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Remarque sur la quadrature de la surface du cône oblique - article ; n°4 ; vol.20, pg 317-332

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Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1967 - Volume 20 - Numéro 4 - Pages 317-332
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Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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Publié le 01 janvier 1967
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Langue Français
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Kokiti Hara.
Remarque sur la quadrature de la surface du cône oblique
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1967, Tome 20 n°4. pp. 317-332.
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Hara. Kokiti. Remarque sur la quadrature de la surface du cône oblique. In: Revue d'histoire des sciences et de leurs
applications. 1967, Tome 20 n°4. pp. 317-332.
doi : 10.3406/rhs.1967.2539
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1967_num_20_4_2539sur la quadrature Remarque
de la surface du cône oblique
§ 1. — Le tome IX de la Correspondance du P. Marin Mersenne
nous retrace, dans un de ses riches Éclaircissements, un historique
des recherches pour la quadrature de la surface du cône oblique à
base circulaire, poursuivies par plusieurs géomètres au cours de la
première moitié du xvne siècle (1). Après y avoir rapporté des
informations qui semblent prouver la réussite de deux géomètres
à ce sujet, l'Éclaircissement dont il s'agit se termine toutefois par
cette remarque négative : « On sait que l'évaluation de la superficie
en question devait présenter à cette époque des difficultés insur
montables. » Comment faut-il alors interpréter ces informations
rapportées relativement à Fermat et à Roberval ? Faut-il en
révoquer en doute le bien-fondé ? Même si l'on n'adopte pas cette
position, cette question propose un problème d'histoire qui semble
demander impérieusement une explication.
Au vrai, tout dépend ici du sens qu'on prêtera au terme « solu
tion », et le présent mémoire veut élucider cette nuance. Mais il
nous faut d'abord rappeler les données textuelles concernant les
travaux des deux géomètres cités à ce sujet.
D'après Mersenne, c'est Roberval qui fut le premier à trouver
l'aire de la surface qui nous intéresse.
« Nullus, quod sciam, écrit le Minime en 1644, hactenus demonstrare potuit,
praeter nostrum Geometram, coni scaleni quanta sit superficies, et cui spatio sit
aequalis » (cit. 1) (2).
(1) Correspondance du P. Marin Mersenne, t. IX, pp. 116-117. Le même ouvrage sera
désigné, dans la suite, par l'abréviation : Corr. Mersenne.
(2) « Personne, que je sache, n'a pu jusqu'ici montrer, si ce n'est notre Géomètre,
combien grande est la superficie du cône scalène, et à quel espace elle est égale. »(Cogitata
physico-mathematica, Paris, 1644, Hydraulica, pneumatica..., p. 77.) On sait que sous la
plume de Mersenne, « notre Géomètre » désigne Roberval.
T. XX. — 1967 21 318 REVUE D'HISTOIRE DES SCIENCES
Leibniz, à son tour, témoigne comme suit dans un court article
posthume publié en 1727 :
« ^Egidius Robervallius, me juvene ajebat, ejus (superficiel coni scaleni)
explanationem sibi esse notám, sed qualem habuerit non dixit, nihilque ea de
re inter ejus schedas repertum accepi » (3).
Nous demeurons aujourd'hui dans la même ignorance absolue
sur le travail effectif de Roberval sur ce sujet. Dans sa longue lettre
à Torricelli de 1646-1647, il ne fit, à ce propos, qu'une allusion très
vague :
« Circa cylindricas, et conicas superficies scalenas, turn etiam circa rectas, mira
habemus » (cit. 2) (4).
Mais, déjà en juillet 1638, Fermat avait proposé à Descartes
le même problème sous cette forme :
« Dati coni scaleni superficiel invenire aequale planum » (5).
Ici encore, le résultat acquis par Fermat nous est totalement
inconnu, de même que celui de Descartes (6). Mais, en négligeant
même la célèbre polémique qu'ils engageaient alors entre eux,
est-il concevable que le géomètre toulousain ait proposé au philo
sophe un problème qui résistait à ses propres efforts ? Aussi croyons-
nous que le témoignage de Mersenne qui vient d'être cité indique
seulement le fait que, volontairement ou non, Fermat n'a pas
divulgué son résultat.
§ 2. — Quelle sorte de solutions peut-on alors attendre de nos
deux géomètres en cette matière ? Certainement ne doit-on pas
(3) « Gilles Roberval m'affirma, dans ma jeunesse, que Г « explanation », de la superficie
du cône scalène) lui était connue, mais il ne m'a pas dit laquelle il avait trouvée, et je
n'en ai rien découvert dans ses papiers. » « Explanation » signifie donnée d'une aire plane
équivalente. L'expression semble particulière à Leibniz ; Huygens dit complanatil (note
de J. Itard). Miscellanea Berolinensia ad incremenlum scientiarum ex scriptis Societati
Regiae Scientiarum exhibitis édita, conlinuatio II, Berlin, 1727, p. 285. Pour plus de détail,
voir la n. 8 ci-dessous p. 319.
(4) « Sur les surfaces cylindriques et coniques tant scalènes que droites, nous avons
des résultats remarquables. » B. N., fds lat. nouv. acq. 2341, f. 16 r° (autographe de
Roberval). Cf. Divers ouvrages de M. de Roberval, Mémoires de V Académie royale des
Sciences, depuis 1666 jusqu'à 1699 (par abrév. Mém. Acad.), t. VI, Paris, 1730, p. 475.
(5) « Trouver une aire plane égale à la superficie d'un cône scalène donné. »(Corr. Mer-
senne, t. VII, p. 402.) Au lieu de scaleni, l'original porte scalenici.
(6) Comme l'a bien dit l'auteur de l'Éclaircissement cité au début (Corr. Mersenne,
t. IX, p. 117), Descartes s'était « dérobé trop dédaigneusement » au défi lancé par Fermat.
Voir sa lettre à Mersenne du 11 octobre 1638 (ibid., t. VIII, p. 117). Quoique le philosophe
ait ensuite écrit au Minime le 15 novembre : « Je ne croy pas qu'il me fallut beaucoup de
temps pour examiner les surfaces des cones que vous demandez » [ibid., t. VIII, pp. 209-210),
nous ne savons pas ce qu'est devenue sa recherche à ce sujet. DE LA SURFACE DU CÔNE OBLIQUE 319 QUADRATURE
attendre des formules analytiques, mais des constructions géomét
riques, non seulement parce que le problème est lui-même
rique, mais aussi parce qu'à l'époque où ils s'en occupèrent, les
mathématiques étaient encore fortement commandées par la géo
métrie. Mais sous quelles conditions auraient-ils procédé à la
construction de ce problème ?
Dans l'ignorance de leurs travaux, et après des tentatives
infructueuses de plusieurs autres géomètres, Varignon, dans un
mémoire posthume de 1727, réduisit ce problème de quadrature à
un autre de rectification, en introduisant une courbe transcendante,
dont la longueur permettait de mesurer la surface proposée (7).
Leibniz reprit ce biais, mais avec l'intention de ne recourir qu'aux
courbes algébriques (8), et son résultat remarquable fut ensuite
généralisé par Euler pour le cône ayant une courbe quelconque
pour directrice (9).
De ces constructions réalisées au xvnie siècle, les deux premières
se placèrent strictement dans le cadre de la géométrie plane (10),
et, en ne considérant que la plus simple d'entre elles, celle de
Varignon, nous devons admettre qu'un siècle auparavant, la
(7) M. Taton nous a obligeamment adressé une photocopie de cet écrit posthume de
Varignon : « Schediasma de dimensione superficiei coni ad basim circularem obliqui... »
(Miscel. Berol., cont. II, pp. 280-284). La solution exposée revient à construire la courbe :
x = Л0, y = d.sinô + гб à l'égard de notre figure 1 (§3). Il est clair, d'après la formule [1]
que nous énoncerons au même endroit, que la longueur de la courbe proposée est proport
ionnelle à l'aire en question. Il faut pourtant signaler la grande complication du procédé
réel de Varignon, complication causée par le non-emploi du système de coordonnées
polaires, et aussi par le fait que cet auteur a pris la génératrice du cône pour base du
triangle élémentaire constitutif de sa surface latérale.
(8) M. Taton nous a également adressé une photocopie de l'écrit dont il s'agit de
Leibniz: «Additio G. G. L. ostendens explanationem superficiei conoïdalis cujuscunque ;
et speciatim explanationem superficiei coni scaleni... », publié dans les Miscel. Berol.,
cont. II, pp. 285-287, c'est-à-dire immédiatement après l'écrit de Varignon mentionné
dans la note précédente. Le texte de Y Additio a été reproduit par Gerhardt (Leibnizens
mathematische Schriften, zweite Abtheilung, Band III, Halle, 1863, pp. 345-347). Malgré le
titre annonçant la vue déjà généralisatrice de l'auteur, l'écrit de Leibniz ne donne de
construction effective que pour le cas du cône oblique à base circulaire.
(9) De superficie conorum scalenorum aliorumque corporum conicorum, publié
d'abord dans'les Novi commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, t. I (1747-1748),
1750, pp. 3-19, 33-35, et réédité dans les L. Euleri Opera omnia, lre série, t. XXVII,
pp. 181-199. En y généralisant la construction leibnizienne, l'auteur corrigea en même
temps une certaine erreur qui s'était glissée dans l'argument de Y.Addilio. Ajoutons
qu'Euler reprit le cas du cône oblique en 1776, pour effectuer le calcul approximatif
de son aire {Opera omnia, 2e série, t. XXI, pp. 121-141).
(10) Si nous excluons ici la construction eulérienne, c'est justement en raison de sa
généralité : elle admet un cône à directrice gauche. 320 revue d'histoire des sciences
difficulté du problème aurait été tout à fait « insurmontable »,
si l'on s'était imposé la même restriction de procédé. Cependant,
quelque respectable qu'ait été ce souci de la planéité de construct
ion, il faut reconnaître que ce n'était point là une exigence absolue
préétablie, de sorte que nous pourrons réserver plus de liberté à nos
deux géomètres aux prises avec ce problème.
Encore devons-nous examiner le double énoncé contenu dans
le rapport de Mersenne : 1° « quanta sit superficies » ; et 2° « cui
spatio sit aequalis » (cit. 1). S'il ne faut pas y voir une simple
tautologie, que signifie la première proposition dégagée, alors
que le problème formulé par Fermat ne paraît concerner que la
seconde ? Il n'est pas facile d'en décider. Mais, toute formule
purement analytique ayant déjà été exclue, les deux affirmations
de Mersenne pourraient ne comporter rien de plus qu'une différence
de degré. Nous choisirons ainsi l'interprétation suivante. La propos
ition 1° signifierait une expression géométrique de l'aire demandée,
n'ayant pas encore la forme d'une construction, mais pouvant
pourtant s'y prêter (sinon, la résolution ne serait contrôlée que
d'une manière par trop lâche), tandis que la proposition 2° réali
serait la construction ainsi envisagée.
§ 3. — Si les observations précédentes ne nous ont pas trompé,
des suggestions utiles à une tentative de restitution peuvent se
rencontrer dans un sujet particulier ayant intéressé tous nos deux
géomètres. Mais, si nous en tirons quelques solutions simples du
problème envisagé, pour les leur attribuer à titre d'hypothèses,
nous ne sommes pourtant pas en état de les répartir distinctement
entre les deux intéressés. Du fait, toutefois, que nous trouvons
chez Roberval plus de matériaux utilisables, nos arguments le
regarderont plus directement que le géomètre toulousain.
