Renormalization of three-quark operators for the nucleon distribution amplitude [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Thomas Kaltenbrunner

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• Physik

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• Publié par: universitat_regensburg
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 14
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

Renormalization of
Three-Quark Operators for the
Nucleon Distribution Amplitude
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
der Naturwissenschaftlichen Fakult¨at II - Physik
der Universit¨at Regensburg
vorgelegt von
Thomas Kaltenbrunner
aus Regensburg
September 2008Promotionsgesuch eingereicht am: 26.08.2008
Die Arbeit wurde angeleitet von: Prof. Dr. Andreas Sch¨afer
¨PRUFUNGSAUSSCHUSS:
Vorsitzender: Prof. Dr. Josef Zweck
1. Gutachter: Prof. Dr. Andreas Sch¨afer
2. Gutachter: Prof. Dr. Vladmir Braun
weiterer Pruf¨ er: Prof. Dr. Ingo MorgensternContents
Preface 5
1 A Phenomenological Introduction to QCD 7
1.1 Quarks, Baryons and Mesons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 The Nucleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Elastic Scattering and Form Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Deep Inelastic Scattering and Structure Functions . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 The Nucleon Distribution Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Reinvestigating the Elastic Form Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Introducing the Nucleon Distribution Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . 18
An Ab Initio Approach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Continuum QCD 23
2.1 The Euclidean Action of QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Perturbation Theory in the Path Integral Approach . . . . . . . . . . . . . . 25
Introducing the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
The Generating Functional and Free Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Wick’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Loop Divergences and Need for Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Dimensional Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ren of the Action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ren of Composite Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Renormalization Group Equation and Running Coupling . . . . . . . . . . . . 37
3 Lattice QCD 39
3.1 Naive Discretization of the Free Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Introducing Gauge Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Wilson Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 The Gauge Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Order a Improved Wilson Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 The Generating Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.7 (Hybrid) Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Performing the Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9 Chiral Symmetry Breaking and Chiral Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12 CONTENTS
4 Irreducible Multiplets of Three-Quark Operators 51
4.1 The Symmetry of the Hypercubic Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
The Hypercubic Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
The Spinorial Hypercubic Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Construction of Irreducible Three-Quark Operators . . . . . . . . . . . . . . . 55
Irreducibility in SO and O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 4
Irreducibility in H(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Three-Quark Operators and Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4 Isospin Symmetrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Identities due to Isospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Operators without Derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Operators with Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Consequences for Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 The RI-MOM Renormalization Scheme 67
5.1 Computational Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
An Appropriate Matrix Element on the Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Relation to Calculable Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
The Three-Quark Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2 Setup of the RI-MOM Renormalization Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Continuum and Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
The Renormalization Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Definition of the Projectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
The Quark Field Renormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Scheme Matching and RG Behavior 75
6.1 The Scheme Matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
General One-Loop Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
MS←mRIDetermination of Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Renormalization Group Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
The Renormalization Group Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
The Scaling Function ΔZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
The Anomalous Dimension of the Three-Quark Vertex . . . . . . . . . . . . . 81
6.3 Input from Continuum Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
General Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Operators without Derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Operators with One Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Operators with Two Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Details on the Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 The Results 105
7.1 Technical Details of the Lattice Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Fixed Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Available Lattices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Implementation of the Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Even-Odd Preconditioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Choice of the Quark Momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108CONTENTS 3
Chiral Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Data Analysis and Error Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
MSExtracting Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Renormalization Group Behavior and Estimation of Systematic Errors . . . . 111
Influence of the Chosen Quark Momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
MS7.3 Results for Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.4 Renormalization of Moments of the NDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Relating Moments of the NDA to Three-Quark Operators . . . . . . . . . . . 122
The Zeroth Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
The Next-to-Leading Twist Constants λ and λ . . . . . . . . . . . . . . . . 1251 2
The Proton Decay Constants α and β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
The First Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
The Second Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.5 The Nucleon Distribution Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Advanced Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Discussion and Comparison with Other Approaches. . . . . . . . . . . . . . . 133
A Model for the Nucleon Distribution Amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Beyond the Distribution Amplitude: An Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8 Summary and Conclusion 141
Acknowledgements 143
A Conventions and Formulas for Perturbation Theory 145
A.1 The Weyl Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.2 Scheme Matching for the Quark Field Renormalization . . . . . . . . . . . . . 146
B Irreducibly Transforming Three-Quark Operators 147
B.1 Operators without Derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.2 Operators with One Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
B.3 Operators with Two Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
C Isospin induced Identities 157
C.1 Operators without Derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
C.2 Operators with One Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
C.3 Operators with Two Derivatives - Preparations . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
C.4 Operators with Two Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D The Renormalization Matrices 165
4
D.1 Operators without Derivatives in τ . . . .