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Chapitre 3APPLICATIONS LIN AIRESETSEMI-DUALIT Dans tout ce qui suit F et G dØsignerons des espaces localement convexes.Versiondu19janvier2005Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 13573.1 Espaces dap’ plications linØaires3.1 Espaces dapplications linØairesFDEFINITION 1 Nous dØsignerons par L(F,G) le sous-espace vectoriel de G formØ desapplicationslinØairesdeF dansGetparL(F,G)lensembledesapplicationslinØairescontinuesde F dans G .LEMME L(F,G) est un sous-espace vectoriel de L(F,G).C est immØdiate par le thØorŁme et le corollaire 2.2, car pour tout S,T ∈L(F,G) , α∈Ket toute semi-norme continue q sur G,onaq◦(α•S)=|α|•q◦Setq◦(S +T)6q◦S +q◦T 6 2•max(q◦S,q◦T) .⁄DEFINITION 2 EtantdonnØdessemi-normespetq surF etGrespectivement,onconsidŁresur L(F,G) la fonctionnelleT kTk :=sup q(Tϕ)∈R .+ϕ∈F,p(ϕ)61p,qElle est Øvidemment sous-linØaire et, sikTk <∞,onap,qq(Tϕ)6kTk •p(ϕ) pour tout ϕ∈Fp,qpar le lemme 2.2.LEMME Soit T ∈ L(F,G).PourqueT ∈L(F,G),ilfautetilsuffit que, pour toute semi-norme continue q sur G , il existe une semi-norme continue p sur F telle que kTk <∞ .p,qn fl oflp,qREMARQUE 1 En posantL (F,G):= T ∈L(F,G) kTk <∞ et en dØsignant parfl p,qP et Q lensemble des semi-normes continues sur F et respectivement G , on a donc" #\ [p,qL(F,G)= L (F,G) .q∈Q p∈PCecimontrelanaturecomplexedeL(F,G)etquiln estpasØvidentdelemunirdunestructured’espace localement convexe canonique liØe directement à celles de F et G.Enfaitonpeut136 SEMI-DUALIT Claude Portenier’ ...

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Chapitre 3
APPLICATIONS LIN AIRES
ET
SEMI-DUALIT
Dans tout ce qui suit F et G dØsignerons des espaces localement convexes.
Versiondu19janvier2005
Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 1357
3.1 Espaces dap’ plications linØaires
3.1 Espaces dapplications linØaires
FDEFINITION 1 Nous dØsignerons par L(F,G) le sous-espace vectoriel de G formØ des
applicationslinØairesdeF dansGetparL(F,G)lensembledesapplicationslinØairescontinues
de F dans G .
LEMME L(F,G) est un sous-espace vectoriel de L(F,G).
C est immØdiate par le thØorŁme et le corollaire 2.2, car pour tout S,T ∈L(F,G) , α∈K
et toute semi-norme continue q sur G,ona
q◦(α•S)=|α|•q◦S
et
q◦(S +T)6q◦S +q◦T 6 2•max(q◦S,q◦T) .

DEFINITION 2 EtantdonnØdessemi-normespetq surF etGrespectivement,onconsidŁre
sur L(F,G) la fonctionnelle
T kTk :=sup q(Tϕ)∈R .+ϕ∈F,p(ϕ)61p,q
Elle est Øvidemment sous-linØaire et, sikTk <∞,onap,q
q(Tϕ)6kTk •p(ϕ) pour tout ϕ∈F
p,q
par le lemme 2.2.
LEMME Soit T ∈ L(F,G).PourqueT ∈L(F,G),ilfautetilsuffit que, pour toute semi-
norme continue q sur G , il existe une semi-norme continue p sur F telle que kTk <∞ .p,q
n fl oflp,qREMARQUE 1 En posantL (F,G):= T ∈L(F,G) kTk <∞ et en dØsignant parfl p,q
P et Q lensemble des semi-normes continues sur F et respectivement G , on a donc" #\ [
p,qL(F,G)= L (F,G) .
q∈Q p∈P
CecimontrelanaturecomplexedeL(F,G)etquiln estpasØvidentdelemunirdunestructure
d’espace localement convexe canonique liØe directement à celles de F et G.Enfaitonpeut
136 SEMI-DUALIT Claude Portenier
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Espaces d applications linØaires 3.1
munir cet espace de diffØrentes topologies localement convexes, chacune liØe un certain type
de problŁme (cf. 3.16).
Nous aurons essentiellement besoin de la topologie assez grossiŁre suivante :
DEFINITION 3 On dØsigne par L (F,G) et L (F,G) les espaces localement convexes ob-s s
Ftenus en restreignant la topologie de G de la convergence simple sur F .IlssontdØÞnis par
les semi-normes
T q(Tϕ) pour ϕ∈F et q semi-norme continue sur G
(cf. exemple 2.3.3).
Une suite (T ) converge vers T dans ces espaces si, et seulement si, pour tout ϕ∈ F ,k k∈N
la suite (T ϕ) converge vers Tϕ dans G .k k∈N
PROPOSITION Si G est sØparØ, alors L (F,G) et L (F,G) le sont aussi.s s
Etant donnØ T ∈ L (F,G)r{0},ilexisteϕ∈ F tel que Tϕ=0, donc une semi-normes
continue q sur G telle que q(Tϕ)=0par la proposition 2.5. ⁄
DEFINITION 4 Une partie B deF est dite bornØe si toute semi-norme continuep surF est
bornØesurB,i.e.supp(B)<∞ . Une partie bornØe deL (F,G) est dite simplement bornØe .s
REMARQUE 2 Dans lØtude de certaines classes d applications linØaires on pourrait s intØ-
resser au sous-espace vectoriel " #[ \
p,qL (F,G) ⊂L(F,G)
p∈P q∈Q
formØ des applications linØaires T de F dans G telles que pour une semi-norme continue p sur
F la partie T ({p6 1}) soit bornØe dans G (dØÞnition 4 ci-dessous); on dit que T est bornØe
sur un voisinage de 0 de F .
bMais aussi à l espace vectoriel L (F,G) des applications linØaires bornØes, i.e. telles que
limage de toutes parties bornØes de F soit bornØes dans G.Ona
bL(F,G)⊂L (F,G) .
THEOREME (de la majoration uniforme) On suppose que F est tonnelØ. Si T est une
partie simplement bornØe de L (F,G) , i.e. pour tout ϕ∈F , l’ensembles
T (ϕ):={Tϕ| T ∈T}
est bornØ dans G,lafonction
p : ϕ supq◦T (ϕ):F R
est une semi-norme continue sur F telle que
q(Tϕ)6p(ϕ) pour tout T ∈T et ϕ∈F .
C est immØdiat par le scolie 2.13, puisque chaque q◦T ,pourT ∈T , est une semi-norme
continue sur F . ⁄
Claude Portenier SEMI-DUALIT 137
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à7
3.1 Espaces dap’ plications linØaires
THEOREME (de Banach-Steinhaus) On suppose que F est tonnelØ. Si (T ) est unek k∈N
suite de L(F,G) telle que, pour tout ϕ∈F ,
Tϕ := lim T ϕ existe dans G ,k k
alors T : F G est une application linØaire continue et (T ) converge vers T dansk k∈N
L (F,G) .s
Si G sØquentiellement complet, alors L (F,G) est sØquentiellement complet.s
Il est clair que T : F G est une application linØaire. Si q est une semi-norme continue
sur G,alors
q◦T (ϕ)=q(Tϕ)=lim q(T ϕ)6 sup q(T ϕ)=sup q◦T (ϕ)<∞ .k k k kk k
Mais chaque q◦T est une semi-norme continue, puisque T est continue, donc sup q◦T enk k kk
est aussi une par le scolie 2.13. Ceci montre queq◦T estcontinueetprouvequeT est continue.
On a Øvidemment
q(Tϕ)=lim q(T ϕ) pour tout ϕ∈F ,k k
donc (T ) converge vers T dans L (F,G) .k sk∈N
Si G est sØquentiellement complet et (T ) est une suite de Cauchy dans L (F,G),pourk sk∈N
tout ϕ∈F ,lasuite(T ϕ) est de Cauchy dans G , ce qui permet de dØÞnirk k∈N
Tϕ := lim T ϕ∈G ,k k
d’oø le rØsultat. ⁄
REMARQUE 3 Tout ce qui prØcŁde est encore valable en remplaant linØaire par semi-
linØaire.
∗DEFINITION 5 On dit que lespace vectoriel F :=L(F,K)desformeslinØairessurF est
0le dual algØbrique de F et que lespace vectoriel F := L(F,K)desformeslinØairescontinues
sur F est le dual (topologique) de F .
L espace vectoriel de toutes les formes semi-linØaires sur F ,lesemi-dual algØbrique de F ,
~sera notØ F , celui de toutes celles qui sont continues, le semi-dual (topologique) de F ,par
†F .
∗ 0 ~ †Nous munirons toujours F , F , F et F de la topologie de la convergence simple sur
∗ 0 ~ †F ; sil faut prØciser nous les dØsignerons par F , F , F et F respectivement. On dit queσ σ σ σ
∗ 0 ~ †cette topologie est la topologie faible surF , respectivement F ,F et F ;elleestdØÞnie par
les semi-normes
µ |µ(ϕ)| pour ϕ∈F .
0 †On dit que F et F sont le dual respectivement le semi-dual faible de F .
∗ 0 ~ †COROLLAIRE Les espaces localement convexes F , F , F et F sont sØparØs. Si F estσ σ σ σ
0 †tonnelØ, alors F et F sont sØquentiellement complet.σ σ
1APPLICATION Si f est une fonction µ-modØrØe telle que ϕ•f ∈L (µ) pour tout ϕ∈
2 2L (µ),alorsf ∈L (µ) .
138 SEMI-DUALIT Claude Portenier
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ç
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7
7
7
7
Espaces d applications linØaires 3.1
Pour tout K ∈ K(X) , la fonction 1 •f est µ-mesurable par le thØorŁme 15.9 du coursK
d Analyse [17]. Soit (A ) unesuitecroissantedepartiesµ-intØgrables telles que f s annulek k∈NS
hors de A et posonsk
B :={|f|6k}∩A .k k
La forme semi-linØaire Z
2ϕ ϕ•fdµ :L (µ) K
Bk
est continue, puisque par l inØgalitØ de Cauchy-Schwarz, on afl fl µ ¶ µ ¶Z Z Z2fl fl
2 2 22fl flϕ•fdµ 6 |ϕ| d • 1 •|f| d 6k •µ(B )•kϕk .B kk 2fl fl
Bk
Mais comme
1|1 •ϕ•f|6|ϕ•f|∈L (µ) pour tout k∈N ,Bk
le thØorŁme de la convergence dominØe de Lebesgue montre queZ Z
2ϕ•fdµ =lim ϕ•fdµ pour tout ϕ∈L (µ) .k
Bk
Gr ce au thØorŁme de Banach-Steinhaus 3.2, on en dØduit que la forme semi-linØaireZ
2ϕ ϕ•fdµ :L (µ) K
2est continue, donc que f satisfait la condition du thØorŁme 1.16.ii avec F =L (µ) . ⁄
REMARQUE 4 En travaillant avec lintØgration essentielle on peut supprimer lhypothŁse
de modØration.
En effet on a Z Z
|ϕ•f| d =sup |ϕ•f| d K∈K(X),l∈N
Kl
en ayant posØ K :=K∩{|f|6l} (cf. cours dAnalyse [17], remarque 15.12). Maislµ ¶ µ ¶ µ ¶Z Z Z2
2 2 22|ϕ•f| d 6 |ϕ| d • 1 •|f| d 6l •µ(K)•kϕk ,K ll 2
Kl R
2ce qui montre que ϕ |ϕ•f| d est une semi-norme continue surL (µ).Lescolie2.13
Kl R
2prouve alors quil en est de mŒme de ϕ sup |ϕ•f| d , puisqueL (µ) estK∈K(X),l∈N KR l
tonnelØ (cf. exemple 2.13.1), donc que ϕ ϕ•fdµ est une forme semi-linØaire continue.
Kl ⁄
Claude Portenier SEMI-DUALIT 139
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3.2 Espaces normØs d applications linØaires
3.2 Espaces normØs dapplications linØaires
Dans le cas des espaces normØs, on peut considØrer la fonctionnelle sous-linØaire suivante :
DEFINITION 1 Soient F et G des espaces normØs. Pour tout T ∈L(F,G),onpose
kTk :=kTk =sup kTϕk ∈R .+ϕ∈F,kϕk 61k•k ,k•k GF G F
Cf. dØÞnition3.1.2.RappelonsquekTkestlapluspetitedesconstantesM ∈R satisfaisant+
à l inØgalitØ fondamentale
kTϕk 6M•kϕk pour tout ϕ∈F
G F
(cf. lemme 2.2). On a Øvidemment T ∈L(F,G) si, et seulement si, kTk<∞ . Dans ce cas on
dit que T est un opØrateur bornØ .
On vØriÞeimmØdiatementquek•k est une norme sur L(F,G) .
DEFINITION 2 L espace L(F,G) ainsi normØ est dØsignØ par L (F,G);onditquesab
topologie est la topologie de la convergence bornØe .
0On dit que F :=L (F,K) est le dual fort de F . Sa norme est dØÞnie parbβ
µ kµk :=kµk := sup |µ(ϕ)| .ϕ∈F,kϕk 61k•k ,|•| FF

On dØÞnitdemŒmelesemi-dualfortF de F .β
Unesuite(T ) deL(F,G)convergeversT dansL (F,G)si,etseulementsi,elleconvergek bk∈N
uniformØment sur toute partie bornØe, en particulier toute boule, de F .
∗En effet si B est une partie bornØe de F ,ilexister∈R tel que B⊂B(0,r) et on a+
kTk 6kTk 6r•kTk .∞,B ∞,B(0,r)

PROPOSITION Si GestunespacedeBanach,ilenestdemŒmedeL (F,G) .b
En particulier, le dual fort de tout espace normØ est un espace de Banach.
∞La dØmonstration est complŁtement analogue celle faite pour dØmontrer que ‘ (X) est
complet. Elle est donc laissØe en exercice. ⁄
Voici maintenant la reformulation du
THEOREME (de la majoration uniforme) Si F est un espace de Banach et
T ⊂L(F,G)
un ensemble simplement bornØ, i.e. bornØ dans L (F,G) , ce qui signiÞeques
supkTϕk<∞ pour tout ϕ∈F .
alors T est uniformØment bornØ, i.e. bornØ dans L (F,G),cequisigniÞequeb
supkTk<∞ .
140 SEMI-DUALIT Claude Portenier
à
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Espaces normØs d applications linØaires 3.2
En effet ϕ supkT ϕk est une semi-norme continue sur F parlethØorŁmedelamajora-
tion uniforme 3.1. Il existe donc une constante M ∈R telle que+
supkTϕk6M•kϕk pour tout ϕ∈F ,
et on obtient ¡ ¢
supkTk=sup sup kTϕk 6M<∞ .T∈T ϕ∈F,kϕk61

THEOREME (de Banach-Steinhaus) Si F est un espace de Banach et (T ) une suitek k∈N
de L(F,G) qui converge simplement vers T ∈L(F,G),alorsT est continue et
kTk6 liminf kT k6 sup kT k<∞ .k k kk
En effet, par le thØorŁme de la majoration uniforme, on a
kTϕk =lim kT ϕk6 liminf kTk•kϕk6 sup kT k<∞k k k k kk
pour tout ϕ∈F tel quekϕk6 1 , puisque (T ) est Øvidemment simplement bornØe. ⁄k k∈N
Claude Portenier SEMI-DUALIT 141
−→7
b3.3 OpØrateurs noyaux dans C
b3.3 OpØrateurs noyaux dans C
2Cas simple Soient [a,b] un intervalle compact deR et κ:[a,b] K.Onditqueκ est
un noyau . Supposons queκ est une fonction continue. Pour tout γ∈C([a,b]),onposeZ b
Kγ(x):= κ(x,y)•γ(y) dy .
a
La fonction Kγ est continue. En effet si (x ) est une suite de [a,b] qui converge vers x ,k k∈N
alors
lim κ(x ,•)•γ =κ(x,•)•γ ponctuellement sur [a,b]k k
et
1|κ(x ,•)•γ|6kκk •kγk •1∈L ([a,b]) ,k ∞ ∞
puisque κ et γ sont continues. Par le thØorŁme de la convergence dominØe de Lebesgue on
obtient Z Zb b
lim Kγ(x )=lim κ(x ,y)•γ(y) dy = lim κ(x ,y)•γ(y) dy =k k k k k k
a aZ b
= κ(x,y)•γ(y) dy =Kγ(x) .
a
Ceci montre que lon peut dØ Þnir une application
K : γ Kγ :C([a,b]) C([a,b]) .
Elle est Øvidemment linØaire. Estimons kKk . Pour tout γ∈C([a,b]),onafl flZ Z
b bfl flfl flkKγk =sup κ(x,y)•γ(y) dy 6kγk •sup |κ(x,y)| dy ,∞ x∈[a,b] ∞ x∈[a,b]fl fl
a a
donc Z b
kKk6 sup |κ(x,y)| dy <∞ .x∈[a,b]
a
CecimontreaussiqueK estuneapplication linØairecontinuedeC([a,b]) dans lui-mŒme.Ondit
quecestun opØrateur intØgral,ouunopØrateur noyau ,ouencoreunopØrateur de Fredholm .
Nous allons maintenant montrer que l on aZ b
kKk=sup |κ(x,y)| dy <∞ .x∈[a,b]
a Rb
Soit ξ∈ [a,b] un point oø la fonction continue |κ(•,y)| dy atteint son maximum. Consi-
a∗dØrons pour tout k∈N , la fonction continue
κ(ξ,•)
γ := .k 1|κ(ξ,•)|+
k
142 SEMI-DUALIT Claude Portenier
à ’
−→ −→

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à
à7
bOpØrateurs noyaux dans C 3.3
On a kγ k 6 1 et lim κ(ξ,•)•γ = |κ(ξ,•)| ponctuellement sur [a,b].ParlethØorŁmedekk ∞ k
Lebesgue on obtient fl flZ Zb bfl flfl fl|κ(ξ,y)| dy = lim κ(ξ,y)•γ (y) dy 6 lim |Kγ (ξ)|6k kk kfl fl
a a
6 sup kKγ k 6 sup kKk•kγ k 6kKk ,k k k k∞ ∞
donc Z b
kKk = |κ(ξ,y)| dy .
a
Cas gØnØral Soient X un espace mØtrique, Y un espace complØtement rØgulier, κ : X ×
Y K un noyau et ν une intØgrale de Radon sur Y . On fait les hypothŁses suivantes :
1(a) Pour tout x∈X,onaκ(x,•)∈L (ν) .
bSi γ∈C (Y),onpeutalorsdØÞnirZ
Kγ(x):= κ(x,y)•γ(y) dν(y) pour tout x∈X .
(b) Pour tout ξ∈X , il existe une partie ν-nØgligeableN deY telle queκ(•,y) soitcontinueξ
en ξ pour touty/∈ N .ξ
1(c) Pour tout ξ∈ X,ilexisteunvoisinageV de ξ dans X et une fonction g ∈L (ν) telsξ ξ +
que, pour tout x∈V ,onaitξ
|κ(x,•)|6g ν-p.p.ξ
Si (x ) est une suite de V convergente vers ξ,alorsonak ξk∈N
lim κ(x ,y)•γ(y)=κ(ξ,y)•γ(y) pour touty/∈Nk k ξ
et
|κ(x ,•)•γ|6kγk •g ν-p.p. ,k ξ∞
cequinouspermetd’appliquerlethØorŁmedelaconvergencedominØedeLebesgue:Z Z
lim Kγ(x )=lim κ(x ,y)•γ(y) dν(y)= κ(ξ,y)•γ(y) dν(y)=Kγ(ξ) .k k k k
On a donc Kγ∈C(X) et
bK :C (Y) C(X):γ Kγ
est une application linØaire.Z
(d) M := sup |κ(x,y)| dν(y)<∞ .x∈X
On a alors fl flZfl flfl flkKγk =sup κ(x,y)•γ(y) dν(y) 6M•kγk ,x∈X∞ ∞fl fl
b b bdonc Kγ ∈ C (X) et kKk 6 M ,i.e.K : C (Y) C (X) est une application linØaire
continue.
Les mŒmes mØthodes permettent de dØÞnir des opØrateurs noyaux par exemple entre les
pespacesL .
Claude Portenier SEMI-DUALIT 143
à
−→
−→ −→
−→
àb3.3 OpØrateurs noyaux dans C
EXERCICE 1 On peut montrer, en approximant sgn(κ(ξ,ƒ)) par une suite de fonctions
b 1continues bornØes sur Y (densitØ deC (Y) dansL (|κ(ξ,ƒ)|•ν) et thØorŁme de Riesz-Fischer)
que kKk =M .
EXERCICE 2 La diagonale
2∆ :={(x,y)∈ [a,b] |x =y}
2divise [a,b] en deux triangles
2D :={(x,y)∈ [a,b] |x>y}1
et
2D :={(x,y)∈ [a,b] |x<y} .2
2Soitκ:[a,b] Kunefonctiondontlarestriction chacundesdeuxtrianglesseprolonge
par continuitØ sur la diagonale, i.e. il existe des fonctions continues κ : D ∪∆ K tellesj j
queκ | =κ| pour j=1,2 .j D Dj j
Montrer que Z b
Kf(x):= κ(x,y)•f(y)dy
a
dØÞnit une application linØaire continue K dans C([a,b]) .
144 SEMI-DUALIT Claude Portenier
−→
à −→
à