Rappels de physique statistique

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Formation Interuniversitaire de Physique Introduction `a l’astrophysique
Option de L3 Steven Balbus
Ecole Normale Sup´erieure de Paris Fran¸cois Levrier
` ´Cinquieme TD - Corrige
22 octobre 2010
I - Rappels de physique statistique
1. En physique statistique des gaz de fermions, le nombre d’occupation moyen d’un ´etat
individuel|λ est donn´e par la statistique de Fermi-Dirac
1
N =λ β(ε −μ)λe +1
Dans cette expression, on pose β = 1/(k T), ε est l’´energie de l’´etat|λ et μ le potentielB λ
chimique.Onnoteε l’´energieduniveaufondamentald’uneparticule.Onvoitquelenombre0
d’occupation moyen est au plus ´egal a` un, et N d´ecroˆıt lorsque l’´energie ε augmente. Laλ λ
courberepr´esentantce nombreenfonctionde l’´energieestsym´etriqueparrapport`aε =μ:λ
1
n (x) = ⇒ n (μ+δ) = 1−n (μ−δ)FD FD FDβ(x−μ)e +1
Elle tend vers 1 aux faibles ´energies ε → −∞ et vers 0 aux hautes ´energies ε → +∞.λ λ
′D’autre part, comme n (μ) = −β/4, la temp´erature fixe la rapidit´e de transition d’uneFD
`asymptote a` l’autre, qui est d’autant plus grande que T est faible et β grand. A la limite
T = 0, la courbe tend vers une fonction de type Heaviside
T T T = 02 1
T3
ε /μλ
Fig. 1.1 – Distribution de Fermi-Dirac pour trois temp´eratures T < T < T , ainsi qu’`a1 2 3
temp´erature nulle.
T → 0 =⇒ n (x)→θ(μ−x)FD
N
λ Onpeutmontrerqu’`ahautestemp´eratures,onretrouveladistributiondeMaxwell-Boltzmann:
−β(x−μ)n (x)−→eFD
Danscecas,leseffetsquantiquesdelanaturedesparticules(principed’exclusiondePauliici)
n’interviennent ...

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Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 EcoleNormaleSup´erieuredeParis
Introductiona`lastrophysique Steven Balbus Franc¸oisLevrier
Cinqui`emeTDCorrig´e 22 octobre 2010
I  Rappels de physique statistique
1.tnmioenoyundta´eyhisEpnuedestiqtatiquesl,snoimrefedzagsatupccoedbromen individuel|λiseacirsiituqdeFereimDtdonn´eparlastat 1 Nλ= β(ελµ) e+ 1 Dans cette expression, on poseβ= 1/(kBT),ελ´neseltte´taigrelede|λietµle potentiel chimique. On noteε0voOne.ulicrtpaneudlatnemadnofuaiedunivel´energemorblenetiuq doccupationmoyenestauplus´egal`aun,etNλ´elqursegierende´tıolrcˆoελaugmente. La courberepr´esentantcenombreenfonctiondele´nergieestsym´etriqueparrapport`aελ=µ: 1 nFD(x) =nFD(µ+δ) = 1nFD(µδ) β(xµ) e+ 1 Elletendvers1auxfaiblese´nergiesελ→ −∞grenseituahe´severs0auxetελ+. D’autre part, commen(µ) =β/sntitearuenoidnlaraexet´edpidimetal,4rutare´p FD ` asymptotea`lautre,quiestdautantplusgrandequeTest faible etβgrand. A la limite T= 0, la courbe tend vers une fonction de type Heaviside
T2 T3
T1
T= 0
ελ
Fig.turestemp´erauotrorsiiiDarpcdeonrmFeristtibu.1iD1T1< T2< T3nsiqu`a,ai tempe´raturenulle.
T0
=
nFD(x)θ(µx)
Onpeutmontrerqu`ahautestempe´ratures,onretrouveladistributiondeMaxwellBoltzmann:
β(xµ) nFD(x)−→e
Dans ce cas, les effets quantiques de la nature des particules (principe d’exclusion de Pauli ici) ninterviennentpas.Lesyst`emesecomportecommeungazparfaitclassique,nonde´ge´n´ere´. 2.Soit une particule de spinsemboˆısunevolutedeefnee´mrnadeV=LxLyLz. La re´solutiondel´equationdeSchro¨dinger
2 ∂ψ~ i~=Δψ, ∂t2m portant sur la fonction d’onde spatialeψ(r, tts´ipeulececeleruqomtnlu,etrcide)palaerirce sur la base des ondes planes de la forme   iεt ψ(r, t) =Aexp (ik.r) expavecεl´energieedalaptrcilu.e ~
Dans cette aux limites prenant les
´equation,levecteurdondekreliest´e surlesparoisdelaboıˆtespe´cientles conditionsauxlimitespe´riodiques,
kxLx= 2πnx
kyLy= 2πny
kzLz= 2πnz
`alimpulsionpar valeurs possibles
p=~k. Les conditions de ce vecteur. En effet,
avecnx, ny, nztrois entiers relatifs.
