Regularity results for weak and very weak solutions of higher order parabolic systems [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Verena Bögelein

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• Publié le: 01 janvier 2007
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• Langue: Deutsch
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Extrait

Regularity results for weak and very
weak solutions of higher order
parabolic systems
Den Naturwissenschaftlichen Fakultaten¨
der Friedrich Alexander Universit at¨ Erlangen Nurnber¨ g
zur
Erlangung des Doktorgrades
vorgelegt von
Verena Bogelein¨
aus Nurnber¨ gAls Dissertation genehmigt
¨von den Naturwissenschaftlichen Fakultaten
der Universitat¨ Erlangen Nurnber¨ g
Tag der mundlichen¨ Prufung:¨ 09.02.2007
Vorsitzender der
Promotionskommission: Prof. Dr. E. Bansch¨
Erstberichterstatter: Prof. Dr. F. Duzaar
Zweitberichterstatter: Prof. Dr. W. Borchers
Drittberichterstatter: Prof. Dr. J. Manfredi (Pittsburgh, PA)i
Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit beschaftigen¨ wir uns mit Fragestellungen der Regularitats ¨
theorie fur¨ Systeme parabolischer partieller Differentialgleichungen hoherer¨ Ordnung.
n+1Seien n,N,m ∈ N und Ω ≡ Ω×(−T,0) ⊂ R ein beschranktes¨ Gebiet. WirT
p m,p Nbetrachten schwache Losungen¨ u∈L (−T,0;W (Ω;R )),p≥1 des parabolischen
Systems der Ordnung2m
Z Zm−1X¡ ¢
m m k m ku·∂ ϕ−A(z,δu,D u)·D ϕ dz = B (z,δu,D u)·D ϕdz, (0.1)t
Ω ΩT Tk=0
∞ N n+1fur¨ alleϕ∈C (Ω ;R ). Dabei benutzen wir die Abkurzungen¨ z =(x,t)∈R undT0
m−1δu=(u,Du,...,D u) fur¨ die Ableitungen niederer Ordnung vonu. Die naturliche¨
Metrik in diesem Kontext ist die parabolische Metrik
p¡ ¢
2m n2mdist (x,t),(y,s) ≡ |x−y| +|t−s| x,y∈R ; t,s∈R.p
kZiel ist es, unter bestimmten Voraussetzungen an A und B bessere Differenzierbar
keits bzw. Integrierbarkeitseigenschaften schwacher Losungen¨ u zu zeigen.
Teil I: Partielle Regularitat¨
Wir betrachten parabolische Systeme hoherer¨ Ordnung des Typs (0.1), wobei die Koef
fizientenA den folgenden Bedingungen genugen:¨
2∂ A(z,ξ,q)qe·qe≥L |qe| ,q 0
(0.2)
|A(z,ξ,q)|≤L (1+|q|),1
fur¨ allez,ξ,q,q˜, wobei0<L ≤1 undL ≥1. Zudem wird∂ A als - nicht notwendi 0 1 q
¨ ¨gerweise gleichmaßig - beschrankt vorausgesetzt: ZuM >0 gibt esκ , so dassM
|∂ A(z,ξ,q)|≤L κ , (0.3)q 1 M
fur¨ allez,ξ,q mit|ξ|+|q|≤M. Wir zeigen das folgende partielle Regularitatsresultat:¨
2 m,2 NSatz 0.1. Sei u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) eine schwache Losung von System (0.1)¨
kmit B ≡ 0 unter den Bedingungen (0.2) und (0.3) und sei zusatzlic¨ h die Abbildung
A(z,ξ,q)(z,ξ) 7→ (nicht notwendigerweise gleichmaßig)¨ Holder¨ stetig mit Holder¨ expo 1+|q|
n+1nent β ∈ (0,1). Dann gibt es eine abgeschlossene Menge Σ ⊂ Ω mitL (Σ) = 0,T
mso dass D u auf Ω \ Σ lokal Holder¨ stetig ist bzgl. der parabolischen Metrik mitT
Holder¨ exponentβ.
2 m,2 NDie selbe Aussage gilt fur¨ schwache Losung¨ en u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) ∩
∞ 2 N kL (−T,0;L (Ω;R )) des inhomogenen Systems, wenn die Inhomogenitat¨ B einer
kontrollierten Wachstumsbedingung“ genugt.¨
”ii
Im Falle homogener Systeme zweiter Ordnung (d.h. m = 1) wurde diese Aussage
von F. Duzaar und G. Mingione in [29] mit der Methode der A calorischen approx
imation bewiesen. In der folgenden Arbeit zeigen wir dieses Regularitatsresultat¨ fur¨
inhomogene Systeme hoherer¨ Ordnung.
¨Die Grundidee des Beweises besteht darin, das sogenannte Lemma uber A-
polycalorische Approximation auszunutzen, um gute Abschatzungen¨ fur¨ Losungen¨
linearer Systeme in einem gewissen Sinne auf Losungen¨ des betrachteten nichtlin
earen Systems zu ubertragen.¨ Diese Technik liefert eine sogenannte excess decay Ab
mschatzung,¨ d.h. eine Abschatzung¨ fur¨ die mittlere Oszillation von D u, unter einer
mgewissen Kleinheitsbedingung an u und D u. Daraus folgern wir mit Hilfe der
Integralcharakterisierung Holderstetiger¨ Funktionen von Campanato die gewunschte¨
m n+1Holderstetigk¨ eit vonD u auf einer Menge von vollemL - Maß.
Teil II: Hoher¨ e Integrierbarkeit sehr schwacher Losungen¨
Wir betrachten degenerierte (p ≥ 2), bzw. singulare¨ (p < 2) parabolische Systeme
hoherer¨ Ordnung der Form (0.1) vom Typ des parabolischen p Laplace, d.h. mit den
folgenden Elliptizitats ¨ und Wachstumsbedingungen:
pA(z,q)·q≥L |q| −b ,0 0
p−1|A(z,q)|≤L |q| +b , (0.4)1 1
k p−1|B (z,q)|≤L |q| +b ,2 2
¡12n pfur¨ alle z,q, wobei p > max{1, }, 0 < L ≤ 1, L ,L ≥ 1 und|b | + |b |+0 1 2 0 1n+2m¢ 1
p−1 qˆ|b | ∈ L fur¨ einqˆ> p. Der naturliche¨ “ Funktionenraum fur¨ schwache Losungen¨2 ”p m,p N 2 Nist L (−T,0;W (Ω;R ))∩L (Ω ;R ). Es stellt sich die Frage, ob diese Bedin T
gung abgeschwacht¨ werden kann: Sind sogenannte sehr schwache Losungen¨ bereits
schwache Losungen?¨
In der folgenden Arbeit zeigen wir, dass diese Frage bejaht werden kann, wenn die
sehr schwache Losung¨ nicht zu schlecht“ ist, d.h. wir zeigen:
”
2nSatz 0.2. Sei p > . Dann gibt es β > 0 so dass jede sehr schwache Losung¨n+2
p−β m,p−β N 2 m−1,2 Nu ∈ L (−T,0;W (Ω;R ))∩L (−T,0;W (Ω;R )) von (0.1) unter den
Voraussetzungen (0.4) bereits eine schwache Losung¨ ist, die sogar zum Exponenp+β
p+β m,p+β Nintegrierbar ist, d.h. es giltu∈L (−T,0;W (Ω;R )).
Genau genommen beinhaltet obiger Satz zwei Aussagen. Zum einen stellt er sicher,
m p−βdass sehr schwache Losungen¨ bereits schwache Losungen¨ sind, d.h. D u ∈ L ⇒
m pD u ∈ L und außerdem zeigt er, dass schwache Losungen¨ hoher¨ integrierbar sind,iii
m p m p+βd.h. D u∈ L ⇒ D u∈ L . Fur¨ Systeme zweiter Ordnung (d.h. m = 1) wurden
diese Aussagen von J. Kinnunen und J. L. Lewis in [48] und [49] bewiesen.
Die Schwierigkeiten beim Beweis eines derartigen Satzes liegen einerseits in der
¨ ¨schlechten Regularitat (sehr) schwacher Losungen bzgl. der Zeitvariable t. Zudem
verhalt¨ sich das System im Fall p = 2 anisotrop, d.h. es skaliert unterschiedlich
bzgl. der Ortsrichtung x und Zeitrichtung t. Deshalb beweisen wir die benotigten¨
Abschatzungen¨ auf einem System parabolischer Zylinder, deren Seitenlangen¨ und
Skalierung von der Losung¨ selbst abhangt.¨ Da im Falle sehr schwacher Losungen¨ u
selbst keine zulassige¨ Testfuntkion ist, konstruieren wir eine Art gemittelte Whitney
”
Fortsetzung“: Wir konstruieren eine Testfunktionw, die aus den Mittelwertspolynomen
auf Whitney Zylindern, multipliziert mit einer Zerlegung der Eins, besteht.
Teil III: Verbesserte Abschatzungen¨ fur¨ die Hausdorff Dimension
der singular¨ en Menge
Ziel dieses Teils der Arbeit ist es, unter etwas stark¨ eren Voraussetzungen an die Koef
fizienten A und B, das in Teil I erzielte Resultat, zu verbessern. Im Allgemeinen ist
¨Regularitat auf der vollen Menge Ω zwar nicht zu erwarten. Es kann jedoch geziegtT
werden, dass die singulare¨ in einem gewissen Sinne klein ist, d.h. eine kleine
Hausdorff Dimension besitzt.
Wir betrachten Systeme des Typs (0.1) unter den folgenden Bedingungen:
2∂ A(z,ξ,q)qe·qe≥L |pe| ,q 0
|∂ A(z,ξ,q)|≤L , (0.5)q 1
k|B (z,ξ,q)|≤L (1+|q|),2
¨fur alle z,ξ,q,qe, wobei 0 < L ≤ 1 and L ,L ≥ 1 und zeigen folgende verbesserte0 1 2
Abschatzungen¨ fur¨ die Hausdorff Dimension der singularen¨ Menge:
2 m,2 NSatz 0.3. Seiu∈ L (−T,0;W (Ω;R )) eine schwache Losung¨ von (0.1) unter den
Voraussetzzungen (0.5) und sei Σ die singular¨ e Menge von u. Dann gibt es δ > 0,
so dass die Hausdorff Dimension bzgl. der parabolischen Metrik vonΣ abgeschatzt¨
werden kann durch: dim (Σ)≤n+2m−δ.P
Im Falle homogener Systeme, bei denen A nicht von ξ abhangt,¨ gilt die bessere Ab
schatzung:¨ dim (Σ)≤n+2m−2β−δ.P
Fur¨ homogene Systeme zweiter Ordnung (d.h. m = 1) wurde das entsprechende Re
m−1sultat von F. Duzaar and G. Mingione in [29] gezeigt. FallsD u bereits Holderstetig¨
ist, gilt folgender
6iv
2 m,2 NSatz 0.4. Sei u ∈ L (−T,0;W (Ω;R )) schwache Losung¨ von (0.1) unter den Vo
m−1raussetzzungen (0.5) und seiD u Holder¨ stetig zu einem beliebigen Holder¨ exponen
ten λ > 0. Weiter bezeichne Σ die singular¨ e Menge von u. Dann gilt: dim (Σ) ≤P
n+2m−2β.
m−1Die Zusatzannahme bzgl. der Holderstetigk¨ eit von D u ist z.B. im Fall n = 2,
m = 1 erfullt¨ (siehe [12]). Im elliptischen Kontext wurde das analoge Resultat fur¨
Systeme zweiter Ordnung von G. Mingione in [65] und [64] gezeigt.
mIm Grunde beruht der Beweis von Satz 0.3 und 0.4 darauf, zu zeigen dass D u in
einem gewissen Sinne nichtganzzahlig differenzierbar ist. Dafur¨ benotigen¨ wir zunachst¨
kgeeignete Abschatzungen¨ fur¨ endliche Differenzen von D u, 0 ≤ k ≤ m− 1, d.h.
k kfur¨ D u(x,t+h)−D u(x,t). Um auch inhomogene Systeme behandeln zu konnen,¨
kzeigen wir verbesserte Abschatzungen¨ fur¨ die zweiten Differenzen von D u, d.h. fur¨
k k kD u(x,t+h)−2D u(x,t)+D u(x,t−h). Dies nutzen wir anschließend, um geeignete
mAbschatzungen¨ fur¨ endliche Differenzen vonD u zu erhalten. Unter der Zusatzvoraus
m−1setzung von Satz 0.4, dass D u Holderstetig¨ ist, kann diese Abschatzung¨ mit Hilfe
einer endlichen Iteration und einer parabolischen Version eines Interpolationssatzes von
Campanato noch verbesert werden. In beiden Fallen¨ folgt die gewun