Quantum thermodynamics under observation [Elektronische Ressource] : the influence of quantum measurements / vorgelegt von Thomas Jahnke

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Institut fu¨r Theoretische Physik IUniversit¨at StuttgartPfaffenwaldring 5770550 StuttgartQuantum Thermodynamics underObservation:The Influence of Quantum MeasurementsVon der Fakult¨at Mathematik und Physik der Universit¨at Stuttgart zurErlangung der Wu¨rde eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)genehmigte AbhandlungVorgelegt vonThomas Jahnkeaus LudwigsburgHauptberichter: Prof. Dr. Gu¨nter MahlerMitberichter: Prof. Dr. Hans Peter Bu¨chlerTag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 28. Februar 2011Institut f¨ur Theoretische Physik der Universit¨at Stuttgart2011(Dissertation Universit¨at Stuttgart)DanksagungIch mo¨chte mich bei einigen Personenbedanken, die mich bei dieser Disserta-tion auf vielf¨altige Weise unterstu¨tzt haben.Zuallererstbedankeichmichganz herzlichbei Prof.Dr.Gu¨nter Mahlerdafu¨r,dass er mir die Forschung in seiner Arbeitsgruppe ermo¨glicht hat. Seine sehrgute Betreuung und sein Interesse an meiner Arbeit, welches zu zahlreichenanregendenDiskussionenfu¨hrte, habenmaßgeblichzu dieserDissertationbei-getragen.¨Prof. Dr. Hans Peter Buchler danke ich herzlich fur die Ubernahme des Mit-¨ ¨berichts.¨Ebenso danke ich Prof. Dr. Clemens Bechinger fur die Ubernahme des Pru-¨ ¨fungsvorsitzes.Bedanken mochte ich mich auch bei meinen ehemaligen Kollegen Suzanne¨Lan´ery, Kilian Rambach, Florian Rempp, Heiko Schroder, Jens Teifel, Pedro¨Vidal, Gerald Waldherr und Hendrik Weimer fu¨r viele interessante Diskussio-nen.

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• Physik

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• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

IUnnsitviteurstitfa¨u¨trSTthuettogreatritschePhysikI
7P0f5a50enSwtaultdtrginargt57

QuantumThermodynamicsunder
Observation:
TheInuenceofQuantumMeasurements

VonderFakulta¨tMathematikundPhysikderUniversita¨tStuttgartzur
ErlangungderWu¨rdeeinesDoktorsderNaturwissenschaften(Dr.rer.nat.)
genehmigteAbhandlung

Hauptberichter:
Mitberichter:

Vorgelegtvon
ThomasJahnke
ausLudwigsburg

Prof.Dr.Gu¨nterMahler
Prof.Dr.HansPeterBu¨chler

Tagdermu¨ndlichenPru¨fung:28.Februar2011

Institutfu¨rTheoretischePhysikderUniversita¨tStuttgart
1102

D(

issertation

U

n

iversita¨t

S

ut

ttgart)

Danksagung

Ichmo¨chtemichbeieinigenPersonenbedanken,diemichbeidieserDisserta-
tionaufvielfa¨ltigeWeiseunterstu¨tzthaben.

ZuallererstbedankeichmichganzherzlichbeiProf.Dr.Gu¨nterMahlerdafu¨r,
dassermirdieForschunginseinerArbeitsgruppeermo¨glichthat.Seinesehr
guteBetreuungundseinInteresseanmeinerArbeit,welcheszuzahlreichen
anregendenDiskussionenfu¨hrte,habenmaßgeblichzudieserDissertationbei-
getragen.

Prof.Dr.HansPeterBu¨chlerdankeichherzlichfu¨rdieU¨bernahmedesMit-
berichts.

EbensodankeichProf.Dr.ClemensBechingerfu¨rdieU¨bernahmedesPru¨-
fungsvorsitzes.

Bedankenmo¨chteichmichauchbeimeinenehemaligenKollegenSuzanne
Lane´ry,KilianRambach,FlorianRempp,HeikoSchro¨der,JensTeifel,Pedro
Vidal,GeraldWaldherrundHendrikWeimerfu¨rvieleinteressanteDiskussio-
nen.InsbesonderedankeichHeiko,JensundHendrikfu¨rdievielenunterhalt-
samenStunden,diewirzusammenverbrachthaben.

