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Physique des milieux stratifiés application aux lacsYannis Cuypers1rFlux de chaleur à la surface d’un lac2Le flux de chaleur H =H +H +H +H (W/m ) à la surface d’un lac résulte de plusieurs tot c l e stermes: Les plus importants sont les termes de flux radiatifs parmi lesquels on peut distinguer les radiations courtes longueurs d’onde H émises par le soleil et l’énergie crayonnée sous forme de radiations infrarouge suivant la loi de Stefan Boltzmann, par le lac H et les nuages H . Les flux de chaleurs non radiatifs sont lié à la convection de1l 2lla chaleur H et à l’évaporation de l’eau H . On donne ici les expressions empiriques s epour ces différents flux:2)H : H (1-r )(1-0.65C , avec H , radiation par ciel clair, r réflexion des ondes courtes par la c 0 c 0 csurface du lac (0.04(juin)0, la surface du lac se réchauffetot2rrrrrStratification stable et instableLa densité de l’eau est ...

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Langue Français

Extrait

Physique des milieux stratifiés application aux lacs
Yannis Cuypers
1
Flux de chaleur à la surface d’un lac Le flux de chaleur Htot=Hc+Hl+He+Hs(W/m2 la surface d’un lac résulte) à de plusieurs termes: Les plus importants sont les termes de flux radiatifs parmi lesquels on peut distinguer les radiations courtes longueurs d’onde Hcémises par le soleil et l’énergie rayonnée sous forme de radiations infrarouge suivant la loi de Stefan Boltzmann, par le lac H1let les nuages H2l. Les flux de chaleurs non radiatifs sont lié à la convection de la chaleur Hset à l’évaporation de l’eau He. On donne ici les expressions empiriques pour ces différents flux: Hc: H0(1-rc)(1-0.65C2), avec H0, radiation par ciel clair, rcréflexion des ondes courtes par la surface du lac (0.04(juin)<rc<0.2(décembre)) et C proportion du ciel couverte par les nuages H2l= bsTa4, b emissivité atmosphérique (0.75-0.96), Tatempérature de l’atmosphères constante de Boltzmann H1l= esT4Lavec, e emissivité de l’eau (0.97), TL,température du lac He E taux d’évaporation,=LE, L chaleur latente d’évaporation, et E=E(TL, Humidité de la masse d’air, vitesse du vent) Hs:chaleur sensible Hs=ΛaCpal(TL-Ta), Cpa,capacité calorifique de l’eau, l coef d’échange  thermique.
H2l
+Hc
+He
+H1l
+Hs
Si Htot<0, la surface du lac se refroidit Si Htot>0, la surface du lac se réchauffe
=Htot
2
24 une moyenne de 24 heures :Sur Htotété => Établissement d’une stratification stable>0, en printemps et en Htot<0, en automne et en hiver => Mélange convectif
Ts>TL=>Λ(Ts)<Λ(TL) => Starification stable
TL
TS
Exemple expérimental de la pénétration d’un fluide dense (rouge) dans un fluide moins dense. Cette instabilité est connue sous le nom d’instabilité de Rayleigh Taylor. (P.Petitjeans, P.Kurowski, J. Fernandez PMMH ESPCI)
4°C
Ts<TL=>Λ(Ts)>Λ(TL) => Starification instable
TL
TS
On observe: Htot<0 la nuit (suppression de l’apport Hclié au rayonnement solaire dans le bilan du flux de chaleur) Si Htot>0, pendant la journée
Stratification stable et instable
La densité de l’eau est fonction de sa température, pour des eaux de température supérieure à 4°C, celle-ci décroît avec la tempéra ture: Si le flux de chaleur est négatif (HTot<0), la température de la couche supérieure diminue et sa densité augmente. Si la couche d’eau supérieure devient plus dense que celle immédiatement en dessous, les volumes d’eau qui constituent la couche supérieure s’enfoncent et sont remplacé par des volumes d’eau de la couche inférieure; un mouvement convectif se met en place. Si le flux de chaleur est positif (HTot>0), la densité de la couche supérieure diminue, la stratification est stable Htot<0Htot>0Λ(T)
3
T
Évolution annuelle du profil de température
T(Z)
Fond
Surface
Hiver Printemps Eté Automne
-
-
-
Printemps-Eté :Réchauffement de la couche supérieure, transfert de chaleur aux couches inférieures par: Conduction, phénomène diffusif (ld4(Ηt)1/2)=> processus lent  Mélange convectif par action du vent, (lc4t)=> processus rapide, mais concerne les couches supérieurs (Epilimnion) seulement. Automne refroidissement de la couche supérieurs par: Mélange convectif lié à la stratification instable, processus rapide, accéléré par l’action du vent Brassage hivernale=> oxygénation du lac
Exemple:évolution de la stratification dans le lac du Bourget
Chaîne de thermomètres pointT
3
0
Une chaîne de thermomètres dont chacun enregistre la température à une profondeur différente, permet de suivre l’évolution de la structure thermique du lac
T
Lac
Bourget
23
Décembre 20045
04
Mélange et stratification
Mélanger un fluide à stratification stable coûte de l’énergie potentielle par unité de volume
Ex: comparaison des énergies potentielles par unité de volume pour un système de deux particules fluide dans un milieu stratifié et dans un milieu mélangé homogène
z
Fluide stratifié Λ1 z1
z2

Λ2>Λ1
Fluide mélangé (Λ1+Λ2)/2
z1
z2
(Λ1+Λ2)/2
1Λ#Λ#1%%2 %Λ Λ
Plus le fluide est stratifié plus apport l’apport d’énergie nécessaire pour le mélanger augmente => La stratification inhibe le mélange
5
z
Artisan du mélange dans les lacs: l’instabilité de Kelvin Helmholtz
u
Λ2
Λ1
t
Le cisaillementu/zgradient vertical de la vitesse horizontal (u), peut, c’est-à-dire, le générer une instabilité de Kelvin Helmholtz. Des couches de fluide adjacentes (froides et chaudes dans un lac stratifié) vont alors s’enrouler les unes autour des autres en formant des couches de plus en plus minces: la structure feuilletée ainsi formée s’appelle un tourbillon de Kelvin Helmholtz. La structure d’un tourbillon de Kelvin Helmholtz présente une stratification instable et celui-ci collapse en un patch turbulent au sein duquel le fluide est mélangé avec une grande efficacité.
L’énergie cinétique par unité de masse (u2) du fluide est ainsi convertie en énergie potentielle(pum) (gz) (typiquement à hauteur de 30% pour un lac) et dissipée en chaleur (Q) (typiquement 70% pour un lac).
Remarque: En raison de la grande capacité calorifique de l’eau(C=4180j/kg), l’augmentation de températureD fluide successive à la dissipation de l’énergie sous forme deT=Q/C du chaleur est négligeable et sera sans effet sur la stratification. Par exemple, si on considère qu’une masse d’eau avec une vitesse initiale de 0.1m.s-1dissipe toute son énergie cinétique sous forme de chaleur, l’augmentation de température résultante est seulement de 10-6degrés.
Exemple:Instabilité de Kelvin Helmholtz pour un fluide stratifié dans une expérience de laboratoire mené à l’école polytechnique (O.Pouliquen)
6
Le nombre de Richardson
On observe dans un lac 2 effets antagonistes qui sont d’une part -Le cisaillement qui déstabilise la colonne d’eau, en favorisant l’apparition d’instabilités de Kelvin Helmholtz et le mélange turbulent des couches d’eau -La stratification qui stabilise la colonne d’eau et inhibe le mélange.
Pour paramétrer l’existence de mélange turbulent dans un fluide on utilise le nombre de Richardson qui compare ces deux effets antagonistes:
11Λ1Λ ¶ ¶ ¶ ¶
On estime le seuil d’apparition des instabilités de Kelvin Helmholtz àRi<0.25
7
Ou le mélange se produit il dans un lac stratifié?
