1S2-cours-Rappelsfonctions

Description

Rappelsetcomplémentssurlesfonctions:I Fonctionetcourbereprésentative:II Variationsetextrema:III Opérationssurlesfonctions:IV Composéededeuxfonctions:V Paritéetpériodicité:VI Fonctionsderéférence:VII Fonctionsassociées:I Fonctionetcourbereprésentative:Définition:Une fonction f définie sur une partie I de R est un procédé qui, à chaque nombre de I, associe unnombreréelunique,appeléimagedex par f etestnoté f(x).Onappelleensemblededéfinitiond’unefonction f l’ensembledesvaleurspourlesquellesilestpossiblededéfinirlafonction f.On peut avoir une définition explicite de la fonction (avec une expression algébrique) ou implicite (fonctiondéfinieàpartird’unecourbe).1Exemple soit f(x)= . f(x) n’est définie que pour x strictement supérieur à 1. On dit que l’ensemble depx−1définitionest:D =]1;+∞[.f³ ´→− →−Soitunrepèreorthogonal O ; i ; j .Soit f unefonctiondéfiniesurI.Définition:Onappellecourbereprésentativedelafonction f surI,l’ensembledespointsM(x ; y)telsque:x∈I ety= f(x).2Exemple f(x)=x .Lacourbeestuneparabole.II Variationsetextrema:II.1 Variations:Définition:Soit f unefonctiondéfiniesurunintervalleI.On dit que f est croissantesur I lorsquelesimagespar f de deux réelsquelconquesde I sont rangéesdanslemêmeordrequecesréels.Onditque f estdécroissantesurI lorsquelesimagespar f dedeuxréelsquelconquesdeI sontrangéesdansl’ordrecontrairedecesréels.Traduction:f estcroissantesignifie:pourtousréelsx etx deI telsquex Éx ,ona f(x )É f(x ).1 2 1 2 1 2f ...

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• Publié par: Kocuj
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• Langue: Latin

Extrait

I

Rappels et compléments sur les fonctions :

IFonction et courbe représentative : IIVariations et extrema : IIIOpérations sur les fonctions : IVComposée de deux fonctions : VParité et périodicité : VIFonctions de référence : VIIFonctions associées :

Fonction et courbe représentative :

Définition : Une fonctionfdéfinie sur une partieIdeRest un procédé qui, à chaque nombre deI, associe un nombre réel unique, appelé image dexparfet est notéf(x). On appelle ensemble de définition d’une fonctionfl’ensemble des valeurs pour lesquelles il est possible de définir la fonctionf. On peut avoir une définition explicite de la fonction (avec une expression algébrique) ou implicite (fonction définie à partir d’une courbe). 1 Exemplesoitf(x)=.f(x) n’est définie que pour x strictement supérieur à 1. On dit que l’ensemble de x−1 définition est : D f =]1 ;+∞[. ³ ´ −→−→ Soit un repère orthogonalO;i;j. Soitfune fonction définie surI. Définition : On appelle courbe représentative de la fonctionfsurI, l’ensemble des pointsM(x;y) tels que :x∈Iet y=f(x). 2 Exemplef(x)=x. La courbe est une parabole .

II

II.1

Variations et extrema :

Variations :

Définition : Soitfune fonction définie sur un intervalleI. On dit quefest croissante surIlorsque les images parfde deux réels quelconques deIsont rangées dans le même ordre que ces réels. On dit quefest décroissante surIlorsque les images parfde deux réels quelconques deIsont rangées dans l’ordre contraire de ces réels. Traduction : fest croissante signifie : pour tous réelsx 1 etx 2 deItels quex 1 Éx 2 , on af(x 1 )Éf(x 2 ). fest décroissante signifie : pour tous réelsx 1 etx 2 deItels quex 1 Éx 2 , on af(x 1 )Êf(x 2 ). Une fonction est monotone sur I si elle est croissante ou décroissante sur I. Étudier les variations d’une fonction, c’est préciser les intervalles sur lesquels elle est monotone et préciser si elle est croissante ou décroissante.