EinbesondererDankgiltmeinenElternManfredundPetraJahnkesowie
meinerSchwesterJasminfu¨rihrevielfa¨ltigeUnterstu¨tzungwa¨hrendmeines
gesamtenStudiumsundderPromotion.

iii

Contents

1.Introduction

I.Quantumthermodynamicsundertheinuenceofperi-
odicmeasurements

1

5

2.Thequantumthermodynamicalmodel7
2.1.Generalpropertiesofquantumthermodynamicalmodels....7
2.2.Theconcretemodel.........................8
2.2.1.Spectrumofthemodularenvironment..........8
2.2.2.Interactionbetweensystemandenvironment......9
2.3.Numericalillustrationofthethermalization...........10
2.4.Quantumthermodynamicsandobservation...........13

3.Quantummeasurementtheory15
3.1.Themeasurementpostulateforprojectivemeasurements....15
3.1.1.Measurementsonbipartitesystems:Theco-jump....16
3.2.POVMmeasurement........................17
3.3.Concretemeasurementmodels..................18

4.Inuenceofperiodicmeasurementsoftheenvironment21
4.1.Eectsofthemeasurementoftheenvironmentalenergy....21
4.2.Short-timedynamics........................23
4.2.1.DiagonalelementsoftheTLSstate............25
4.2.2.O-diagonalelementsoftheTLSstate..........31
4.2.3.Probabilitiesforthemeasurementresults........34
4.3.Normalizationoftheinteraction.................36
4.4.Trajectoriesduetoperiodicmeasurements............38
4.5.Analyticalcalculationoftheensembleaverage..........40
4.5.1.O-diagonalelements...................40
4.5.2.Diagonalelements:Generalproperties..........43
4.5.3.Attractorstatefortheresonantcase...........44
4.5.4.Attractorstatefortheo-resonantcase.........46

v

iv

Contents

4.5.5.Testoftheanalyticalresults...............49
4.5.6.Long-timeaverageandergodicity.............49
4.6.Entropyandlackofknowledge..................52
4.6.1.Informationinthermodynamics..............52
4.6.2.Measurementlogic.....................53

5.Measurementsonasmallspin-environment59
5.1.Dynamicswithoutexternaldisturbance.............59
5.2.Dynamicswithmeasurementsoftheenvironment........60
5.3.DynamicswithdirectmeasurementsoftheTLS.........68
5.4.ExplicitmeasurementmodelbasedonaCNOT-gate......71
5.4.1.HamiltonianfortheCNOTgate.............72
5.4.2.DynamicsoftheTLSunderperiodicapplicationofthe
CNOT-operation......................74

6.ComparisonwiththemodelofKurizkietal.

97

II.Temperatureestimation:Fluctuationsarisingfromquan-
tummeasurements83

7.Temperatureestimationformodularsystems85
7.1.Repeatedtemperatureestimations:Averageanductuations.86
7.1.1.Boundsforthevalidityoftheuctuationformula....91
7.1.2.Temperatureestimationbyusingmorethanonemea-
surement..........................92
7.2.Example:Thenspinmodel....................92
7.2.1.Averagetemperatureestimate..............93
7.2.2.Fluctuationsoftheestimatedtemperature........96
7.2.3.Temperatureestimationwithseveralmeasurements..99

8.Conclusion

III.Appendices

A.Numericaltestoftheapproximations

B.Short-timeapproximation

C.Interactionenergy

301

701

901

131

171

Contents

iiv

D.Evolutionof00forperiodicmeasurementofthesameenergyband119

E.Vanishingoftheo-diagonalelements

F.POVMmeasurementsoftheTLS

G.LowerlimitfortheGaussianapproximation

121

521

721

H.Germansummary-DeutscheZusammenfassung129
H.1.DasquantenthermodynamischeModell..............130
H.2.DerEinussperiodischerMessungen...............132
H.2.1.KurzzeitdynamikundTrajektorien............132
H.2.2.Ensemblemittelung:RelaxationundAttraktorzustand.135
H.2.3.PeriodischeMessungenbeikleinenSpin-Umgebungen.136
H.2.4.VergleichmitdemModellvonKurizkietal........138
H.3.Temperaturscha¨tzungundFluktuationen............138
H.3.1.Temperaturscha¨tzungdurchEnergiemessung:Erwartungswert
undFluktuationen.....................139
H.3.2.KonkretesBeispiel:Dasn-SpinSystem.........141
H.4.Fazit.................................141

ListofSymbols

Bibliography

341

741

1.Introduction

Observationsnotonlydisturbwhathastobemeasured,theypro-
duceit.

