1 com-cours-droites-systemes

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b
Équationsdedroites,systèmesd’équations
Tabledesmatières
I Repéraged’unpointdansleplan 1
II Équationcartésienned’unedroite 2
II.1 Équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II.2 Calculducoefficientdirecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II.3 Commenttracerunedroiteàpartirdesonéquation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Systèmededeuxéquationsàdeuxinconnues 5
III.1 Méthodeparsubstitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.2 Méthodeparcombinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Lienentresystèmesd’équationsetdroites 5
IV.1 Intersectiondedroites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV.2 Interprétationgraphiqued’unsystème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I Repéraged’unpointdansleplan
Pourrepérerunpointdansleplan,onabesoindedeuxnombres.
Pourcela,ontracedeuxdroitessécantes(axes),quisecoupentenunpoint.
Surchaqueaxe,onchoisituneunitéenplaçantdeuxpointsIetJ.
′′M MyM
J
′O I M
xM
Letriplet(O;I;J)estappelérepère.
SoitM unpointquelconque.OntracelesdroitespassantparM etparallèlesauxaxes;elleslescoupenten
′ ′′deuxpointsM etM ,repéréschacunpardeuxnombresx et y,quel’onnotex et y ,carilsdépendentdeM M
M.
x ety sontlescoordonnéesdeM ;x estl’abscissedeM ety sonordonnée.M M M M
1¡ ¢
OnécritM x ; y .M M
Définition
Silesdeuxaxessontperpendiculaires,onditquelerepère(O;I;J)estorthogonal.
Silerepèreestorthogonaletquelesdeuxunitéssontlesmêmessurlesdeuxaxes(OI=OJ),onditquele
repèreestorthonormalouorthonoormé.
II Équationcartésienned’unedroite
Leplanestmunid’unrepèreorthogonal(O;I;J).
II.1 Équation
Soitd unedroite.
Nousavonsdeuxcaspossibles:
Premiercas:
Sid estparallèleàl’axedesordonnées(OJ),touslespointsded ontlamêmeabscissek.
d estalorscaractériséeparlefaitquepourtoutpointM(x ; y)ded,ona:x=k.
Onditque x=k estl’équationded.
Exemple:
3
2
1J d
O−2 −1 1I 2 3
−1
−2
Deuxièmecas:
d estsécanteàl’axedesordonnées.
Les coordonnées (x ; y) d’un point M quelconque de la droite d sont liées par une relation de la forme
y=mx+p,oùm etp sontdesconstantes,caractéristiquesdeladroite.
m estappelécoefficientdirecteurdeladroite.
p estappeléordonnéeàl’origine.(p estl’ordonnéedupointd’intersectionded etdel’axedesordonnées)
m mesurel’inclinaisondeladroiteparrapportàl’axedesabscisses.
Page2/6Exemple:
3 p=3
2
1
−4 −3 −2 −1 1 2
−1
−2
y=2x+3 −3
−4
II.2 Calculducoefficientdirecteur
Soitd unedroitesécanteàl’axedesordonnées.Elleauneéquationdelaformey=mx+p.¡ ¢ ¡ ¢
Soientdeuxpoints A x ; y etB x ; y deuxpointsquelconquesdecettedroite.A A B B
Lescoordonnéesdecesdeuxpointsvérifientcetteéquation.
Parconséquent:½
mx +p=yA A
mx +p=yB B
y −yB AParsoustraction,onobtient: y −y =m x −x d’où: m= .( )B A B A
x −xB A
II.3 Commenttracerunedroiteàpartirdesonéquation?
• Exemple1:tracerladroited’équationx=3:
Onsaitquelesdroitesd’équationx=k,oùk estueconstante,sontparallèlesàl’axedesordonnées.
Ontracealorsladroite,parallèleàl’axedesordonnées,etpassantparlepointdecoordonnées(3,0).
3
2
1
−1 1 2 3
−1
Exemple2:
Tracerladroited’équationy=−2x+5
Page3/6b
b
b
b
Pourtracerunedroite,ilsuffitdeconnaîtredeuxpointsdistinctsdecelle-ci.
On calculer alors les coordonnées de deux points.Pour cela, on choisit deux valeurs de x et on calcule alors
lesvaleursdey correspondantes.
x 0 3
y=−2x+5 5 −1
Ladroitepasseparlespointsdecoordonnées(0; 5)et(3;−1).
A
5
4
3
2
1
−1 1 2 3B
−1
−2
Exemple3:Tracerladroited’équationy=3x−4.
Onvacettefoisutiliserlecoefficientdirecteur,quivautm=3.
On part d’un point quelconque de la droite, par exemple A de coordonnées (0 ; −4), car -4 est l’ordonnée à
l’origine.
y −yB AOnavulaformule:m= ,oùAetBsontdeuxpointsdeladroite.
x −xB A
Onendéduit: y −y =m×(x −x ).B A B A
Sil’onchoisitdeprendrex −x =1,alorsona: y −y =m.B A B A
Parexemple,sionsedéplacede+1unitéenabscissesàpartirdeA,ona:y −y =m=3,doncpourarriveràB A
B,onpartdeA,onsedéplacede1unitéenabscisses,doncde1unitéversladroite.Ondoitalorssedéplacer
de+3unitésenordonnées,doncde3unitésverslehaut.