Étude des variations :

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Nous avons à ce stade essentiellement deux méthodes :

1. On utilise les relations portant sur les inégalités : 1 ∗ Exemplesoitf(x)=1−définie surR=]− ∞; 0[∪]0 ;+∞[. x Étudions cette fonction sur ]0 ;+∞[. Soient deux réelsx 1 etx 2 tels que 0<x 1 Éx 2 . 1 1 1 1 1 1 Comme 0<x 1 Éx 2 , alors 0< Éd’où− É − <0 et en ajoutant 1 : 1− É1−. Par conséquent, x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 0<x 1 Éx 2 donnef(x 1 )Éf(x 2 ). La fonction est croissante sur ]0 ;+∞[. On montrerait de même qu’elle est croissante sur ]− ∞; 0[. 2. Méthode de la différence : 1 ∗ Exemple :fest la fonction définie surRpar :f(x)=x+. Étudions la sur ]0 ;+∞[. x Soient deux réelsx 1 etx 2 quelconques tels que 0<x 1 Éx 2 . Nous avons vu en Seconde que, pour comparer deux nombres, on étudie souvent le signe de leur différence. µ ¶ 1 1x 1 −x 2 1 f(x 2 )−f(x 1 )=x 2 + −x 1 + =x 2 −x 1 + = ( x 2 −x 1 ) 1−. x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 −x 1 Ê0. Six 1 Ê1 etx 2 Ê1, alors (x 1 x 2 −1)Ê0 etf(x 2 )−f(x 1 )Ê0. Si 0<x 1 É1 et 0<x 2 É1, alors (x 1 x 2 −1)É0 etf(x 2 )−f(x 1 )É0. On en conclut quefest croissante sur [1 ;+∞[ et décroissante sur ]0 ; 1]. On voit que ce n’est pas toujours simple d’étudier les variations d’une fonction avec cette méthode (et encore, les exemples choisis étaient simples !) Nous verrons dans un autre chapitre une méthode beaucoup plus pratique.

II.2

Minimum et maximum d’une fonction :

Définition : Soitfune fonction définie sur un intervalleIet soitx 0 un point deI. Lorsquef(x 0 ) est la plus grande valeur defsurI, c’est à dire sif(x 0 )Êf(x) pour toutxdeI, on dit quefadmet un maximum enx 0 . Lorsquef(x 0 ) est la plus petite valeur defsurI, c’est à dire sif(x 0 )Éf(x) pour toutxdeI, on dit quefadmet un minimum. enx 0 . Le plus souvent, l’étude des extremums (ou extrema) repose sur l’étude des variations. 1 Par exemple, en traçant le tableau de variation de la fonctionf:x7→x+sur ]0 ;+∞[, on voit que la fonction f x admet un minimum en 1 et que cette valeur minimum est égale à 2.

Nous verrons dans un autre chapitre une méthode pour trouver les extrema.

Définition : Soitfune fonction définie sur un intervalleI. On dit que : 1.fest majorée s’il existe un nombre réelMtel quef(x)ÉMpour toutxdeI. 2.fest minorée s’il existe un nombre réelmtel quef(x)Êmpour toutxdeI. 3.fest bornée surIsi elle est à la fois minorée et majorée. On dit alors que les réelsMetmsont respectivement un majorant et un minorant. Interprétation graphique :

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fest majorée si C f est audessous d’une droite parallèle à l’axe des abscisses d’équationy=M.fest minorée si C f est audessus d’une droite parallèle à l’axe des abscisses d’équationy=m. f est bornée si C f est contenue dans une bande parallèle à l’axe des abscisses.

2 x ExempleSoit la fonctionfdéfinie sur [0 ; 1] parf(x)=. x+1 1 1 2 Pour toutxde [0 ; 1], 0ÉxÉ1 donc 1Éx+1É2 d’oùÉ É1 et 0ÉxÉ1. Par produit (ce sont des nombres 2x+1 2 x positifs), on a : 0É É1. x+1 Sur [0 ; 1],fest minorée par 0 et majorée par 1.

Notation : Soient deux fonctionsfetgdéfinies sur un même intervalleI. Si, pour toutxdeI, on af(x)Ég(x), on écrit plus simplement :fÉg. De même,fÊgsignifie : pour toutx∈I,f(x)Êg(x).