Il en est déjà ainsi d'un point de départ pour cette quadrature
qui se trouve dans le célèbre traité de Roberval : « Observations sur
la composition des mouvements et sur le moyen de trouver les
touchantes des lignes courbes. »
Soit donné un cône oblique Aj Вг Cj (fig. 1), dont nous désigne
rons la hauteur Аг E-, par h, le rayon du cercle de base Dj par r,
la distance E2 Dx par d, et l'angle variable Cu Dj F± par 0. Dans le
traité cité (11), Roberval signale incidemment que la perpendic
ulaire ayant été abaissée du sommet Ax sur la tangente F2 Gx
(11) Septième exemple, du Limaçon de M. P(ascal), Mém. Acad., t. VI, p. 47. DE LA SURFACE DU CONE OBLIQUE 321 QUADRATURE
au cercle de base, le lieu de son pied Gj est le limaçon G, Gj E3 Вг
Ej Hj Gj, relatif au cercle Dx G[ Ex Dx de diamètre d, et à la lon
gueur r {=G'1G1). Roberval affirme même que c'est par cette
considération qu'il a « trouvé » cette nouvelle courbe, ce qui met en
évidence la conscience très nette avec laquelle il s'appliqua à ce
problème de quadrature ; nous ne savons malheureusement pas
dès quel moment (12).
A',
Fig. 1
Bien qu'une pareille considération ne se constate pas chez
Fermat, on nous accordera sans difficulté de lui prêter le même
départ, si naturel et si facile, et qui réduit le problème à la sommat
ion de Aj Gi ou AJ G( (EJ A[, E[ Ex étant pris égaux respectivement
à h, r), multiplié par l'élément de la circonférence du cercle D1?
c'est-à-dire à l'intégration :
cos2 0 + 2 dr. cos 0 + h2 + г2, db [1] S /C I n
(12) A propos de la paternité du limaçon, le Registre de V Académie de mathématique,
t. III, conservé aux Archives de l'Académie des Sciences de Paris, révèle un fait curieux :
à l'occasion de la lecture que Roberval fit des « Observations » dans cette Académie au
cours des années 1668-1669, il n'appela plus cette courbe du nom de son ami, mais du sien
propre. 322 revue d'histoire des sciences
§ 4. — Le sujet que nous avons avancé comme ayant intéressé
également nos deux géomètres, c'est la ligne d'intersection d'une
sphère et d'un cylindre droit à base circulaire. Le P. Lalouvère
nomma d'ailleurs cette courbe « cyclocylindrique », en la définis
sant comme un tracé du compas sur la surface cylindrique. Pour
emprunter encore sa terminologie, cette courbe est dite « de premier
nom » ou « de second nom » selon que le centre de la sphère se situe ou
non sur la surface cylindrique ; elle est, d'autre part, « primaire »
ou « secondaire » selon que la sphère touche ou ne touche pas int
érieurement à la surface cylindrique (13).
Or, Lalouvère reçut l'idée de cette courbe justement de Fer-
mat (14), lequel en avait fait mention dans sa lettre du 27 juil
let 1638, adressée à Mersenne pour Roberval (15). Remarquez la
très étroite proximité de cette mention et du défi, déjà signalé, du
même géomètre à Descartes (§1).
Il est question, dans cette lettre destinée à Roberval, d'un cas
particulier de la cyclocylindrique secondaire de premier nom, que
Fermat définit déjà au moyen du compas. La courbe, rencontrant
ici en deux points la base du cylindre contenant le centre de la
sphère, est divisée en deux parties symétriques par cette base.
Fermat se propose de développer la surface cylindrique portant
cette figure, en faisant « rouler le cylindre sur un plan » (16), et
donne la cubature du solide qu'une moitié de la cyclocylindrique
(13) Veterum geometria promota in septem de cycloide libris..., Toulouse, 1660, p. 21.
L'auteur y insista sur l'analogie que la cyclocylindrique soutient avec le cercle : « Nemini
mirum videri débet quod istam figurám appellem alterum circulum ; fratres enim mihi
videntur esse, cùm circini unus pes fixus maneat, ductu generentur ambo, ille quidem in
superficie plana, iste in cylindrical. » Sa définition de la cyclocylindrique n'en dépasse
pas moins le cadre des Éléments d'Euclide. Nous n'avons toutefois pas besoin de prendre
cette définition au pied de la lettre. Car, en respectant ici, comme dans la suite, les postul
ats euclidiens pour la construction géométrique, nous nous contentons de décrire des
courbes « par points ».