2
1
−1 1 2 3
B
−1
−2
m=3
−3
A
−4
1
−5
Page4/6III Systèmededeuxéquationsàdeuxinconnues
Ilyadeuxméthodesderésolution:
III.1 Méthodeparsubstitution
½
2x+3y=13 (1)
Exemple:résoudrelesystème:
x+5y=17 (2)
• Onnumérotedesdeuxéquations.
• Àpartird’unedeséquations,onexprimeuneinconnueenfonctiondel’autre.
(2)donne:x=17−5y.
• Onremplacex par17−5y dansl’autreéquation(1):
2(17−5y)+3y=13
34−10y+3y=13
−7y=−21
−21 21
y= = =3.
−7 7
• Oncalculealorsx :onax=17−5y=17−5×3=17−5×3=17−15=2.
• Conclusion: lecouplesolutionest(2; 3)
III.2 Méthodeparcombinaison
½
3x+5y=−7 (1)
Exemple:Résoudre
−2x+7y=−16 (2)
• Onmultipliechacune des équationsparun noombrede façon àavoirpourune desinconnuesdes coeffi-
cientsidentiquesouopposés.½
′
−6x+10y=−14 (1)×2=(1 )
′6x+21y=−48 (2)×3=(2 )
• Onadditionneouonsoustraitlesdeuxéquationspourfairedisparaîtreunedesdeuxinconnues.
′ ′Ici,oncalcul(1 )+(2 ):6x+(−6x)+10y+21y=−14+(−48).
62
Onobtient:31y=−62d’oùy=− =−2.
31
• Onremplacey par-2dansunedeséquationsdusystèmeinitial.
3
(1):3x+5y=−7donne3x+5×(−2)=−7donc3x−10=−7d’où3x=−7+10=3;x= =1.
3
• Conclusion:
Lecouplesolutionest(1; −2) .
IV Lienentresystèmesd’équationsetdroites
IV.1 Intersectiondedroites
SoientlespointsA(1;-9),B(-2;3),C(3;5)etD(6;8).
Cherchonslescoordonnéesdupointd’intersectiondesdroites(AB)et(BD).
3−(−9) 12
• Équationdeladroite(AB):lecoefficientdirecteuresta= = =−4.
−2−1 −3
L’équation est de la forme : y =−4x+b; avec les coordonnées de A, on trouve :−9=−4×1+b donc b=-
9+4=-5.
(AB)apouréquation: y=−4x−5 .
Page5/6b
8−5 3
′
• Équationdeladroite(CD):lecoefficientdirecteuresta = = =1.
6−3 3
′ ′L’équationestdelaforme: y=x+b ;aveclescoordonnéesdeC,ontrouve:5=3+b doncb’=5-3=2.
(AB)apouréquation: y=x+2 .
• Lescoordonnées(x;y)dupointAd’intersectiondecesdeucxdroitesvérifientchacunedesdeuxéquations,½
y=−4x−5
doncsolutionsdusystèmeforméparlesdeuxéquations: Onendéduit−4x−5=x+2d’où
y=+x+2
7 7
−5x=7,soit:x= =− .
−5 5
7 7 10 3
Alors: y=x+2=− +2=− + = .
5 5 5 5 µ ¶
7 3
LesdeuxdroitessecoupentaupointAdecoordonnées − ; .
5 5
IV.2 Interprétationgraphiqued’unsystème
½
2x+3y=7(1)
Exemple : soit le système d’équations : L’équation (1) 2x+3y = 7 se transforme en :
3x−2y=8(2)
2 7 2
3y=−2x+7doncy=− x+ quiestl’équationd’unedroite,decoefficientdirecteur− .
3 3 3
3
L’équation(2)3x−2y=8setransformeen:−2y=3x+8doncy=− x−4quiestl’équationd’unedroite,de
2
3
coefficientdirecteur− .
2
Lesdeuxdroitesn’ontpaslemêmecoefficientdirecteur;ellessontdoncsécantesenunpoint,dontlescoor-
données vérifientles deux équations.Les coordonnéesde ce pointd’intersectionsont doncles solutionsdu
système.
Résolutiondusystème:
Onutiliselaméthodeparcombinaisons:
Onmultiplie(1)par3et(2)par3.½
′6x+9y=21(1 )
Onobtient: .
′6x−4y=16(2 )
5
Onsoustrait:(1’)-(2’):(6x+9y)-(6x-4y)=21-16quidonne13y=5.Onendéduit: y= .
13
5 15 7×13 15 91−15 76
Onpeutcalculerx àpartirde(1):2x=7−3y=7−3× =7− = − = = .
13 13 13 13 13 15
76 3815D’où:x= = .
2 15 ½ ¾
38 5
Lecouplesolutiondecesystèmeest: S = ; .
13 13
2 7 3
Interprétationgraphique:traçonslesdeuxdroitesdontleséquationssonty− x+ ety=− x−4.
3 3 2
3
2
1
→− Aj
→−O−1 1 2 3 4i
−1 µ ¶
38 5
SoitAlepointd’intersectiondecesdeuxdroites.LescoordonnéesdeAsontA ;
13 13
Page6/6