Quantumness of states [Elektronische Ressource] : from positive P-representations to entanglement tests / von Jarosław Korbicz

Jaroslaw Korbicz

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• Publié par: gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 16
• Langue: English

Extrait

Quantumness of States:
From positive
P-representations
to
Entanglement Tests
Von der Fakult˜at fur˜ Mathematik und Physik
der Universit˜at Hannover
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Phys. Jarosˆlaw Korbicz
geboren am 07. October 1976 in KievReferent: Prof. Dr. M. Lewenstein
Korreferent: Prof. Dr. O. Lechtenfeld
Tag der Promotion: 16.06.2006To my wife AgnieszkaDo we not do better to recognize that what we call existence
consists of countably many iron posts of observation between
which we flll in by an elaborate papier-ma^ch¶e construction of
imagination and theory?
John Archibald WheelerAbstract
We address the general problem of characterization of states of a quantum system
that do not have classical analogs.
At flrst, we study the long standing problem of characterization of quantum-
ness of states of simple mechanical systems. Using the Galuber-Sudarshan P-
representation and the techniques of Fourier transform, we derive a novel family
of classicality criteria. For a very broad class of states, these criteria are related to
Hilbert’s 17th problem: a generic non-classical state can be detected by a polyno-
mial that is a sum of squares of other polynomials. This leads to a natural hierarchy
of states regarding their degree of quantumness. Our criteria have the physical
meaning of generalized squeezing conditions.
Next, using techniques of harmonic analysis on compact non-Abelian groups,
we develop a novel, group-theoretical approach to quantum entanglement of flnite
dimensional quantum systems. It leads to new reformulations of the separability
problem and the positivity of partial transpose (PPT) criterion. When applied to
flnite groups, our approach allows one to embed the separability problem in a given
dimension into a higher dimensional one, but with a high degree of symmetry. We
also show a natural connection between the very existence of entanglement and
group non-commutativity.
As a by-product, the application of this group-theoretical approach to mechani-
cal systems leads to a unifled mathematical language, encompassing both quantum
and classical statistics. Within this language, there emerges a novel description of
the quantum-to-classical transition at the level of statistics. It originates from the
structure of the irreducible representations of the Heisenberg-Weyl group. We also
brie y sketch the representation of observables and dynamics in our framework.
Then we study entanglement in multiqubit systems from a more practical point
of view. Using the method of entanglement witnesses, we show how to develop
novel entanglement tests, formulated as generalized spin squeezing inequalities. Our
inequalities provide both necessary and su–cient conditions for genuine 2- and 3-
qubit entanglement for symmetric states, and su–cient entanglement conditions for
general states. At the same time, the developed inequalities are relatively easily
accessible experimentally. Using them, we analyze 7- and 8-ion W-states, recently
generated in experiments of the Innsbruck group [H˜afiner et al. Nature 438, 643
(2005)] and conflrm the presence of 2- and 3-qubit entanglement. We also show how
to obtain simplifled criteria for probing genuine 3-qubit entanglement.Finally, we develop a system of real polynomial equations describing separable
states. We apply to this methods of classical statistical mechanics: we in-
troduce a canonical ensemble and study the partition function. This leads to an
original description of entanglement. For Werner states, our approach generates a
su–cient criterion for separability.
Keywords: Entanglement, Harmonic Analysis, Non-classical StatesZusammenfassung
WirbehandelndasProblemderCharakterisierungderjenigenZust˜andeeinesQuan-
tensystems, die keine klassische Entsprechung haben.
Zu Beginn studieren wir im Kontext einfacher mechanischer Systeme das Prob-
lem wie man bestimmen kann, in welchem Ma…e ein Zustand nichtklassisch ist.
Mithilfe der Glauber-Sudarshanschen P-Vorteilung und der Fouriertransformation
leiten wir eine neue Familie von Kriterien her, die charakterisieren wie klassisch
ein Zustand ist. Fur˜ eine sehr gro…e Klasse von Zust˜anden sind diese Kriterien mit
HilbertssiebzehntemProblemverwandt: dieQuanteneigenschaftensolcherZust˜ande
werden durch Polynome nachgewiesen, die jeweils Summe von Quadraten anderer
Polynome sind. Dieses fuhrt˜ zu einer naturlic˜ hen Hierarchie der Zust˜ande bezuglic˜ h
