Physique statistique de la matière molle (II)

Sujets

• Extensivité - intensivité
• Ln (Unix)
• Statistique
• Physique statistique
• Fluctuations cycliques
• Équilibre thermodynamique

Informations

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Extrait

Physique statistique de la mati`ere molle (II) (DEA de Physique des Liquides 2003 – 2004) Claude ASLANGULCe cours est l’un des deux volets du cours de Physique statistique de la mati`ere molle donn´e au DEA de Physique des Liquides. Il expose les principes et les bases des m´ethodes de la Physique statistique en vue de son application aux fluides classiques ( =0 ). Lesd eux premiers chapitres constituent un rappel succinct de la synth`ese connue entre la Thermodynamique et la M´ecanique statistique. Le chapitre 3 expose les bases de la th´eorie de la r´eponse lin´eaire et discute bri`evement l’importance des exp´eriences de diffusion (X et neutrons). Le chapitre 4 pr´esente les difficult´es pos´ees par les interactions au sein d’un fluide et les m´ethodes utilis´ees pour les d´ecrire. Les chapitres 5 et 6 sont consacr´es aux transitions de phase, en adoptant une d´emarche ph´enom´enologique pour introduire les id´ees essentielles, notamment la th´eorie de Landau. Les deux derniers chapitres sont consacr´es aux situations hors d’´equilibre, d´ecrites en d´etail en prenant l’exemple du mouvement Brownien.Table des Mati`eres 1Rappelssurladescription d’un syst`eme `al’´equilibre thermodynamique 7 1.1 Quelques propri´et´es des syst`emes macroscopiques ........................... 7 1.2N atures tatistique de l’entropie..................................... 9 1.3G randeursi nternesetg randeurse xternes ............................... 11 1.4R elations thermodynamiques fondamentales .............................. 13 1.5P otentielsthermodynamiques ...................................... 15 1.6 Ensembles microcanonique, canonique, grand-canonique et isotherme-isobare............................................. 16 1.7E xemple:f onctiondepartition d’un fluide classique......................... 19 1.8 Principe variationnel pour l’´energie libre . ............................... 21 2S tabilit´edel’´equilibre. Fluctuations `al’´equilibre 23 2.1S tabilit´edel’´equilibre et cons´equences ................................. 23 2.2F luctuationsd’une grandeur interne .................................. 24 2.2.1 G´en´eralit´es ............................................ 24 2.2.2 Le th´eor`emedelalimite centrale( T. L. C.).......................... 25 2.2.3A pplicationaux fluctuations d’une grandeur interne ..................... 28 3El´ements de th´eorie delar´eponse lin´eaire 33 3.1 R´eponse d’un syst`eme `a une petite perturbation ........................... 33 3.1.1 Fonctions de r´eponse statiques................................. 34 3.1.2E xemples ............................................. 37 3.2 Fonctions de r´eponse dynamiques . ................................... 38 3.3 Absorption d’´energie........................................... 44 3.4 Th´eor`emedefluctuation–dissipation ................................. 46 3.5 Relaxationap` artird’un´etat (faiblement) hors d’´equilibre . ..................... 47 3.6 Relations de r´eciprocit´ed ’Onsager ................................... 48 3`4 TABLE DES MATIERES 4Propri´et´es statiques des liquides 51 4.1D escription statistiqued ’un liquide ................................... 51 4.2 D´eveloppement du Viriel . ........................................ 54 4.3 Fonction de corr´elations patiales .................................... 56 ´4.4 EquationsdeKirkwood et d’Ornstein–Zernike ............................. 59 4.5D iffusiondes rayonsXetd es neutrons ................................. 61 5G´en´eralit´es sur les transitions de phase et les ph´enom`enes critiques 67 5.1T ransition liquide-gaz .......................................... 67 5.1.1 Ph´enom´enologie......................................... 67 5.1.2 L’´equation de vand er Waals.................................. 69 5.1.3E xposants critiquesdev an derW aals ............................. 71 5.2 La transition ferromagn´etique ...................................... 74 5.2.1 Ph´enom´enologie......................................... 74 5.2.2 Rudimentssurlemod`eled’Ising ................................ 75 5.2.3 Approximation du champ moyen : th´eorie de Weiss du ferromagn´etisme .......... 78 5.3 Notion de param`etre d’ordre...................................... 81 5.4 Rolˆ e de la limite thermodynamique pour l’apparition d’une transition de phase. Brisure d’ergodicit´e............................ 82 6Th´eorie deLandau 87 6.1 Universalit´edesth´eories de champm oyen ............................... 87 6.2F onctionnelle de Landau......................................... 88 6.3 Fluctuations d’´equilibre du param`etre d’ordre ............................. 93 6.4 Crit`eredeLandau–Ginzburg...................................... 95 6.5 Syst`emes inhomog`enes .......................................... 95 6.5.1 Abaissement de la temp´eraturec ritiquepourunfilm mince................. 96 ´6.5.2 Energied’une paroi ....................................... 