III

Opération sur les fonctions :

Définition : 1. Deux fonctionsfetgdéfinies sur le même intervalleIsont égales si, pour toutx, deI,f(x)=g(x). 2. Soientfetgdeux fonctions définies sur un intervalleIet soitλun réel. On définit les fonctions f+λ,f+g,f getλfpar : (f+λ)(x)=f(x)+λ, (f+g)(x)=f(x)+g(x), (f g)(x)=f(x)×g(x) et (λf)(x)=λf(x) pour toutxdeI. µ ¶ f f f(x) 3. Si, pour toutxdeI,g(x)6=0, on définit surIpar (x)=. g g g(x) Théorème sur les variations : Soientfetgdeux fonctions définies sur un intervalleI. 1. Siλ>0, les fonctionsfetλfont le même sens de variation surI. 2. Siλ<0, les fonctionsfetλfont des sens de variation contraire surI. 3. Sifetgsont croissantes surI, alorsf+gest croissante surI. 4. Sifetgsont décroissantes surI, alorsf+gest décroissante surI.

Démonstration :

1. Soientx 1 etx 2 dansItels quex 1 Éx 2 . Alors (λf)(x 2 )−(λf)(x 1 )=λf(x 2 −λf(x 1 ))=λ[f(x 2 )−f(x 1 )] qui a le même signe quef(x 2 )−f(x 1 ) puisqueλ>0. 2. démonstration identique 3. Soientx 1 Éx 2 quelconques dansI. Puisquefetgsont croissantes, alorsf(x 2 )−f(x 1 )Ê0 etg(x 2 )−g(x 1 )Ê ¡ ¢ ¡ ¢ 0. Alors (f+g)(x 2 )−(f+g)(x 1 )=[f(x 2 )+g(x 2 )]−[f(x 1 )+g(x 2 )]=f(x 2 )−f(x 1 )+g(x 2 )−g(x 1 )Ê0 (comme somme de deux nombres positifs). 4. Démonstration identique f Remarque :on ne peut rien dire en général des variations des fonctionsf gpartir de celles deet à fetg. g

o Exercices : page 29, n 5  6

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IV

Composée de deux fonctions :

Définition : Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalleI. Soit g une fonction définie sur un intervalleJtel que, pour toutxdeI,f(x)∈J. On appelle fonction composée des fonctionsfetg, notéef◦g(«frondg») la fonction définie surIpar :f◦g(x)=f(g(x)). 2+ Exemples :Soitgla fonction définie surRparg(x)=x+1 et soitfla fonction définie surRparx.g(x) + 2 appartient bien àR. Alors : pour toutxdeR,f◦g(x)=x+1. 1 Soithla fonction définie surRparh(x)=. Écrirehcomme composée de deux fonctions. 2 x+1 Théorème : 1. Sifetgsont de même monotonie,f◦gest croissante. 2. Sifetgsont de monotonies différentes, alorsf◦gest décroissante. o Exercices n 10  1213

V

V.1

Parité et périodicité

Parité :

Définition : Soitfune fonction définie sur un ensemble de définition D f et soit C f sa courbe représentative. ½ −x∈ D f fest paire sur D f si, pour toutxde D f , f(−x)=f(x) C f est alors symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Exemple 2 f(x)=.fest définie surRet pour toutx∈R,−x∈Retf(−x)=f(x). 2 x+1

−→ j O

−→ i

C f

Définition : Soitfune fonction définie sur un ensemble de définition D f et soit C f sa courbe représentative. ½ −x∈ D f fest impaire sur D f si, pour toutxde D f , f(−x)= −f(x) C f est alors symétrique par rapport à l’origine du repère. Exemple 3 x f(x)=;fest définie surR; pour toutx∈R,−x∈Retf(−x)= −f(x). 8

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V.2

Périodicité :

−→ j O

−→ i

C f

Définition : fest une fonction périodique de périodeT(T>0) si, pour toutxde D f ,x+T∈ D f etf(x+T)=f(x) Conséquence : on trace la courbe sur un intervalle de longueurTet la courbe s’en déduit par des translations de −→ vecteurT i.

VI

VI.1

Fonctions de référence :

Fonction affine :f(x)=ax+b

Elle est définie surR. aest le coefficient directeur ;best l’ordonnée à l’origine. Elle est croissante siapositif, décroissante siaest négatif, constante sia=0. Sa représentation graphique est la droite d’équationy=ax+b. Rappel : sib=0, on dit que la fonction est linéaire et la droite représentative passe alors par l’origine.

VI.2

2 Fonction carré :f(x)=x

Elle est définie surR, paire, décroissante sur ]− ∞; 0] et croissante sur [0 ;+∞[. Sa courbe représentative est une parabole, de sommet de coordonnée (0 ; 0).

−→ j O

−→ i

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1 VI.3Fonction inverse :f(x)= x ∗ Elle est définie surR, impaire, décroissante sur ]− ∞; 0[ et sur ]0 ;+∞[.

−→ j O

−→ i

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VI.4

Fonctions trigonométriques

Définition : ³ ´ −→−→ SoitMun point du cercle trigonométrique C etO;i;jun repère orthonormal. Notonsxla mesure −→ −−→ en radians de l’angle (i;OM). Alors, les coordonnées deMsontM(cos(xsin() ; x)).

sinx −→ j

O

M

x cos − x → i

•La fonction cosinus et la fonction sinus sont définies surR. •La fonction cosinus est paire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordon nées, tandis que la fonction sinus est impaire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère. •Elles sont périodiques de période 2π: pour toutx, cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x) (donc les courbes entières se déduisent de la partie tracée sur l’intervalle [0 . 2π] par translations successives de −→ vecteur 2πi.

cosinus

−→ j

sinus

−→ O i

π 2

π

3π 2

2π

VIIFonctions associées : Soitfune fonction définie sur un intervalleI, de courbe représentative C f . 1. Sigest définie parg(x)=f(x)+b, alorsgest définie surIet C g s’obtient à partir de C f par une translation −→ de vecteurb j. −→ 2. Sigest définie parg(x)=f(x−a), alorsgest définie sur le translaté deIde vecteura iet C g s’obtient à −→ partir de C f par une translation de vecteura i. ³ ´ π Exemple : Pour toutx, sin(x)=cosx−(voir chapitre de trigonométrie) donc les deux fonctions sont 2 associées ; la courbe représentative de la fonction sin s’obtient à partir de celle de la fonction cos par une −→ π −→ translation de vecteuri(c’est pour cela qu’on appelle les deux des sinusoïdes). 2

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−→ 3. Sigest définie parg(x)=f(x−a)+b, alorsgest définie sur le translaté deIde vecteura iet C g s’obtient −→−→ à partir de C f par une translation de vecteura i+b j. 4. Sigest définie parg(x)= −f(x),ga le même ensemble de définition et C g est symétrique de C f par rapport −→ à l’axe des abscisses (O i). Illustrations graphiques :

1)

3)

−→ j 1.j O

−→ C g i −→ 1.j

C f

g(x)=f(x)+1

−→ j O

C f

−→ i

C g

−→−→ 2.i+j

−→−→ 2.i+j

g(x)=f(x−2)+1

o Exercices n 25  26  27  28  31  32 o n 33  34  36  38

2)

4)

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−→ j O

C f

−→ i

−→ 2.i C g

g(x)=f(x−2)

C g

−→ j O

C f

−→ i

g(x)= −f(x)

−→ 2.i

VIII

Centre de symétrie d’une courbe

(Exercice page 26). Première méthode : 2 x+3 Soitfla fonction définie surR\ {−1} parf(x)=; C est sa courbe représentative. x+1 Montrer que C admet le pointI(−1 ;−2) comme centre de symétrie On utilise la propriété suivante : C , courbe représentative d’une fonctionf, admet le pointI(a;b) comme centre de symétrie si et seulement si, pour touth tel quea+h∈ D ,a−h∈ D f etf(a+h)+f(a−h)=2b(autrement dit, le symétrique deMpoint de la courbe par rapport àIest aussi sur la courbe)

Seconde méthode : changement de repère : 3 2 Soitfla fonction définie surRparf(x)=x−9x+30x−34. Montrons queI2) est centre de symétrie de la(3 ; courbe C f . Pour cela, on prend comme nouveau repère le repère centré enIet avec les mêmes vecteurs de base ; la nouvelle fonctionFassociée à la courbe dans ce repère doit être une fonction impaire. ½ X=x−3 On pose : d’où, pourx=3 ety=2,X=Y=0. Y=y−2 ½ x=X+3 Par conséquent : y=Y+2 3 2 3 2 3 2 2 On ay=f(x)=x−9x+30x−34 doncY+2=(X+3)−9(X+3)+30(X+3)−34=X+9X+27X+27−9X− 3 54X−81+30X+90−34=X+3X+2. 3 Par conséquent :Y=X+3X=F(X) oùFest bien une fonction impaire.

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