence of
a physical property (e.g. elasticity) on the microstucture’s morphology are essential for
the physical understanding and also the practical application in material design. This
work focuses on materials with spatial mesoscopic network structure. A new model with
adjustable network topology is introduced and its percolation properties and effective
elastic properties are examined.
In an initially four-coordinated network, ordered or disordered, each vertex is separated
with probabilityp to form two two-coordinated vertices, yielding network geometries that
change continuously from network structures to bundles of unbranched, interwoven fibres.
The percolation properties of this so-called vertex model are studied for a two-
dimensional square lattice and a three-dimensional diamond network, revealing a percola-
tion transition at p = 1 in both cases. The analysis of the pair-connectedness function
and finite size scaling exhibits critical behaviour with critical exponents = 0:32 0:02,
= 1:29 0:04 in two dimensions and = 0:0021 0:0004, = 0:54 0:01 in three
dimensions. The values of the exponents differ from those of conventional site and bond
percolation, indicating that this vertex model belongs to a different universality class.
In addition, in three dimensions the critical exponents do not obey the hyperscaling
relations of bond percolation, but a heuristic new hyperscaling relation is found.
After inflating the network edges to circular cylinders of finite radius, the resulting
structure is interpreted as solid material in network shape, henceforth called network
solid. Changes of probability p strongly affect the mechanical properties of such network
solids. This is demonstrated by calculating the effective linear-elastic bulk and shear
moduli using a finite element method based on voxel representations of the structures.
Separating a fraction of the network nodes leads to a strong decay of the effective moduli
whose functional dependence can be approximated, for p< 0:5, by an exponential decay
for both, fixed and periodic boundary conditions. This is verified for ordered (diamond
and nbo) as well as for irregular (foam) initial structures. Compression experiments on
laser-sintered models based on diamond network solids confirm these results. In case of
periodic boundary conditions, a cross-over from an exponential to a power-law decay
in (1 p) close to the critical point at p = 1 is observed. From this, the elastic critical
exponentf can be estimated asf = 3:0 0:1, which also differs from the site and bondc c
percolation exponent.
The morphological analysis of this work has several applications. For linear-elastic
solids, it suggests that the network connectivity can be used as design parameter, for
example for open-cell metal foams or bone scaffolds, as the elastic properties can be
adjusted to a given value while keeping the pore space geometry and thus transport
properties almost constant. The results of the percolation analysis are especially relevant
for network models of biological or synthetic polymers with varying degree of cross-linking.
iiiZusammenfassung
Die Mikrostruktur eines Materials hat großen Einfluß auf seine effektiven physikalischen
Eigenschaften. Funktionale Abhängigkeiten physikalischer Größen (z.B. der Elastizität)
von der Morphologie der Mikrostruktur sind essentiell für das physikalische Verständnis
und die praktische Anwendung im Materialdesign. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf
Materialien, deren Mikrostruktur durch ein Netzwerk dargestellt werden kann. Ein neues
Modell mit einstellbarer Netzwerktopologie wird vorgestellt, dessen Perkolationseigen-
schaften und effektive elastische Eigenschaften untersucht werden.
Ausgehend von einem ursprünglich vier-verbundenen, geordneten oder ungeordneten
Netzwerk wird jeder Vertex mit Wahrscheinlichkeit p in zwei zwei-verbundene Vertizes
getrennt. Netzwerkgeometrien werden dadurch kontinuierlich zu Bündeln verschlungener
Fasern. Somit wird über den Parameter p die mittlere Verbundenheit der Vertizes von
vier im ursprünglichen Netzwerk auf zwei bei p = 1 herabgesetzt.
Die Perkolationseigenschaften dieses sogenannten Vertex-Modells werden auf dem
zweidimensionalen Quadratgitter und dem dreidimensionalen Diamantnetz untersucht.
Beide Modelle zeigen einen Perkolationsübergang bei p = 1. Die Analyse der Paar-
Verbundenheitsfunktion und das Finite-Size-Scaling offenbaren kritisches Verhalten mit
kritischen Exponenten = 0:32 0:02, = 1:29 0:04 in zwei Dimensionen und
= 0:0021 0:0004, = 0:54 0:01 in drei Dimensionen. Die Werte der Exponenten
unterscheiden sich von konventioneller Site- und Bond-Perkolation, was darauf hindeutet,
dass das Vertex-Modell zu einer neuen Universalitätsklasse gehört. In drei Dimensionen
werden außerdem neue Hyperskalen-Beziehungen für das Vertex-Modell vorgeschlagen.
Werden die Kanten der Netzwerkstrukturen durch Kreiszylindern mit endlichem Ra-
dius ersetzt, können sie als Festkörper in Form eines Netzwerkes interpretiert werden.
Nachfolgend werden diese Strukturen Netzwerkkörper genannt. Mithilfe einer Finite-
Elemente-Methode, die auf voxelierten Repräsentationen der Strukturen basiert, werden
die effektiven, linear-elastischen Eigenschaften berechnet, wobei eine Veränderung von
p großen Einfluß auf die mechanischen Eigenschaften solcher Netzwerkkörper hat. Die
Trennung von Netzwerkknoten führt für p< 0:5 zu einem starken Abfall der effektiven
linear-elastischen Moduln, deren funktionale Abhängigkeit vonp sowohl für periodische als
auch nicht-periodische Randbedingungen durch einen exponentiellen Abfall approximiert
werden kann. Dies kann für geordnete (Diamant und nbo) und für ungeordnete (Schaum)
Ausgangsstrukturen gezeigt werden. Kompressionsexperimente an Laser-gesinterten,
auf der Diamantstruktur basierenden Modellen bestätigen dieses Ergebnis. Im Falle
periodischer Randbedingungen kann ein Cross-over Verhalten von einem exponentiellen
zu einem algebraischen Abfall in (1 p) nah am kritischen Punkt p = 1 beobachtet
werden. Daraus kann der elastische kritische Exponent f zu f = 3:0 0:1 abgeschätztc c
werden, der sich ebenfalls von dem elastischen kritischen Exponenten der Site- und
Bondperkolation unterscheidet.
Für die morphologische Analyse dieser Arbeit gibt es verschiedene Anwendungen. Für
linear-elastische Festkörper legt sie nahe, die Netzwerkverbundenheit als Designparameter,
vz.B. für offenzellige Metallschäume oder Knochengerüste, zu verwenden, da die elasti-
schen Eigenschaften auf einen bestimmten Wert eingestellt werden können, während die
Porenraumgeometrie und somit die Transporteigenschaften kaum verändert werden. Die
Ergebnisse der Perkolationsanalyse sind im Speziellen für Netzwerkmodelle biologischer
und synthetischer Polymere mit variablem Vernetzungsgrad relevant.
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