97 7LeMouvementBrownien 99 7.1O rigine physique du mouvementBrownien............................... 99 ´7.2 Equation de Langevin ..........................................100 7.3 Premi`eres cons´equences de l’´equation de Langevin ..........................104 7.3.1 R´eponse `a une force ext´erieure .................................104 Physique Statistique de la mati`ere molle (II) Cl. A.`TABLE DES MATIERES 5 7.3.2F luctuationsdev itesse et relationsdefluctuation-dissipation ................105 7.3.3F luctuationsdelaposition ...................................106 7.3.4 Dynamique des fluctuations de vitesse al` ’´equilibre . .....................107 7.4 Analyse harmonique de l’´equation de Langevin ............................110 7.5L acontributiond’Einstein........................................112 8Equationmaˆıtresse et ´equation de Fokker - Planck 115 8.1 Notions ´el´ ementaires surl es processuss tochastiques classiques....................115 8.1.1P rocessusd iscretsetp rocessusc ontinus ............................115 8.1.2P rocessusdeMarkov.......................................118 8.2 Equation maˆıtresse ............................................119 8.3E quationdeF okker-Planck ......................................123 8.4 Comparaison entre l’´equation maˆıtresse et l’´equation de Fokker-P lanck..............................................127 8.5E quation(s) de Fokker -Planckpourlemouvement Brownien ....................130 8.5.1 Equation de Fokker - Planck pour la vitesse (Processus d’Ornstein - Ulhenbeck) ............................................131 8.5.2 Equation de Fokker - Planck pour la coordonn´ee (limite visqueuse de l’´equation de Langevin).....................................134 Cl. A. Physique Statistique de la mati`ere molle (II)`6 TABLE DES MATIERES Physique Statistique de la mati`ere molle (II) Cl. A.Chapitre 1 Rappels sur la description d’un syst`eme `al’´equilibre thermodynamique 1.1 Quelques propri´ et´es des syst`emes macroscopiques Un syst`eme macroscopique est, par d´efinition, un syst`eme que l’on peut observer, au moins partiellement, avec les sens communs (l’œil, le toucher, etc.). Cette d´efinition implique queladimen sion lin´eaire du syst`eme est de l’ordre du millim`etre ou plus ; compte tenu des dimensions atomiques, une cons´equence imm´ediate est que tout syst`eme macroscopique contient un nombre ´enorme de constituants “´el´ ementaires” (atomes ou mol´ecules), au sens de la Physique des basses ´energies. Cette constatation peut se r´esumer dans la valeur du nombre d’Avogadro,N.D ’ailleurs, mˆemepour une taille sensiblement inf´erieure au mm, on pourra ´evidemment encore 3parler de syst`eme macroscopique : pour un gaz dans des conditions normales, un volume d’1 µ contient encore environ20m illions d’atomes. D’un autre cotˆ ´e, il est ´evidentq ue, en plongeant vers l’“infiniment” petit, on va mettre totˆ ou tard en ´evidence l’aspect granulaire de la mati`ere : on sera pass´ed’une vision continue a` une 1vision discontinue (discr`ete), oua` pparaissent au premierplanlescaract´eristiques d’un syst`eme microscopique . La Thermodynamique, ou sa formulation “moderne” appel´ee M´ecanique Statistique,visepr´ecis´ement `a d´ ecrire les syst`emes macroscopiques. L’impossibilit´edes’entenir a` une approche purement m´ecaniste saute aux yeux pour bien des raisons : 23 • Il est totalement exclu de pouvoir ´ecrire les∼ 10 ´equations dumouvement,encoremoins de les r´esoudre, puisque l’on ne connaˆıt mˆeme pas les conditions initiales. Les ordinateurs les plus puissants sont tout juste capables de traiterladynamique de quelques milliers de particules et ac` ondition que le mod`ele soit assez simple • Quand bien mˆeme une telle entreprise serait possible, elle n’aurait aucun int´erˆet, en fournissant une information pl´ethorique, inutile et inexploitable • Enfin, et c’est la vraie grande raison, de nature m´ethodologique : l’observation courante d´emontre `a 3l’´evidence que la description compl`ete d’un syst`eme “complexe”co mme 1cm de gaz (parfait ou non) requiert en r´ealit´e l’usage d’un tr`es petit nombre de grandeurs physiques (pour un gaz neutre et non magn´etique, pression, temp´erature et volume suffisent, ces trois grandeurs ´etant de surcroˆıt reli´ees par l’´equation d’´etat). Ce constat ´etant fait, l’objectif du physicien est alors de batˆ ir un cadre th´eorique prenant en compte d’embl´ee ce fait majeur, quitte au` tiliser d’autres concepts rationalisant l’´emergence des quelques grandeurs physiques 1 `Le passage du macroscopique au microscopique n’est trivial ni dans un sens, ni dans l’autre. Aplusieursstades se posent des questions fondamentales dont certaines ne sont pas tranch´ees compl`etement, ou requi`erent des hypoth`eses non contenues dans les lois dites “fondamentales” (par exemple : l’hypoth`ese ergodique). Aussi int´eressante qu’elle soit, une telle probl´ematique ne sera pas abord´ee dans ce cours.` ` ´8 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LA DESCRIPTION D’UN SYSTEME AL’EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE pertinentes exp´erimentalement. Fondamentalement, c’est pr´ecis´ement le nom