Regularity results for minimizers of integrals with (2,q)-growth in the Heisenberg group [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Anna Föglein

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Regularity results for minimizersof integrals with.2; q/-growth in the Heisenberg groupDer Naturwissenschaftlichen Fakultat¨der Friedrich-Alexander-Universitat¨ Erlangen-Nurnber¨ gzurErlangung des Doktorgradesvorgelegt vonAnna Foglein¨aus BudapestAls Dissertation genehmigt von derNaturwissenschaftlichen Fakultat¨ der Universitat¨ Erlangen-Nurnber¨ gTag der mundlichen¨ Prufung:¨ 18. Februar 2009Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. Eberhard Bansch¨Erstberichterstatter: Prof. Dr. Frank DuzaarZweitberichterstatter: Prof. Dr. Andreas GastelZusammenfassungIn der vorliegenden Arbeit beschaftigen¨ wir uns mit einer Fragestellung aus der Regularitats-¨theorie fur¨ Minimierer von anisotrop wachsenden autonomen Integralfunktionalen. Die zulas-¨sigen Funktionen sind dabei auf der Heisenberg-Gruppe definiert.n 2nC1Fur¨ n2 N bezeichne H ’ R die n-dimensionale Heisenberg-Gruppe; weiter sei XD.X ;:::; X / der horizontale Gradient, und TD@ die vertikale Ableitung. Wir betrachten1 2n 2nC1Funktionale der Form ZF.u; / D f.Xu/ dx;definiert auf den schwach horizontal differenzierbaren Funktionen u : ! R auf einemn 2 2nbeschrankten¨ Gebiet H . Der C -Integrand f : R ! R erfulle¨ dabei fur¨ ein Paarvon Vorfaktoren 0< 1 L und einen Exponenten q > 2 die.2; q/-Wachstumsbedingungq2 2 2 2njzj f.z/ L 1Cjzj 8 z2Rund die entsprechende Konvexitatsbedingung¨q2 2 2 2 2n2jj D f.

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• Publié le: 01 janvier 2009
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• Langue: Deutsch

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Regularity results for minimizers
of integrals with.2; q/-growth in the Heisenberg group
Der Naturwissenschaftlichen Fakultat¨
der Friedrich-Alexander-Universitat¨ Erlangen-Nurnber¨ g
zur
Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Anna Foglein¨
aus BudapestAls Dissertation genehmigt von der
Naturwissenschaftlichen Fakultat¨ der Universitat¨ Erlangen-Nurnber¨ g
Tag der mundlichen¨ Prufung:¨ 18. Februar 2009
Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. Eberhard Bansch¨
Erstberichterstatter: Prof. Dr. Frank Duzaar
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. Andreas GastelIn der vorliegenden Arbeit beschaftigen¨ wir uns mit einer Fragestellung aus der Regularitats-¨
theorie fur¨ Minimierer von anisotrop wachsenden autonomen Integralfunktionalen. Die zulas-¨
sigen Funktionen sind dabei auf der Heisenberg-Gruppe definiert.
n 2nC1Fur¨ n2 N bezeichne H ’ R die n-dimensionale Heisenberg-Gruppe; weiter sei XD
.X ;:::; X / der horizontale Gradient, und TD@ die vertikale Ableitung. Wir betrachten1 2n 2nC1
Funktionale der Form Z
F.u; / D f.Xu/ dx;

definiert auf den schwach horizontal differenzierbaren Funktionen u : ! R auf einem
n 2 2nbeschrankten¨ Gebiet H . Der C -Integrand f : R ! R erfulle¨ dabei fur¨ ein Paar
von Vorfaktoren 0< 1 L und einen Exponenten q > 2 die.2; q/-Wachstumsbedingung
q
2 2 2 2n
jzj f.z/ L 1Cjzj 8 z2R
und die entsprechende Konvexitatsbedingung¨
q
2 2 2 2 2n2
jj D f.z/ L 1Cjzj jj 8 z;2R :
Das Hauptresultat dieser Arbeit ist folgender Regularitatssatz¨ fur¨ Minimierer vonF:
1;2Satz Sei u2 H W . / lokaler Minimierer vonF unter obigen Bedingungen, und der obere
Wachstumsexponent q erfulle¨
n o2nC 1 8
2< q < min 2C ; 2C :
.2n 1/.nC 1/ 9
Dann ist die volle Ableitung Du des Minimierers lokal Holder¨ -stetig. Dabei sind die horizontale
Ableitung Xu und die vertikale Ableitung T u lokal beschrankt,¨ und konnen¨ durch F.u/ und
kuk 2 abgeschatzt¨ werden. Zusatzlic¨ h ist Du schwach horizontal differenzierbar mit AbleitungL
2lokal in L , und ist analog abzuschatzen.¨
Fur¨ Minimierer von Funktionalen mit Standard-p-Wachstum in der Heisenberg-Gruppe mit
Wachstumsexponent 2 p < 4 wurde die Holderstetigk¨ eit der vollen Ableitung durch Min-
ngione, Zatorska und Zhong [52] gezeigt. Aus der Analysis auf dem EuklidischenR ist bekannt,
dass die Regularitat¨ von Minimierern von Funktionalen mit.p; q/-Wachstum dann gesichert ist,
wenn der Abstand zwischen p und q unter bestimmten Schranken bleibt (siehe z.B. [17]). Der
hier gezeigte Satz kombiniert diese beiden Situationen, und gibt eine Schranke an den oberen
iii
Zusammenfassungiv
Wachstumsexponenten q an, welche sicherstellt, dass Minimierer vonF Holder¨ -stetige volle
Ableitung besitzen.
Fur¨ den Beweis des Satzes werden Techniken aus der Regularitatstheorie¨ auf der Heisenberg-
Gruppe mit solchen aus der Analyse anisotroper Funktionale kombiniert: Wir approximieren
¨zunachst das eigentliche Funktional F durch regularisierte Funktionale mit Standardwachs-
tum, um schon bekannte Integrabilitats-¨ und Regularitatsresultate¨ fur¨ deren Minimierer ein-
setzen zu konnen.¨ In einer Folge von Interpolationsargumenten und abwechselndem Betra-
chten der vertikalen und horizontalen Ableitungsrichtungen werden dann schrittweise Regu-
laritatseigenschaften¨ der approximierenden Minimierer nur unter Verwendung der ursprung-¨
lichen.2; q/-Wachstumsbedingungen gewonnen, wobei fur¨ einige dieser Schritte Bedingungen
an q notwendig werden. Zuletzt wird der Minimierer vonF durch eine Folge von regularisierten
Minimierern approximiert, wobei die fur¨ letztere gezeigten Regularitatseigenschaften¨ erhalten
bleiben.
Ein Nebenresultat der Arbeit ist die lokale Beschranktheit¨ des Minimierers unter wesentlich
schwacheren¨ Bedingungen an das FunktionalF; diese wird unabhangig¨ von den Regularisierun-
gen fur¨ die Verwendung im Approximationsschritt gezeigt.
Satz Es sei 1< p< q, und der konvexe Integrand f sei erfulle¨ die.p; q/-Wachstumsbedingung
p q
2 2 2n2 2
1Cjzj f.z/ L 1Cjzj 8 z2R :
Dann gibt es eine Schranke p .n/> p, so dass gilt: Ist q < p , dann sind Minimierer vonF
lokal beschrankt.¨In the present thesis we are concerned with the regularity theory for minimizers of autonomous
integral functionals with anisotropic growth, where the admissible functions are defined on the
Heisenberg group.
n 2nC1For given n2 N, we denote by H ’ R the n-dimensional Heisenberg group, by XD
.X ;:::; X / the horizontal gradient, and by T D @ the vertical derivative. We consider1 2n 2nC1
functionals of the form Z
F.u; / D f.Xu/ dx