—PascualJordan[27]

Thermodynamics[8,47]asdevelopedmainlyinthe19thcentury,isapow-
erfultheorywithalargerangeofapplications.Originallybeingdevelopedto
describeheatengines,itsconceptsareforexamplealsoapplicabletochemical
reactionsorevenincosmology.However,thistheoryispurelyphenomeno-
logical,basedontheaxiomaticlawsofthermodynamics.Thus,thequestion
arises,whetherthermodynamicscouldbederivedfromamorefundamental
theory.
Originally,classicalmechanicshasbeenconsideredassuchanunderlying
theory,whichledtothedevelopmentofstatisticalmechanics.Butsuchclassi-
calapproachesdidnotgetalongwithoutadditionalassumptionsas,e.g.,the
ergodichypothesis.
Inthe20thcenturyquantummechanics[4,44]wasdevelopedtodescribe
systemsatatomicandsubatomicscales.Itturnedoutthatclassicalbehavior
canbeobtainedfromquantummechanicsasaspeciallimitingcase,implying
thatquantumtheoryismorefundamentalthantheclassicaltheories.Con-
cerningthermodynamics,thisledtotwomainquestions:
•Isitpossibletoderivethermodynamicsdirectlyfromquantummechan-
ics,withoutanyfurtherassumptions?
•Aretheconceptsofthermodynamicsinsomesensealsoapplicablefor
quantumsystemsbeyondtheclassicallimit?
Theanswerstothesequestionsaresearchedwithintheratherneweld
ofquantumthermodynamics[15,17,41].Itturnsoutthat,indeed,thermal
propertiescanarisefromquantummechanics:Asystemtypicallyrelaxestoa
stationary,thermalstateduetothecouplingtoanappropriateenvironment.
Remarkably,thisevenholdsforverysmallquantumsystemsasforexample
asingletwo-levelsystem.
However,inquantumthermodynamicsthetotalsystem–consistingofsys-
temandenvironment–isconsideredtobeclosed.Inparticular,thereexists

1

2

1.Introduction

nointeractionwithanexternalobserver.Asweknow,quantummeasurements
leadtoadisturbanceofthemeasuredsystemaccordingtothemeasurement
postulate.Thus,thequestionarises,howanexternalobservationeectsthe
propertiesofaquantumthermodynamicalsystem.
Inthisthesis,weprovidesuchaconnectiontoanexternalobserverby
includingquantummeasurements(i.e.informationaspects)intothequan-
tumthermodynamicalmodel.Aswewillsee,variousconceptsknownfrom
statisticalmechanicsarisefromsucha“quantumthermodynamicsunderob-
servation”,althoughtheydonothaveanymeaningintheisolatedquantum
thermodynamicalsetting:
Instatisticalmechanics,thesystemsaresupposedtopasstroughatra-
jectoryinphasespace.Incontrasttoquantumthermodynamics,thermal
propertiesemergeonlybyaveragingoveranensembleofsuchsystemsoras
along-timeaverageoverasingletrajectory.Theabovementionedergodic
hypothesisthenstatesthatbothoftheseaveragesshouldbeequal.Inour
modelwewill,indeed,recoverquasi-classicaltrajectoriesandobservether-
malizationinthesenseofstatisticalmechanics.Furthermore,wewillprove
theergodicityofthesystem.
Anotherissueconcernstheinterpretationofentropyasameasureoflackof
knowledge.Aslongastheunderlyingtheoryisclassical,thislackofknowledge
canonlybesubjective,sincetheexactmicrostateatanypointintimeiswell
denedandtherefore–atleastinprinciple–canbeknown.Incontrast,the
vonNeumannentropyofasysteminquantumthermodynamicsisbasedona
fundamentallackofknowledgeduetotheentanglementwiththeenvironment.
Basedonthemeasurementlogic,wewillndapossibilitytoconnectthe
objectiveentropyofthesystemwiththesubjectivelackofknowledgeofthe
observercarryingoutthemeasurements.
Afurtherapparentcontradictionbetweenstatisticalmechanicsandquan-
tumthermodynamicsisrelatedtouctuationsofthermodynamicvariables.
Especially,therehavebeenlong-standingcontroversies[29,35]concerningthe
existenceandthemeaningoftemperatureuctuatio