Quand les données sont des courbes
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Description

Quand les donnees´ sont des courbes
Philippe BESSE
´Laboratoire de Statistique et Probabilites
UMR CNRS 5583
Universite´ Paul Sabatier Toulouse III
besse@math.ups tlse.fr
www.lsp.ups tlse.fr/Besse
1 Journee´ IS2 2003 Apprentissage statistique 2
1 Introduction
• Problemes` naturellement de plus en plus frequents´ .
• Historique : met´ eorologie,´ chimiometrie,´ traitement du signal...
• Bibliographie : Deville (1974), Dauxois et pousse (1976), Besse et
Ramsay (1986), Ramsay et Silverman (1997) ...
• Specificit´ e´ 1. nature fonctionnelle ou non des donnees,´
´– base de representation (Fourier, splines, ondelettes, fonctions propres),
– lissage des courbes ou debruitage´ du signal,
– complexite´ des outils mathematiques´
• Specificit´ e´ 2. tres` forte dimensionnalite´.
• Exploration (ACP) puis modelisation´ .
• Inter´ etˆ de la demarche´ sur des exemples.
c ´Philippe Besse — LSP/UMR CNRS 5583 — Universite Paul Sabatier Journee´ IS2 2003 Apprentissage statistique 3
5 10 15 20
Trois exemples de courbes decrivant´ la pluviometrie´ mensuelle durant 2 ans.
c Philippe Besse — LSP/UMR CNRS 5583 — Universite´ Paul Sabatier
0
50
100
150 Journee´ IS2 2003 Apprentissage statistique 4
Enregistrement 7860
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Temps d’elution (minutes)
Chromatogramme d’un jus d’orange.
c Philippe Besse — LSP/UMR CNRS 5583 — Universite´ Paul Sabatier
Absorption
0
10
20
30 Journee´ IS2 2003 Apprentissage statistique 5
2 Exploration
´2.1 ACP de courbes bruitees
2.1.1 Donnees´
´• n ...

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Langue Français

Exrait

Quandlesdonne´essontdescourbesPhilippeBESSELaboratoiredeStatistiqueetProbabilite´sUMRCNRS5583Universite´PaulSabatierToulouseIIIbesse@math.ups-tlse.frwww.lsp.ups-tlse.fr/Besse1
Journe´eIS22003Apprentissagestatistique1Introduction2Problemesnaturellementdeplusenplusfre´quents.Historique:me´te´orologie,chimiome´trie,traitementdusignal...Bibliographie:Deville(1974),Dauxoisetpousse(1976),BesseetRamsay(1986),RamsayetSilverman(1997)...Spe´cicite´1.naturefonctionnelleounondesdonne´es,–basederepre´sentation(Fourier,splines,ondelettes,fonctionspropres),–lissagedescourbesoude´bruitagedusignal,–complexite´desoutilsmathe´matiquesSpe´cicite´2.tresfortedimensionnalite´.Exploration(ACP)puismode´lisation.Inte´reˆtdelade´marchesurdesexemples. cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
Journe´eIS22003ApprentissagestatistiqueTroisexemplesdecourbesde´crivantlapluviome´triemensuelledurant2ans.3 cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
Journe´eIS22003ApprentissagestatistiqueChromatogrammed’unjusd’orange.4 cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
Journe´eIS22003Apprentissagestatistique cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatierxj=z(tj)+εj;E(εj)=0,E(εjεk)=σ2δk,j,k=1,...,pat1<t2<...<tpb2ExplorationA1.2ocedPC5euqirte´marap-nonnoisserge´redeledomnudsetnadnepe´dnisnoitite´pe´rnpt,...,1tstnatsnidpnesee´vresbo,izseriotcejartnsee´nnoD1.1.2see´tiurbsebru
Journ´eeIS22003Apprentissagestatistique2.1.2ModeleetestimationEstimationsimultane´edenre´gressionsnonparame´triquescontraintesdere´gularite´etdedimension:IE(εi)=0etIE(εiεi)=σ2I,xi=zi+εi;σinconnue,(σ>0)cevai=1,...,nxiinde´pendantdeεi0,i0=1,...,n,xiAqp.s.etkxik2mcp.s..(Xn)minwikzixikI2+`kzik2M;zAq,dimAq=qzi,Aqi=16 cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
Journe´eIS22003ApprentissagestatistiquePROPOSITION1.—Lasolutionduproblemeestdonne´epar:71/21/2zbi=A`PbqA`xi+A`x,i=1,...,n.LamatricePbq=VqV0qestlaprojectionorthogonalesurlesous-espaceEbqengendre´parlesqvecteurspropresdelamatriceA1/2SA1/2.``associe´sauxqplusgrandesvaleurspropres.Interpolationsplinedesvaleursdezbi. cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
Journ´eeIS22003ApprentissagestatistiqueSolutione´quivalente:D.V.S.de(XA`1/2,I,D)doncdiagonalilsationdeA1/2SA1/2.``Trajectoiresprojete´essurVect.8vei=A`1/2vj,j=1,...,q.Trajectoiresestime´eszˆisede´composentdemanieree´quivalentesurlabaseA`1-orthonorme´edes{vej}parprojectiondesdonne´estransforme´es:xAi`qXzˆi=A`x¯+hvej,A`xiiA`1vej.1=jDimensionetparametredelissage:optimiseruncriteredestabilite´. cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
Journe´eIS22003Apprentissagestatistique2.2Exemples:ACPdese´riesclimatiques2.2.1ACPdespre´cipitationsDonne´es:130courbesdepre´cipitationsmensuellessurdeuxans.TroispremieresfonctionspropresdelACPclassique.9 cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
Journe´eIS22003ApprentissagestatistiqueStabilite´dusous-espacedeprojection.01 cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
Journe´eIS22003ApprentissagestatistiqueCinqpremierescomposantesprincipales.11 cPhilippeBesse—LSP/UMRCNRS5583—Universite´PaulSabatier
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