(14) C'est ce que Lalouvère reconnut dans un scolie de son livre sur la cycloïde
(op. cit., p. 29). Cf. ci-dessous, p. 323, n. 19.
(15) Œuvres de Fermat publiées par les soins de MM. P. Tannery et C. Henry (par
abrév. Fermat), t. V, p. 94 ; ou Corr. Mersenne, t. VII, pp. 399-400.
(16) En fait, Fermat ajouta ici une phrase curieuse : « A mesure que le mouvement du
cylindre roulant sur le plan sera plus ou moins viste, la figure (marquée par la cyclo
cylindrique) sera plus ou moins grande » (les mots entre parenthèses sont ajoutés par
nous-même). L'expression est inadéquate, mais l'intention de l'auteur transparaît ; il
doit s'agir de la transformation proportionnelle des ordonnées de la courbe aplanie
dans la direction du mouvement du cylindre, transformation qui devait revenir sous
la plume de Fermat en 1660 (Fermat, t. I, pp. 202-204, et 237 sq. ; t. H, p. 448). Voir
aussi ci-dessous, p. 332, n. 28. QUADRATURE DE LA SURFACE DU CÔNE OBLIQUE 323
ainsi aplanie engendre en tournant autour de sa base, cubature
qui revient visiblement à la sommation des sinus.
Pourquoi énonça-t-il pour Roberval une proposition si facile,
sinon parce que la courbe en cause avait alors pour lui l'attrait
d'une nouveauté (17) ? Cette conjecture peut nous être encore
utile. Mais ce qui nous importe davantage est le fait qu'il développe
la surface cylindrique, fût-ce d'abord seulement pour énoncer de
façon concrète la sommation des carrés des ordonnées de la demi-
cyclocylindrique, alors qu'il était incapable, peut-on croire, de
sommer ces ordonnées elles-mêmes.
Trois mois après, Fermat communiqua à Mersenne sa construc
tion analytique de la tangente au même type de courbe (18).
Mais, vu que ses écrits ne nous révèlent désormais aucun travail
sur la cyclocylindrique, il se peut que ce géomètre se soit vite désin
téressé de ce sujet, pour ne revenir là-dessus qu'en 1658, à l'occasion
du concours institué par Pascal au sujet de la cycloïde (19).
Pour passer à Roberval, rien ne prouve, dans l'état actuel de nos
connaissances, qu'il ait conçu cette courbe avant Fermat, quoique
(17) II n'est pas question ici de la nouveauté absolue. L' « hippopède » d'Eudoxe
n'était rien d'autre que la cyclocylindrique primaire de second nom, comme l'a bien
montré Schiaparelli en 1874 (Die homocentrischen Sphâren des Eudoxus, des Kallippus
und des Aristoteles, mémoire gelesen im Lombardischen Institut zu Mailand am
26. November 1874 von G. V. Schiaparelli, in's Deutsche ubersetzt von W. Horn,
Abhandlungen zur Geschichte der mathematischen Wissenschaften, I. Heft, 1877, pp. 101-
198, et notamment 137-155). D'autre part, Tannery a proposé, en 1883, une hypothèse
visant à identifier la « ligne paradoxos » de Ménélaiis avec la cyclocylindrique primaire
de premier nom (Pour l'histoire des lignes et surfaces courbes dans l'Antiquité, Bull,
sci. math, et astr., 2e s., t. VII (1883), pp. 290-291, ou ses Mémoires scientifiques, t. H,
p. 17). On se souviendra en outre, en nous voyant recourir à l'intersection de deux sur
qu' Archy tas avait déjà utilisé la rencontre de trois surfaces de cette faces de révolution,
nature pour la duplication du cube. Nous pouvons toutefois signaler, à propos de la ligne
de Ménélaiis décrite par Pappus (Mathematicae collectiones a F. Commandino in latinům
conversae..., Pisauri, 1588, f. 61 r°), que Fermat voulut lui-même l'identifier avec la
spirale généralisée d'une manière ou d'une autre (Fermat, t. II, p. 13, t. V, pp. 15-19 ;
ou Corr. Mersenne, t. VI, p. 93 et 376-380). Quant au travail ď Archy tas, il va sans dire
que la description des courbes par points, dont nous nous contentons (n. 13), est sans
effet pour le but qu'il poursuivit. Une autre remarque. On peut certes dire que la sommat
ion des sinus était elle-même assez neuve à l'époque ici considérée. Mais nous demanderons
alors : pourquoi Fermat l'énonça-t-il ainsi conjointement à la cyclocylindrique plutôt
que sous une autre forme ?
