Quand les données sont des courbes

Description

Quand les donnees´ sont des courbes
Philippe BESSE
´Laboratoire de Statistique et Probabilites
UMR CNRS 5583
Universite´ Paul Sabatier Toulouse III
[e-mail] tlse.fr
www.lsp.ups tlse.fr/Besse
1Journee´ IS2 2003 Apprentissage statistique 2
1 Introduction
• Problemes` naturellement de plus en plus frequents´ .
• Historique : met´ eorologie,´ chimiometrie,´ traitement du signal...
• Bibliographie : Deville (1974), Dauxois et pousse (1976), Besse et
Ramsay (1986), Ramsay et Silverman (1997) ...
• Specificit´ e´ 1. nature fonctionnelle ou non des donnees,´
´– base de representation (Fourier, splines, ondelettes, fonctions propres),
– lissage des courbes ou debruitage´ du signal,
– complexite´ des outils mathematiques´
• Specificit´ e´ 2. tres` forte dimensionnalite´.
• Exploration (ACP) puis modelisation´ .
• Inter´ etˆ de la demarche´ sur des exemples.
c ´Philippe Besse — LSP/UMR CNRS 5583 — Universite Paul SabatierJournee´ IS2 2003 Apprentissage statistique 3
5 10 15 20
Trois exemples de courbes decrivant´ la pluviometrie´ mensuelle durant 2 ans.
c Philippe Besse — LSP/UMR CNRS 5583 — Universite´ Paul Sabatier
0
50
100
150Journee´ IS2 2003 Apprentissage statistique 4
Enregistrement 7860
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Temps d’elution (minutes)
Chromatogramme d’un jus d’orange.
c Philippe Besse — LSP/UMR CNRS 5583 — Universite´ Paul Sabatier
Absorption
0
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20
30Journee´ IS2 2003 Apprentissage statistique 5
2 Exploration
´2.1 ACP de courbes bruitees
2.1.1 Donnees´
´• n ...

Sujets

• Apprentissage anticipé de la conduite
• Char Josef Stalin
• Paul Sabatier
• Courbe de Bézier
• Variables d'échelle de Bjorken
• D'une ombre à l'autre

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Extrait

Quandlesdonne´essontdescourbes PhilippeBESSE LaboratoiredeStatistiqueetProbabilite´s UMRCNRS5583 Universite´PaulSabatierToulouseIII [e-mail] www.lsp.ups-tlse.fr/Besse 1

Journe´eIS22003Apprentissagestatistique 1Introduction 2 • Problemesnaturellementdeplusenplusfre´quents. • Historique:me´te´orologie,chimiome´trie,traitementdusignal... • Bibliographie:Deville(1974),Dauxoisetpousse(1976),Besseet Ramsay(1986),RamsayetSilverman(1997)... • Spe´cicite´1.naturefonctionnelleounondesdonne´es, –basederepre´sentation(Fourier,splines,ondelettes,fonctionspropres), –lissagedescourbesoude´bruitagedusignal, –complexite´desoutilsmathe´matiques • Spe ´ cicite ´ 2.tre  sfortedimensionnalite ´ . • Exploration(ACP)puismode´lisation. • Inte´reˆtdelade´marchesurdesexemples. c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite ´ PaulSabatier

Journe´eIS22003Apprentissagestatistique Troisexemplesdecourbesde´crivantlapluviome´triemensuelledurant2ans. 3 c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier

Journe´eIS22003Apprentissagestatistique Chromatogrammed’unjusd’orange. 4 c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier

Journe´eIS22003Apprentissagestatistique c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier x j =z(t j )+ε j ;E(ε j )=0,E(ε j ε k )=σ 2 δ k ,j,k=1,...,p a ≤ t 1 <t 2 <...<t p ≤ b 2Exploration A1.2ocedPC 5 euqirte´marap-nonnoisserge´redeledomnu’dsetnadnepe´dnisnoitite´pe´r n • p t,..., 1 t stnatsni’d p nesee´vresbo, i z seriotcejart n • see´nnoD1.1.2 see´tiurbsebru

Journ´eeIS22003Apprentissagestatistique 2.1.2Modeleetestimation • Estimationsimultane´ede n re´gressionsnonparame´triques • contraintesdere´gularite´etdedimension:   IE (ε i )=0 etIE (ε i ε i )=σ 2 I, x i =z i +ε i ;  σ inconnue ,(σ>0) ceva i=1,...,n x i inde´pendantde ε i 0 ,i 0 =1,...,n,   x i ∈ A q p.s.et k x i k 2 m ≤ c p.s. . ( X n  ) minw i k z i − x i k I 2 +` k z i k 2 M ;z ∈ A q , dim A q =q z i ,A q i=1 6 c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier

Journe´eIS22003Apprentissagestatistique P ROPOSITION 1.—Lasolutionduproblemeestdonne´epar: 7 1/21/2 z b i =A ` P b q A ` x i +A ` x,i=1,...,n. Lamatrice P b q =V q V 0 q estlaprojectionorthogonalesurlesous-espace E b q engendre ´ parles q vecteurspropresdelamatrice A 1/2 SA 1/2 . `` associe´saux q plusgrandesvaleurspropres. • Interpolationsplinedesvaleursde z b i . c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier

Journ´eeIS22003Apprentissagestatistique Solutione´quivalente: • D.V.S.de (XA ` 1/2 ,I,D) • doncdiagonalilsationde A 1/2 SA 1/2 . `` • Trajectoiresprojete´essurVect. 8 v e i =A ` 1/2 v j ,j=1,...,q. • Trajectoiresestime´es z ˆ i sede´composentdemanieree´quivalentesur labase A ` − 1 -orthonorme´edes { v e j } parprojectiondesdonne´estransforme´es : xA i` q X z ˆ i =A ` x ¯ + h v e j ,A ` x i i A ` − 1 v e j . 1=j • Dimensionetparametredelissage:optimiseruncriteredestabilite´. c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier

Journe´eIS22003Apprentissagestatistique 2.2Exemples:ACPdese´riesclimatiques 2.2.1ACPdespre´cipitations • Donne´es:130courbesdepre´cipitationsmensuellessurdeuxans. Troispremie  resfonctionspropresdel’ACPclassique. 9 c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier

Journe´eIS22003Apprentissagestatistique Stabilite´dusous-espacedeprojection. 01 c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier

Journe´eIS22003Apprentissagestatistique Cinqpremierescomposantesprincipales. 11 c PhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier