Range-based parameter estimation in diffusion models [Elektronische Ressource] : statistical concepts and analytical foundations / von Hartmuth Henkel

Dipl.–Math. Hartmuth Henkel

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• Publié le: 01 janvier 2010
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Extrait

Range-based Parameter Estimation in Diffusion Models
Statistical Concepts and Analytical Foundations
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
Dr. rer. nat.
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Dipl.–Math. Hartmuth Henkel
geb. am 27.08.1981 in Mannheim
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Peter Frensch
Gutachter:
1. Prof. Dr. Markus Reiß
2. Prof. Dr. Dirk Becherer
3. Prof. Dr. Emmanuel Gobet
eingereicht am: 29. März 2010
Tag der mündlichen Prüfung: 24. September 2010Abstract
We study the behavior of the maximum, the minimum and the terminal value
of time–homogeneous one–dimensional diffusions on finite time intervals. To begin
with, we prove an existence result for the joint density by means of Malliavin calcu-
lus. Moreover, we derive expansions for the joint moments of the triplet (H,L,X) at
time Delta w.r.t. Delta. Here, X stands for the underlying diffusion whereas H and
L denote its running maximum and its running minimum, respectively. In a first
approach that entirely relies on elementary estimates, such as Doob’s inequality and
Cauchy–Schwarz’ inequality, we derive an expansion w.r.t. the square root of the
time parameter Delta including powers of 2. A more sophisticated ansatz uses par-
tial differential equation techniques to determine an expansion of the one–barrier
hitting time probability for pinned diffusions. For an of the transition
density of diffusions is known, one obtains an overall expansion of the joint proba-
bility of (H,X) w.r.t. Delta.
The developed distributional properties enable us to establish a theory for mar-
tingale estimating functions constructed from range–based data in a parameterized
diffusion model. A small–Delta–optimality approach, that uses the approximated
moments, yields a simplification of the relatively complicated estimating procedure
and we obtain asymptotic optimality results when the sampling frequency Delta
tendsto0. Whenitcomestoestimatingthedriftcoefficienttherange–basedmethod
is not superior to the method relying on equidistant observations of the underlying
diffusion alone. However, there is an enormous gain in efficiency at the estimation
for the diffusion coefficient. Incorporating the maximum and the minimum into the
analysis significantly lowers the asymptotic variance of the estimators for the pa-
rameter in this scenario.
Keywords: Range in diffusion models, Range–based parameter estimation, Mar-
tingale estimating functions, Small–Delta–Optimality
iiZusammenfassung
Wir studieren das Verhalten des Maximums, des Minimums und des Endwerts
zeithomogener eindimensionaler Diffusionen auf endlichen Zeitintervallen. Zuerst
beweisen wir mit Hilfe des Malliavin–Kalküls ein Existenzresultat für die gemein-
samen Dichten. Außerdem leiten wir Entwicklungen der gemeinsamen Momente
des Tripels (H,L,X) zur Zeit Delta bzgl. Delta her. Dabei steht X für die zu-
grundeliegende Diffusion, und H und L bezeichnen ihr fortlaufendes Maximum bzw.
Minimum. Ein erster Ansatz, der vollständig auf den elementaren Abschätzungen
der Doob’schen und der Cauchy–Schwarz’schen Ungleichung beruht, liefert eine En-
twicklung bis zur Ordnung 2 bzgl. der Wurzel der Zeitvariablen Delta. Ein komplex-
erer Ansatz benutzt Partielle–Differentialgleichungstechniken, um eine Entwicklung
der einseitigen Austrittswahrscheinlichkeit für gepinnte Diffusionen zu bestimmen.
Da eine Entwicklung der Übergangsdichten von Diffusionen bekannt ist, erhält man
eine vollständige Entwicklung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit von (H,X) bzgl.
Delta.
Die entwickelten Verteilungseigenschaften erlauben es uns eine Theorie für Mar-
tingalschätzfunktionen, die aus wertebereich–basierten Daten konstruiert werden, in
einem parameterisierten Diffusionsmodell herzuleiten. Ein small–Delta–
Optimalitätsansatz, der die approximierten Momente benutzt, liefert eine Verein-
fachungdervergleichsweisekompliziertenSchätzprozedurundwirerhaltenasympto-
tische Optimalitätsresultate für gegen 0 gehende Sampling–Frequenz. Beim
Schätzen des Drift–Koeffizienten ist der wertebereich–basierte Ansatz der Methode,
die auf Equidistanten Beobachtungen der Diffusion beruht, nicht überlegen. Der Ef-
fizienzgewinn im Fall des Schätzens des Diffusionskoeffizienten ist hingegen enorm.
Die Maxima und Minima in die Analyse miteinzubeziehen senkt die Varianz des