(18) Fermat, t. II, p. 172 ; ou Corr. Mersenne, t. VIII, pp. 157-158.
(19) C'est à cette occasion que Fermat parla de la cyclocylindrique à Lalouvère
(n. 14), en voulant peut-être, d'après Tannery, « le mettre sur la voie de problèmes, plus
simples que ceux de la cycloïde, et dont la solution lui aurait préparé le reste du chemin >
(Pascal et Lalouvère, Mém. sci., t. VI, p. 92). 324 revue d'histoire des sciences
la « compagne » de la cycloïde qu'il avait introduite pour la quadra
ture de celle-ci ne soit autre que la cyclocylindrique primaire,
aplanie d'une certaine façon (20). Peut-être stimulé par la lettre
citée de Fermat du 27 juillet 1638, Roberval réussit-il, avant
août 1640, dans la construction cinématique de la tangente à la
cyclocylindrique « réduite en plan » (21). Mais une information,
beaucoup plus suggestive pour nous, est contenue dans sa lettre
à Torricelli de 1646-1647. Nous en avons déjà cité un passage
obscur (cit. 2). De fait, il est suivi, dans cette lettre, par une
sorte d'explication que voici :
« Inter ilia perpende qualenam sit hoc problema. (1°) Portionem superficiel
cylindri recti exhibemus, quae datae superficiel cylindri scaleni sit aequalis : sed
et istud. (2°) Dato quadrato, aequalem damus cylindricae superficiei portionem,
idque absolute, nullâ suppositâ circuli quadraturâ, et exclusis cylindri basibus. »
(cit. 3) (22).
Les problèmes allégués se trouvent effectivement discutés dans
son Traité des indivisibles ; les constructions 1° et 2° y sont effec
tuées au moyen de la cyclocylindrique de premier nom, avec
l'ouverture du compas respectivement supérieure ou égale au
diamètre de la base du cylindre (23). Nous pouvons donc affirmer
que la précédente citation 2 de Roberval portait à la fois sur la
surface du cône oblique et sur la cyclocylindrique. Ce fait, qui
s'accorde assez bien avec la proximité, plus haut constatée, des
(20) Roberval a dû réussir avant 1636 dans la quadrature de la cycloïde, et cela,
selon toute vraisemblance, au moyen de sa « compagne » (sinusoïde), comme nous le
voyons effectivement dans la lettre que son disciple du Verdus adressa à Torricelli le
3 juin 1644 (Opere di E. Torricelli édite... da G. Loria e G. Vassura, t. III, pp. 184-185),
de même que dans son Traité des indivisibles (Mém. Acad., t. VI, pp. 250-253). Il est à
croire au reste que son travail de quadrature embrassait déjà la cycloïde « allongée » ou
« raccourcie ». La cycloïde simple a pour compagne une cyclocylindrique primaire de
premier nom, aplanie d'une certaine façon, comme il ressort manifestement au cours
du Traité des indivisibles (en plus du loc. cit., voir pp. 293-297), et la cycloïde allongée
ou raccourcie, celle de second nom. Cf. aussi § 7, et surtout la n. 27 (ci-dessous, p. 330).
(21) Voir sa lettre à Fermat du 4 août 1640 (Fermat, t. II, p. 201). Roberval n'y pré
cise toutefois pas le type ou les types de la courbe qu'il envisagea.
(22) « Parmi ces choses-là, méditez ce que peut être le problème suivant. 1° Nous
exhibons une portion de superficie d'un cylindre droit, laquelle est égale à la superficie
donnée d'un cylindre scalène [entendez : à la superficie d'un cylindre oblique donné].
Mais encore celui-ci : 2° Un carré étant donné, nous donnons, comme son équivalent,
une portion de superficie cylindrique [droite], et cela absolument [pour l'un et l'autre
cas], sans supposer la quadrature du cercle, et les bases du cylindre étant exclues. »
B. N., fds lat. nouv. acq. 2341, f. 16 r°-v°. Cf. Mém. Acad., t. VI, p. 475. La numér
otation des problèmes a été introduite par nous-même.
(23) Mém. Acad., t. VI, pp. 293-297 (probl. 2°), et 310-328 (probl. 1°). QUADRATURE DE LA SURFACE DU CÔNE OBLIQUE 325
deux interventions de Fermat, se comprendrait d'ailleurs a priori,
par suite de la parenté entre la construction 1°, qui consistait à
sommer Ax G{, et le présent problème où il s'agit de sommer Ax Gj
("g- 1).
§ 5. — Après ces préliminaires, nous allons exposer trois moyens
élémentaires que Fermat et Roberval auraient pu trouver pour
construire des aires proportionnelles à celle du cône oblique proposé.
Nous pourrions utiliser tout de suite la cyclocylindrique dans sa
forme directe. Mais pour la commodité de l'exposition, commençons
par la construction qui nous apparaît la plus simple de toutes les
trois, quoiqu'elle ne se rattache pas si ostensiblement aux études
connues de nos deux géomètres sur cette courbe.
Première solution. — La cyclocylindrique de second nom n'est
pas mentionnée dans les écrits de Fermat, ni de Roberval. Il est à
croire, pourtant, que ni l'un ni l'autre ne pouvaient avoir manqué de
l'envisager. Et alors, en cherchant nécessairement à déterminer la
distance d'un point mobile sur la circonférence d'un cercle à un
point fixe du même plan, mais situé en dehors de cette circonfé
rence, n'auraient-ils pas remarqué que cette distance peut s'expri
mer par le demi-diamètre variable d'une ellipse ? Bien que cette
relation apparaisse très directement, nous pouvons encore imaginer
que Roberval en particulier ait pu l'apercevoir par un détour, en
généralisant sa construction 1° déjà citée (cit. 3) (24).
(24) Le présent sujet tient ici à un autre, que nous avons discuté au cours de notre
thèse de 3e cycle, intitulée Étude sur la théorie des mouvements composés de Roberval.
On a cru jusqu'ici que Pascal avait le premier égalisé, en 1658, la longueur de la cycloïde
allongée ou raccourcie à celle d'une ellipse (Œuvres de B. Pascal, publiées... par L. Brun-
schvicg, P. Boutroux et F. Gazier, t. IX, pp. 189-201). Mais une note autographe de
Mersenne, inscrite dans son exemplaire personnel de Г Harmonie universelle (éd. fac. sim.,
Paris, 1963, t. III, Nouvelles observations physiques et mathématiques, p. 25), suggère
que quelqu'un aurait déjà acquis un résultat semblable avant 1648. A notre avis, ce
précurseur de Pascal aurait été Roberval, qui présenta d'ailleurs effectivement, en 1670,
une communication relative à la longueur de la cycloïde généralisée (Mém. Acad., t. VI,
p. 427)', et il se pourrait que sa découverte dont il s'agit ait été antérieure à 1644. En fait,
le résultat pascalien s'obtient facilement avec une légère modification du procédé que
Roberval adopta pour la rectification de la cycloïde simple (ibid., pp. 419-423). Or cette
modification, que nous avons expliquée dans notre thèse, repose justement sur l'égalité
des deux distances qui vient d'être relevée dans le présent mémoire (« cette distance peut
s'exprimer... d'une ellipse »). Au sujet, donc, des deux travaux ignorés de Roberval, sur
la longueur de la cycloïde généralisée et sur l'aire du cône oblique, nos conjectures anté
rieure et actuelle pourraient s'appuyer l'une l'autre dans une certaine mesure.