C’est le vent qui va transférer sa quantité de mouvement au lac et générer une zone de fort cisaillement dans les couches superficielles du lac (on appelle cette zone l’épilimnion). Cette zone est régulièrement brassée par le mélange turbulent engendré par le vent et présente en moyenne une densité homogène. En dessous de l’épilimnion, on trouve une zone où le cisaillement est faible et la stratification importante. Dans cette zone le nombre de Richardson est très grand et le mélange inexistant. Il est généralement difficile de mesurer directement le cisaillement à l’intérieur d’un lac. On estime alors la vitesse de la couche superficielle du lac par la formule empirique suivante: us=((Λair/Λ1)C U210)1/2 d (Cdcoefficient de traînée, U10 vitesse du vent à 10 m de la surface). En considérant que la vitesse obéit à des lois empiriques de décroissance exponentielle en dessous de la surface, il est alors possible d’estimer le cisaillement et le nombre de Richardson
Épilimnion
Metalimnion
Hypolimnion
T(Z)
Vent U10
us
Couche de mélangeRi<0.25 => Température et densité homogène en moyenne
MétalimnionRi>>0.25
8
Équation de transport pour des champs turbulents
Le transport d’un scalaire C (température oxygène…) se fait suivant une loi d’advection diffusion. Pour simplifier on considérera une équation d’advection diffusion pour la seule composante verticale du vecteur vitesse ¶ ¶ ¶1 %#Dés lors que l’on considère un écoulement turbulent, Il est usuel de séparer le champ scalaire et le champ de vitesse en un champ moyen, issu d’une moyenne temporelle sur un intervalle de temps T grand devant le temps typique d’évolution des fluctuations, et des fluctuations autour de cette valeur moyenne:   1      #   1#. On s’intéressera alors à l’évolution du champ moyen. En introduisant cette décomposition dans l’équation d’advection diffusion et en prenant la valeur moyenne sur le temps T on obtient:¶ ¶ 1 %%%On voit dans cette équation que l’évolution du champ moyen du scalaire dépend des fluctuations turbulentes du scalaire et de la vitesse via le terme   .Ce terme est a priori impossible à déterminer directement, il convient donc de faire une hypothèse qui permet de le paramétrer en fonction des champs moyens (mesurables ou estimables). Pour cela, on va faire une analogie entre le transport moléculaire et le transport turbulent. Si la diffusion moléculaire résulte de la vitesse stochastique des molécules à une échelle microscopique, à une échelle macroscopique cette fois ci, on peut considérer que les fluctuations de vitesse turbulentes assurent une diffusion turbulente. On exprimera donc le transport par les fluctuations turbulentes comme une diffusion turbulente qui obéit à une loi de Fick:  1
La difficulté provient du fait que le coefficient de diffusion turbulenteK, ne dépend pas des propriétés physiques du fluide comme le coefficient de dispersion moléculaire, mais du nombre de RichardsonK=K(Ri),et peut donc varier avec la position. Au final on a l’équation de transport suivante: 1 %%%
Le transport turbulent est beaucoup plus efficace que le transport moléculaire si bien queK9>>D En conséquence on néglige généralement la diffusion moléculaire devant la diffusion turbulente
Transport vertical dans un lac stratifié
l’épilimnion, le nombre de Richardson est faible, un scalaireDans est diffusé rapidement suivant l’équation de diffusion turbulente:
1 %
%
Le temps typique de transport d’un scalaire sur la hauteur de l’épilimnion et de l’ordre de 103s
Dans le métalimnion, le nombre de Richardson est grand la vitesse verticale moyenne est nulle en conséquence le transport vertical se fait entièrement par diffusion moléculaire:
1
le transport vertical est très lent, temps typique de transport d’un scalaire sur la hauteur du métalimnion et de 107s
En conséquence, le métalimnion constitue une barrière physique pour les échanges verticaux qui se font avec très peu d’efficacité à travers le métalimnion. Au contraire dans l’épilimnion un scalaire est rapidement transporté par diffusion turbulente
10
Conséquences écologiques: une stratification T(z)chimique
Oxique photosynthèse
Anoxique oxydation
En raison de la barrière physique que constitue le métalimnion vis-à-vis du transport, un lac stratifié apparaît comme un système compartimenté entre l’épilmnion et l’hypolimnion. L’absence d’échange entre ces deux zones a des conséquences importantes. Par exemple L’oxygène des couches inférieures est consommé par l’oxydation de la matière organique, cette zone peut devenir anoxique
Au contraire dans la couche supérieure (épilimnion) la photosynthèse et les échanges avec l’atmosphère assure la richesse en oxygène.
C’est le brassage hivernal du lac par les mouvements convectifs qui permet de réoxygéner toute la colonne d’eau
11
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