Schätzers für den Parameter in diesem Szenario erheblich.
Schlagworte: Wertebereich in Diffusionsmodellen, Wertebereich–basierte Pa-
rameterschätzung, Martingal Schätzfunktionen, Small–Delta–OptimalitätDetailed Abstract
We consider a process X, defined by the stochastic differential equation
dX =b(X ;θ)dt +σ(X ;θ)dB , X =x, t≥ 0.t t t t 0
Here B denotes the standard Brownian motion of and the coefficients μ : → and σ :
→ are supposed to be sufficiently smooth functions that are parameterized by a parameter+
θ∈ Θ⊂ . In the present thesis, we establish inference methods for the parameter θ that are
based on the observation of the triplet (H,L,X), where the processes H and L are formally
defined by
H = sup X , and L = inf X .t s t s
0≤s≤t0≤s≤t
As a very first step, for t> 0, we prove an existence result for the joint density of (H ,L ,X ),t t t
conditional on X = x, by means of Malliavian calculus. In addition, possibilities are pre-0
sented to calculate these densities - at least theoretically. These results put us into a position
to derive a generalized theory for so-called martingale estimating functions. Briefly speaking,
for a fixed sampling frequency Δ, these estimating functions are constructed from the ob-
servations (H ,L ,X ) on disjoint intervals (Δ(i− 1), Δi], i = 1,...,n. In this context,Δi Δi Δi
H = sup X and L = inf X . We prove consistency and asymptotics sΔi Δ(i−1)≤s≤Δi Δi Δ(i−1)≤s≤Δi
normality of the resulting estimators as the number of observations n tends to∞. Moreover, we
introduce optimality criteria and we scrutinize on which conditions the generalized martingale
estimating functions are optimal.
The existence result for the joint density and the results concerning martingale estimating func-
tions are highly theoretical because the joint densities or the joint distributions cannot be cal-
culated explicitly in general. This is the reason why we also focus on the search for alternative
inference methods. A canonical way to simplify the estimating procedure is to approximate the
aforementioned martingale estimating functions by their first or second orderximations. √
Therefore we try to find an expansion of the expression [g(H ,L ,X )] with respect to t.x t t t
3Here, g : → can be any sufficiently smooth function that does not grow too fast. A first
approach, that relies entirely on elementary estimates, yields an expansion including powers of
√ 2
2, that is the highest order appearing in this expansion is t = t. This result already suffices
to state a small-Δ-optimality property. Concretely, this property concerns approximately opti-
mal estimating functions, that are constructed from a fixed number n of observations, when the
sampling frequency Δ tends to 0. But, as a simulation shows, the resulting small-Δ-optimal
estimators do not perform very well for relatively large observation intervals. This is clearly due
to the error induced by the approximation. In order to determine more accurate estimators, a
higher order expansion of the quantity [g(H ,L ,X )] is required.x t t t
Apartialdifferentialequationapproachyieldsanoverallexpansionofthehittingtimeprobability
[τ ≤t|X =y]x h t
for a class of pinned diffusions, where τ = inf{t > 0|X ≥ h}. This result can be used toh t√
calculate an expansion of [g(H ,X )] with respect to t. To exemplify the improvementsx t t
involved, some of the higher order terms are calculated explicitly.
v
RERPRRRREERRDetaillierte Zusammenfassung
Wir betrachten einen Prozess X, der durch die Stochastische Differentialgleichung
dX =b(X ;θ)dt +σ(X ;θ)dB , X =x, t≥ 0,t t t t 0
definiert ist. Dabei bezeichnetB die gewöhnliche Brown’sche Bewegung auf und die Koeffizien-
ten μ : → , und σ : → sollen hinreichend glatte Funktionen sein, die durch θ∈ Θ⊂+
parametrisiert sind. In der vorliegenden Dissertation leiten wir Schätzmethoden für den Param-
eterθ her, die auf der Beobachtung des Vektors (H,L,X) beruhen, wobei die ProzesseH undL
formell durch die folgenden Ausdrücke definiert sind:
H = sup X , bzw. L = inf X .t s t s
0≤s≤t0≤s≤t
Als allerersten Schritt beweisen wir mit Hilfe des Malliavin-Kalküls ein Existenzresultat für die
gemeinsame Dichte von (H,L,X). Zusätzlich zeigen wir Wege auf, die Dichten - zumindest the-
oretisch - zu berechnen. Diese Resultate versetzen uns in die Lage, eine verallgemeinerte Theorie
für sogenannte Martingal Schätzfunktionen herzuleiten. Für eine feste Beobachtungsfrequenz Δ
beruhen diese Schätzfunktionen auf den Beobachtungen (H ,L ,X ), für disjunkte IntervalleΔi Δi Δi
(Δ(i− 1), Δi], i = 1,...,n. In diesem Zusammenhang bedeuten H = sup X undΔi sΔ(i−1)≤s≤Δi
L = inf X . Wir beweisen die Kons