Levecteurdondeprendalorsdesvaleursdiscr`etessurunre´seauparalle´pipe´dique   nxnynz k= 2πux+uy+uz. LxLyLx
Lesniveauxe´nerge´tiquessont´egalementdiscrets,maisl´ecartentredeuxniveauxpourune 1 boıˆtemacroscopiqueestextreˆmementfaible,cequifaitquonaenpratiqueaaire`aun continuumdeniveaux.Ilestalorspermisdeparlerdedensit´ede´tatsfr(εne´d,)nttanoenie fr(ε)dεtetade´morblneues(opiqroscsmicesnertenod)´lttapsxuaicostrimpereneegiεet ε+ dεe´delefCa.al´dreviietn´teide´`eateatttsesdenisdctonnioWr(εbmonerangieltn)esd´ d´etatsmicroscopiques(spatiaux)dontl´energieestinfe´rieureoue´galea`ε, qu’on peut cal culerdefa¸conge´ome´trique,danslespacedesk. On obtient en effetWr(ε) en comptant le nombredepointsdur´eseaucompatiblesaveclacontraintequele´nergieestinf´erieureou ´egalea`εeltrenctredienlieigrene´rOliaynu.εet le nombre d’ondek=||k||tne´atilne,ec die´rentsuivantquonestdanslecasclassiqueoulecasrelativiste. Danslesdeuxcas,le´nergieaugmenteaveclenombredonde,donclespointsdur´eseau compatiblesaveclacontraintesurle´nergiesontceuxinte´rieurs`aunesph`erederayonk0, luimˆemefonctiondeε.P,tcoare´snneuqWr(ε) est le rapport du volume de la boule de rayon k0tiointdur´eseau,soatriaetuuodrupnueiqbrneeneml´´evuaudemulo
Wr(ε) =
4 3 πk3 V k 0 3 0 = 3 2 (2π) 6π LxLyLz
1 LeDGLR(chapitreI,note18)donnelexempledun´electrondansuneboıˆtecubiquedecˆot´e1cm,pour 6 lequelcet´ecartestinf´erieur`a10eVmeˆmea`tre`shautestempe´ratures.
Cesticiquelesdeuxcalculsdi`erent,puisquek0(ε) change.
Cas classique On a dans ce cas
2 2 2 p~k ε= =k0= 2m2m
2~
et donc
V Wr(ε) = 2 6π
!3 22 3/2 3/2 =εV m 2 3 ~3π~
Ladensite´de´tatsestalors dWr1 3/2 1/2 fr(ε) = =V m ε . 2 3 dε2π~ En tenant compte du spins, on aW(ε) = (2s+ 1)Wr(ε) etf(ε) = (2s+ 1)fr(ε) soit
W(ε) =
2(2s+ 1) 3/2 3/2 V m ε 2 3 3π~
et
f(ε) =
2s+ 1 3/2 1/2 V m ε 2 3 2π~
Cas relativiste On a dans ce cas 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 ε=p c+m c=~c k+m ck0=εm c ~c et donc   3 V1V 2 2 4 3/2 2 2 4 Wr(ε) =εm c= (εm c) 2 2 3 3 6π~c6π~c Ladensit´ed´etatsestalors dWrV2 2 4 1/2 fr(ε= () = εm c)ε . 2 3 3 dε2π~c En tenant compte du spins, on aW(ε) = (2s+ 1)Wr(ε) etf(ε) = (2s+ 1)fr(ε) soit
(2s+ 1)V(2s+ 1)V 2 2 4 3/2 4 12 2 /2 W(ε) = (εm c) etf(ε) = (εm c)ε 2 3 3 2 3 3 6π~c2π~c 3.Le nombre totalNednsmorblasamoemdepaesde´neibtseselucitrl`ga´entmeemidev particulesdanschaquee´tatindividuel|λi X N=Nλ |λi
2 Pourunsyst`emesusammentgrand(Cf.DGLRchapitreVI),lesuctuationssontn´egligeables etonpeutassimilerlesgrandeursa`leursmoyennes,desortequilestl´egitimed´ecrire X X 1 N=Nλ= β(ελµ) e+ 1 |λi |λi
2 Pourˆetrepre´cis,onutilisel´equivalencedesdescriptionsdanslalimitethermodynamiqueetontravaille enfaitengrandcanonique,ou`lepotentielchimiqueestx´eetlenombredeparticulespeutvarier.