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REGLES DE CALCUL - EQUATIONS - INEQUATIONS I) A PROPOS DES NOMBRES 1) Les différents ensembles de nombres • Les entiers naturels sont les nombres qui servent à compter. : 0 1 2 3 4 ... 1000 ... • Les entiers relatifs sont les entiers naturels et leurs opposés : ... − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 ... • Les décimaux sont les nombres qui n'ont pas une infinité de chiffres après la virgule 1 1 : −2,712 = 0,5 : c'est un décimal par contre = 0,3333…. n'est pas un décimal 2 3 • Les rationnels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction (quotient de 2 entiers) 5 4 3 : − 5 par contre n'est pas un rationnel 7 19 p nde• Les réels englobent tous les nombres que nous connaissons en 2 –1 0 1 2 3 –3 –2 : 1/3 –1,6 3 Exercice : Classer les nombres suivants dans le bon ensemble : 5 72 14 0,003 0 −593 − 2 9 100 63 19 1858,2 −190,08 p 5 7 21+ 5 9 p3 3 − 4 2 11 3 Remarques : • Tout élément de est aussi un élément de . On dit que est inclus dans et on écrit : De même, on a : • On note aussi : + est l'ensemble des réels positifs ou nuls * est l'ensemble des rationnels sauf zéro − {5} est l'ensemble des entiers naturels sauf 5 p28 : 45, 46, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 58 p34 : 159 2) Les différentes ...

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• Publié par: Olle
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REGLES DE CALCUL - EQUATIONS - INEQUATIONS     I) A PROPOS DES NOMBRES   1) Les différents ensembles de nombres    Les entiers naturelssont les nombres qui servent à compter. • : 0 1 2 3 4 ... 1000 ...

•Les entiers relatifssont les entiers naturels et leurs opposés  2 − 1 − 3: ... − 0 1 2 3 ...  •Les décimauxsont les nombres qui n'ont pas une infinité de chiffres après la virgule         aliméc dnu tse'c : 5,0 = 1        :     . 0n,'3 1 3 3 3 3=…praes   ecsotn tcaépm irnud la      −2,712  2 •Les rationnelssont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction (quotient de 2 entiers)     − 1 4   7      5  :         5    9        tre π  pst'e n  3 itnoenlsau  nar     par con •Les réelsenglobent tous les nombres que nous connaissons en 2 nde    0 1 3 2  : 3 2  1,6  1  1/3     3   Exercice : Classer les nombres suivants dans le bon ensemble :   5  0,003    0   −593   −  1 7 0 2 0     2     1 6 4     9 3 58,2     −190,08       5        1 7 9       π   8 2       1    33 1+59  −  π 3 4  2 11     Remarques : •Tout élément deest aussi un élément de. On dit queest inclus danset on écrit :    De même, on a :           On note aussi : •  + est l'ensemble des réels positifs ou nuls * est l'ensemble des rationnels sauf zéro l'ensemble des entiers naturels sauf 5− {5} est     p28 : 45, 46, 51, 53, 54, 55, 56, 57,58   p34 : 159

2) Les différentes écritures d'un nombre Un nombre peut en général avoir plusieurs écritures différentes : 1  0,5 = 2 = 5×10 −1    écriture décimale écriture fractionnaire notation scientifique  (quotient d'entiers) a×10 p avec 1a < 10     3) Calculatrices et valeurs exactes Avec la calculatrice : 1 0,99999 = 1,00001 dès qu'une calculatrice n'est pas capable d'afficher la v ,99 1 999  − 1,00001   résultat, elle l’arrondit sans prévenir ! d'un 0 ! 0  

aleur exacte

p32 : 115, 116, 118, 119, 120 p36 :185 

II) REGLES DE CALCUL   1) Avec la calculatrice : 1 0 = 0 = −1 = 0 Ainsi, dans un calcul avec des inconnues, il faut toujours vérifier que : •les dénominateurs sont non nuls •les radicandes sont positifs ou nuls   2) Quotients :   CONDITIONS REGLE   − aa a b = = −  −b     b   a c ad+bc b + d = bd   a c ac b × d = bd   a    b    a d     = c b × c    d      3) Racines :   CONDITIONS REGLE

  0 = 0 ab=a b a a   b = b     4) Puissances :  (n∈ * et m∈ *)   CONDITIONS REGLE   0 a 1 = −n 1 a= n   a m a×a n =a m + n   m a m − n n =a a × (a m )  nn m  =a (ab) n =a n b n   a   a b   n n     = b n  

Il n'y a pas de règle aveca+b 

Il n'y a pas de règle aveca m +a n  

p25 : 25, 28, 29, 31, 34 p29 : 73, 74, 76, 78, 79 p32 : 123, 125, 126, 128, 135, 138

III) LES NOMBRES PREMIERS   1) Définition   Un nombre premier est un entier naturel que l'on ne peut diviser que par lui-même ou par 1. Remarque : 1 n'est pas considéré comme étant un nombre premier.   Ex:29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71 ...2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; Par contre, 12 = 3×4 donc 12 n'est pas premier.     2) Décomposition d'un nombre en produit de nombres premiers.   Tout entier naturel supérieur à un qui n'est pas premier peut se décomposer en un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique.   Ex:décomposons 72 : Au brouillon : Sur la copie : 72 2 36 2 72 = 2 3 × 3 2   18 2 9 3 3 3         3) Cette décomposition permet de simplifier certaines fractions ou racines. Ex: Simplifions A =  72 × 10 9 4− × 3 × 36 2   −60 × 10 − × 25 × 5 2 3 × 3 2 × (2 × 5) −4 × 3    A = −  2 2 × 3 × 5 × (2 × 5) −9 (   2 ×  × 5   2 5  3  ×     × 2 ) 2      2 3 × 3 2  2 −4 × 5 −4 × 3 × 2 2 × 3 2 × A = −  2 2 × 3 × 5 × 2 −9 × 5 −9 × 5 2 × 5 2   A = − 2 3−4+2−2+9 × 3 2+1+2−1 × 5 −4−1+9−2−2   A = − 2 8 × 4  3   Ex: Simplifions B = 72 B = 2 3 × 3 2    B = 6 2  

p24 : 11, 13, 18 p29 : 59, 60, 67, 68, 69, 70, 71 p31 : 102, 106, 107, 108 p37 : 187, 189

IV) FACTORISER UNE EXPRESSION   Factoriser une expression, c’est chercher à la transformer en un produit ou un quotient de facteurs si possible du 1 er degré. Pour cela, 3 possibilités à essayer dans l’ordre :   1) D’abord, chercher un facteur commun   A = (4x –3)(x+ 2)– x(8x –6)–4x+ 3 A = (4x –3)(x+ 2)–2x(4x –3)–(4x –3) A = (4x –3)[x+ 2–2x –1]   A = (4x –3)(1– x)     2) Ensuite seulement, chercher une identité remarquable   B = 32x 2  –48x+ 18   2 B = 2 (16x24x+ 9) – B = 2 (4x –3) 2       3) Puis, en dernier recours, chercher à faire apparaître une identité remarquable   Dans une factorisation, il arrive que l'on n'ait pas vu un facteur commun ou une identité remarquable. On finit souvent par se retrouver devant une expression du second degré que l'on ne sait pas factoriser. Voici une petite ruse de calcul qui rend service :   C = 2x 2 +x− 3    3 m  a formex 2 +b x C = 2    x 2 + 1    2  ×x−  2     sous l ettre +c    C = 2       x + 4 1    2 −  1 1 6  −  2 3     sous la forme mettre   x 2  + b    2 – …  C = 2       x+ 1   4    2 −  6 2 1 5     A reconnaître 2 – B 2     5 2 C = 2       x 1 4 +     2      4        − C = 2       x 1 4 +  −  4 5       1 5         x  4   ++  4 C = 2 (x− 1)    x 2 3  +        C = (x− 1) (2x+ 3)    

p30 : 84, 87, 90, 93, 94, 95, 98, 99, 100, 101

V) EQUATIONS ilaci-pme-uqitno-cmp2ceenaliv oc.d   1) Equivalences   Résoudre une équation, c'est trouver toutes les solutions et seulement les solutions de cette équation. C'est la raison pour laquelle nous procéderons toujours par équivalences successives en nous appuyant sur les propriétés suivantes :     A, B, C étant des réels quelconques, on a :   •A = B⇔ (1)A + C = B + C •A = B⇔ (2)A − C = B − C    •Si C0 alors: A = B⇔AC = BC (3) •Si C0 alors: A = B⇔ )  C 4(  B  = A C   •AB = 0⇔ (5)A = 0 ou B = 0     Ex:Résoudre dans, (E) : 3x 2 = 9x    Méthode fausse :  Equivalence fausse : (E)⇔3x cf= 9  a divisé les 2 membres de  (4)  On (E)⇔ x cf= 3  (E)  (4)  parxqui peut être nul ! S = {3}   Méthode juste : (E)⇔3x 2 − 9x (2) cf= 0 (E)⇔3x(x− 3) = 0 (E)⇔3x= 0 oux cf (5)− 3 = 0 (E)⇔ x= 0 oux (4) et (1)= 3 cf S = {0 ; 3}      Faire les exercices suivants en écrivant bien les équivalences et, à chaque fois que l’on utilise une des propriétés ci-dessus, en précisant laquelle.   p33 : 139, 142, 146 p34 : 147, 150

2) Conditions surx    Avant de transformer l'équation pour la résoudre, il faut commencer par éliminer les valeurs dexqui sont "interdites" car : •Elles annulent un dénominateur •Elles rendent strictement négatif un radicande.     3) Dans les exercices   Exemple Méthode 2 6x 2 − 4x Résoudre dans: (E) x 3 +  x 1 =  (3x− 2)(x+ 1) ons :      ( x+  3x 1  −     (2)  0 x+ 1) 0 etx  vant 2 3   A  Conditi⇔ x  −1 toute chose, penser aux conditions

 3 (E)⇔    x+ x   2 −  (31   x − 6x   2   2 −  2)(x 4x + 1) = 0  cf (2)  x −1 etx  3  −  (3x 2)(x + 1) = 0 − (E)⇔       x+  3x   2 2 1 x(3x− 2) 2 x −1 etx  3    x+  3x   2 1 − x+  2x 1 = 0 (E)⇔   x −1 etx   3 2   3x 2 − 2x x  0 + 1  = (E)⇔     2 x −1 etx  3    (E)⇔      x( x 3x = 1 0  )2 −  +  2 x −1 etx  3        x x (3   x) e 2 t     −  −1 x =   2  ( )3  0 3 fc (E)⇔      x= 0 o  u3 1 et x x      c  3 2    )5(  − f  2 = 0 (E) ⇔    x − = ux  3  =     x0 o  tx  )4 t 2 e( (1)  cf    2 3 (E)⇔  x −1 e (E)⇔ x= 0 S = {0}  

Ensuite, à chaque étape, penser à l’équivalence et réécrire les conditions

Factoriseren unproduit nul…

… pour utiliser la propriété : Unproduitestnulssi l’un des facteurs est nul

 

  Conclure par S … =

p33 : 143, 144 p34 : 154, 156, 157, 158, 165 p35 : 166, 169, 177, 180

VI) INEQUATIONS

  1) Intervalles de 

  a) Définition

aetbsont deux réels tels quea<b  L'intervalle fermé [a;b] est l'ensemble des réelsxtels quea  x  b     [ ] a              b      L'intervalle ouvert ]a;b[ est l'ensemble des réelsxtels quea<x<b    ] [   a              b      Ex:x [1 ; 5[⇔1x<5   b) intervalles illimités

Considérons l'ensemble des réelsxtels quex 1 Cet ensemble est illimité "à droite"   On le note [1 ; +[  "plus l'infini"   c) Dans, il y a donc équivalence entre les notations suiva

   

x [1 ; 5[⇔   ⇔ x< 10 x ]0 ; 1[⇔   ⇔  ⇔ x   +    ⇔ x 0⇔  

ntes :

p58 : 90 − 93 p60 : 139, 140, 142

2) Equivalences   Pour être certain de résoudre les inéquations par équivalences successives, nous nous appuierons sur les propriétés suivantes :     A, B, C étant des réels quelconques, on a :   •A > B⇔A + C > B + C (a) •A > B⇔ (b)A − C > B − C •Si C > 0 alors: A > B⇔ (c)AC > BC Si C < 0 alors: A > B⇔AC < BC A B •Si C > 0 alors: A > B⇔ (d)C > C A B Si C < 0 alors: A > B⇔ C   <   C     Il n’y a pas de propriété simple pour les inéquations produit ! Ex : ABC0⇔(A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) ou (A0 et B0 et C0) !!!! Il nous faudra donc trouver autre chose : les tableaux de signes…     Ex:Résoudre dans, (I) : x 4 1   Conditions :x 0   Méthode fausse : (I)⇔       4x f (d)  Equivalence fausse :  c  On a multiplié les 2 membres de (I) parx  S = ]- x ; 0   0[  qui peut être soit positif, soit négatif ! ]0 ; 4]   Méthode juste :   4   (I)⇔     x x  0  1 − f  c 0  ) (b (I)⇔       4 x    x −    x 0 0 (I)⇔(4 −x 0 etx> 0) ou (4 −x 0 etx< 0) (I)⇔(x 4 etx> 0) ou (x 4 etx< 0) (I)⇔0 <x 4  S = ]0 ; 4]   p58 : 110, 111 p59 : 122

3) Signe d’une expression du 1 er degré (ax+b aveca 0)  

  a) Exemple : signe de−2x+ 3

−2x+ 30⇔ −2x −3⇔   x    3 2    −2x+ 30⇔ −2x −3⇔   x   2 3   Récapitulons ces résultats dans un "tableau de signe" :

 3/2 +  x  − −2x 0 − ++ 3     b) Propriété 

Dans un tableau de signe : "A droite" de − b a  l’expressionax+best du signe dea. "A gauche" de − a b  l’expression est du signe contraire.

    c) Démonstration Soit (I) :x> − a b  (a 0) (I)⇔      a 2  x> −ba   a 0 2    a x+ab> 0 (I)⇔    a 0 (I)⇔       a a(  a   x  + 0 b) > 0 (I)⇔       a a   x      0 +b eta sont du même signe   Bilan, poura 0 on a :x> − b a    ⇔   ax+b est du signe dea       

p59 : 130, 137

4) Dans les exercices

  Exemple

Résoudre dans:   ( )I   4   (  x x+ 1)  + 3      x+ 1 Conditions :x+ 30⇔ x −3

 x  (I)⇔       4 (x(− ) 1 +  + x +)(     3 1x  0 + 3)   x −3 (I)⇔     (x+ 1) x   − +  (4 3  x− 3) 0     x −3 (x+ 0 (I)⇔         x+ 3   1(− 1 )x) x −3 x   + 1 –1 –3    x – –+ 1 0 + + 1 –x + + + 0 –   x+ 3 – 0 + + + Quotient + – 0 + 0 –       S = ]−; −3[[−1 ; 1]    

Méthode

 

Déterminer les conditions

Factoriser en un produit ou un quotient supérieur ou inférieur à zéro

Faire untableau de signe 

Conclure par S … =

p59 : 114, 125, 116, 119, 120, 127 p58 : 112 p59 : 121, 128, 131 p60 : 146, 149