acting on horizontally weakly differentiable functions u : ! R on a bounded open domain
n 2 2n
H . The C -integrand f :R !R is assumed to satisfy the.2; q/-growth condition
q
2 2 2n2
jzj f.z/ L 1Cjzj 8 z2R
and the matching convexity condition
q
2 2 2 2 2n2
jj D f.z/ L 1Cjzj jj 8 z;2R :
for some exponent q > 2 and parameters 0< 1 L.
The main result of this thesis is the following regularity theorem for minimizers ofF:
1;2Theorem Let u2 H W . / be a local minimizer of the functional F fullfilling the above
growth and convexity conditions, and suppose that the upper growth exponent q satisfies
n o
2nC 1 8
2< q < min 2C ; 2C :
.2n 1/.nC 1/ 9
Then the full gradient Du is locally Holder¨ continuous on, and the horizontal gradient Xu
and the vertical derivative T u are bounded and can be estimated in terms ofF.u/ andkuk 2.L
2Moreover, Du is horizontally weakly differentiable with derivative in L and can be estimated
analogously.
For minimizers of functionals with standard p-growth in the Heisenberg group, Mingione,
Zatorska and Zhong [52] proved that the full gradient is Holder¨ continuous, provided that
n2 p< 4. In the setting of EulclideanR it is known that the regularity of minimizers of func-
tionals with.p; q/-growth hinges on the smallness of the gap between p and q (see e.g. [17]).
The above theorem combines these two situations, and gives a bound on q which ensures that
minimizers ofF possess Holder¨ continuous full derivative.
v
Abstractvi
The proof of the theorem merges techniques from regularity theory in the Heisenberg group
setting with those typical for the analysis of anisotropic functionals: We start by approximating
the original functional by regularized standard-growth versions in order to employ the already
known regularity theory for their minimizers in a qualitative way. For these more regular func-
tionals, we recover the properties that are preserved if one only assumes the initial.2; q/-growth
conditions. This is done in a series of interpolation arguments that improve the regularity of the
vertical derivative and the horizontal gradient in turn; some of these steps require the introduc-
tion of bounds on q. Finally, the original minimizer is approximated by regularized minimizers
in a way that preserves their regularity that we have proved for the latter when passing to the
limit.
A side result of the present thesis is the local boundedness of the minimizer under considerably
weaker conditions on the functionalF than those needed for the main theorem. This bounded-
ness is used in the approximation procedure, and we prove it independently of the regulariza-
tions.
Theorem Let 1 < p < q, and let the integrand f be convex and satisfy the .p; q/-growth
condition
p q
2 2 2 2 2n
1Cjzj f.z/ L 1Cjzj 8 z2R :
There exists a bound p .n/ > p such that there holds: If q < p , then minimizers ofF are
locally bounded.1.1. Statement of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Organization of the thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Properties of the Heisenberg groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Horizontal Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Regularity results for q-growth equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Technical and Iteration Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1. Definition of the regularized functionalsF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

24.2. A -independent local L estimate for T u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3. Testing the equation with derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4. Basic higher integrability of the gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5. Local boundedness of the vertical derivative T u . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6. Local of the horizontal gradient Xu . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1. Mollification in the Heisenberg group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2. Approximation procedure (Proof of Lemma 5.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.1. Construction of a regularized integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2. Application of results concerning q-growth problems . . . . . . . . . . . . . . 90
A.1. Supplementary calculations for Lemma 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
A.2. Supplementary Calculations for Co