ihrer Quanteneigenschaften und Nichtklassizit˜at. Unsere Kriterien k˜onnen physika-
lisch als verallgemeinerte Squeezing-Bedingungen interpretiert werden.
Als zweites entwickeln wir eine neuen, gruppentheoretischen Ansatz zur Ver-
schr˜ankung in endlichdimensionalen Quantensystemen, welcher auf harmonischer
Analysis nichtkommutativer Gruppen beruht. Dies fuhrt˜ zu einer neuen Formulie-
rung des Separierbarkeitproblems sowie des Kriteriums der Positivit˜at der par-
tiellen Transposition. Auf endliche Gruppen angewendet, erlaubt unser Ansatz,
ein gegebenes Separierbarkeitproblems in ein h˜oher-dimensionales hochgradig sym-
metrischeseitproblem einzubetten. Wir zeigen darub˜ er hinaus eine
naturlic˜ he Verbindung zwischen Verschr˜ankung und der Nichtkommutativit˜at von
Gruppen auf.
AlsNebenproduktderAnwendungdiesesnichtkommutativenAnsatzesbeimech-
anischenSystemenergibtsicheinvereinheitlichtermathematischerFormalismus,der
sowohl die quantenmechanische als auch die klassische Statistik umfasst. Innerhalb
˜dieses Formalismus entsteht dann eine neue Darstellung der Ubergangs zwischen
klassischem und quantenmechanischem Regime im Bereich der Statistik. Sie basiert
aus der Struktur der irreduziblen Darstellungen der Heisenberg-Weyl Gruppe. Zu-
dem beschreiben wir kurz die Darstellung von Observablen sowie der Dynamik in
diesem Formalismus.
Dann studieren wir noch die Verschr˜ankung in Multiqubitsystemen aus einem
praktischeren Blickwinkel. Mit der Methode der Verschr˜ankungs- zeigen wir, wie
neue Verschr˜ankungskriterien entwickelt werden k˜onnen, die als verallgemeinerte
Spin-Squeezing Ungleichungen formuliert sind. Unsere Ungleichungen liefern sowohlnotwendige als auch hinreichende Bedingungen fur˜ echte Zwei- und Dreiqubitver-
schr˜ankung symmetrischer Zust˜ande, sowie hinreichende Verschr˜ankungsbedingun-
gen fur˜ allgemeine Zust˜ande. Experimentell sind diese Ungleichungen zudem relativ
einfach zug˜anglich. Wir benutzen sie dann, um die kurzlic˜ h in Innsbruck experi-
mentell erzeugten 7- und 8-Ionen Werner Zust˜ande [H˜afiner et al. Nature 438, 643
(2005)] zu analysieren. Dabei weisen wir Zwei- und Dreiqubitverschr˜ankung nach.
Ferner zeigen wir, wie vereinfachte Kriterien entwickelt werden k˜onnen, um echte
Dreiqubitverschr˜ankung nachzuweisen.
Als letztes entwickeln wir ein System reeller polynomieller Gleichungen, die
separierbare Zust˜ande beschreiben. Wir schlagen daraufhin vor, auf dieses System
Methoden der klassischen statistischen Mechanik anzuwenden, fuhren˜ ein kanonis-
ches Ensemble ein und studieren die Zustandssumme. Dies wiederum fuhrt˜ zu einer
neuen Beschreibung der Verschr˜ankung, die fur˜ Wernerzust˜ande ein hinreichendes
Kriterium der Separierbarkeit liefert.
Schlagw˜orter: Verschr˜ankung, Harmonische Analysis, Nichtklassische Zust˜andeContents
1 General introduction 1
1.1 Motivation and the levels of in uence . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 This work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Quantumness of states of a mechanical system 5
2.1 Deflnition of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Existence of the P-representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Coherent states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Proof of existence of the P-representation . . . . . . . . . . . 8
2.2.3 Some remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 General solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Connection to Hilbert’s 17th problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 States with smoothFP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14%
2.4.2 Hilbert’s 17th problem and polynomial witnesses . . . . . . . 17
2.4.3 Hierarchy of classical states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Group-theoretical approach to entanglement 23
3.1 Entanglement and the separability problem . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Deflnitions and historical remarks . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Some known facts about the separability problem . . . . . . . 25
3.1.3 The outline of our approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Non-commutative characteristic functions . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Application to the study of entanglement . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Analysis of the PPT criterion and pure states . . . . . . . . . . . . . 35ii CONTENTS
3.5 Analysis on flnite groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Formal resemblance to local hidden variables
models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Non-commutativity and entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 The outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .