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Appendice 2LES POLYNOMES ORTHOGONAUXCLASSIQUESdeJACOBILAGUERREetHERMITEVersion du 2 fØvrier 2004Claude Portenier ANALYSE FONCTIONNELLE 46762.1 Relations de rØcurrence2.1 Relations de rØcurrenceDEFINITION SoitX ⊂R et µ une intØgrales de Radon telle que, pour toutk∈N,onaitZk|id| d < ∞ .On dit que (p ) est un systŁme de polynmes orthogonaux par rapport à µ si, pour toutk k∈Nk∈N,ona(a) p ∈P , le sous-espace vectoriel des polynmes de degrØ 6k ,k k(b) p ⊥P .k+1 k∗Soit J un intervalle ouvert deR et ρ :J R .Onditqueρ est un poids si+Zk|id| •ρdλ <∞Jpour tout k∈N .Nous utiliserons, pour tout z∈C , la notation z!:=Γ(z+1)et rappelons la dØÞnition ducoefficient binomial gØnØralisص ¶ kYz z−l+1= pour tout k∈N .k ll=1THEOREME Il existe une relation de rØcurrence de la formeid•p =a •p +b •p +c •p ,k k k+1 k k k k−1en ayant posØ p =0.Enoutresip =g •1 , ge =0et−1 0 0 0k k−1 ∗p ∈g •id +ge •id +P pour tout k∈N ,k k k k−2on a g =0etkkp kg ge g kk k k+1 2, a = ,b= − ,c= •a .k k k k−1g g g kp kk+1 k k+1 k−1 2, pour tout k∈N .Si le systŁme est orthonormØ, alorsc =a .k k−1468 LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES Claude Portenier−→ôôPolyn mes orthogonaux classiques 2.22.2 Polyn mes orthogonaux classiquesLes polyn mes classiques orthogonaux sont caractØrisØs par le∗THEOREME Soient ρ : J R un poids et (p ) un systŁme de polyn mes orthogo-k+ k∈Nnaux associØ ρ . Les propriØtØs suivantes sont Øquivalentes :(i) (p ) est Øquivalent, i.e. aprŁs une ...

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Extrait

Appendice 2

LES POLYNOMES ORTHOGONAUX

Claude Portenier

CLASSIQUES

de

JACOBI

LAGUERRE

et

HERMITE

ANALYSE FONCTIONNELLE

Version du 2 février 2004

467

2.1

2.1 Relations de récurrence

Relations de récurrence

DEFINITION Soit X ⊂ R et µ une intégrales de Radon telle que, pour tout k ∈ N , on ait Z | id | k dµ < ∞ . On dit que ( p k ) k ∈ N est un système de polynômes orthogonaux par rapport à µ si, pour tout k ∈ N , on a (a) p k ∈ P k , le sous-espace vectoriel des polynômes de degré 6 k , (b) p k +1 ⊥ P k . Soit J un intervalle ouvert de R et ρ : J −→ R ∗ + . On dit que ρ est un poids si Z | id | k · ρ d λ J < ∞ pour tout k ∈ N . Nous utiliserons, pour tout z ∈ C , la notation z ! := Γ ( z + 1) et rappelons la dé Þ nition du coe ffi cient binomial généralisé µ k z ¶ = l = Y k 1 z − l l + 1 pour tout k ∈ N . THEOREME Il existe une relation de récurrence de la forme id · p k = a k · p k +1 + b k · p k + c k · p k − 1 , en ayant posé p − 1 = 0 . En outre si p 0 = g 0 · 1 , g e 0 = 0 et p k ∈ g k · id k + g e k · id k − 1 + P k − 2 pour tout k ∈ N ∗ , on a g k 6 = 0 et g p k k 2 a k = g g k k +1 , b k = g g e k k − g g k k + + 1 1 , c k = k p k k − 1 k , 2 µ ,µ · a k − 1 . pour tout k ∈ N . Si le système est orthonormé, alors

468

c k = a k − 1 .

LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES

Claude Portenier

Polynômes orthogonaux classiques 2.2 2.2 Polynômes orthogonaux classiques Les polynômes classiques orthogonaux sont caractérisés par le THEOREME Soient ρ : J −→ R ∗ + un poids et ( p k ) k ∈ N un système de polynômes orthogo- naux associé à ρ . Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) ( p k ) k ∈ N est équivalent, i.e. après une transformation a ffi ne et une renormalisation, à un système classique de polynômes. (ii) Formule de Rodrigues Le poids ρ est indé Þ niment dérivable, il existe un polynôme p > 0 sur J sans racine multiple tel que p = 0 sur ∂ J et une suite ( d k ) k ∈ N ⊂ R ∗ + tels que 1 ∂ k ¡ · p k ¢ pour tout k ∈ N . p k = d k · ρ · ρ (iii) Equation di ff érentielle de type hypergéométrique Le poids ρ est continûment dérivable, il existe un polynôme p > 0 sur J de degré 6 2 sans racine multiple tel que p = 0 sur ∂ J et une suite ( λ k ) k ∈ N ⊂ R tels que, pour tout k ∈ N , on ait Lp k := − ρ 1 · ∂ ( ρ · p · ∂ p k ) = λ k · p k ou bien p · ∂ 2 p k + q · ∂ p k + λ k · p k = 0 , où ∂ ( ρ · p ) q := . ρ Dans ce cas q est un polynôme de degré 1 , λ k = − k · · ∂ q + k − 1 · ∂ p ¸ 2 2 et les constantes sont données dans la table qui suit : Jacobi J k ( α , β ) Laguerre L ( k α ) Hermite H k J ] − 1 , 1[ ]0 , ∞ [ ] −∞ , ∞ [ ρ (1 − id) α α − − α , β · > (1 − 1 +id) β i α d > · e − i 1 d e id 2 Claude Portenier LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES 469

2.2

470

Norma- lisation g k k p k k 2 2 , ρ a k c k g k e b k

p

d k

λ k

q

Jacobi J k ( α , β )

Polynômes orthogonaux classiques

Laguerre L ( k α ) Hermite H k

J ( k α , β ) (1) = ¡ α k + k ¢ L ( k α ) (0) = ¡ α k + ¢ H k ∈ 2 k · id k + P k − 1 k 2 1 k · µ α + β k + 2 k ¶ ( − k 1 ! ) k 2 k ( α + 2 α β + β + + 2 1 k · ( + α 1 + ) · k k ) ! ! · · ( ( α β + + k β )! + k )! ( α k + ! k )! √ π · 2 k k ! · ( α + 2 β ( k + + 2 k 1) + ( α 1) + ( α β + + β k + + 2 1 k ) +2) − ( k +1) 2 1 ( β + k ) ( α + β 2 + ( α 2 k + )( k α ) + β + 2 k + 1) − ( α + k ) k − 2 k ( · β ( k − − α ) 1)! · ( α ( + α β + + β 2 k − 1)! ( − 1) ( k k − 1 − · ( α + k ) 0 + k )! 1)! − ( α + β + 2 k β ) 2 ( α + α 2 β + 2 k + 2) α + 2 k + 1 0

1 − id 2

( − 1) k · 2 k · k !

k · ( α + β + k + 1)

β − α − ( α + β + 2) · id

id

k !

k

α + 1 − id

LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES

1

( − 1) k

2 k

− 2 · id

Claude Portenier

Polynômes de Jacobi spéciaux

2.3 Polynômes de Jacobi spéciaux

Legendre : P k = J k (0 , 0) . Tchebyche ff : 1 · J ( − 21 , − 21 ) . 1 1 e espèce T k = ¡ − 2 k + k ¢ k 2 e espèce U k k + 1 · J k ( 1 2 , 1 2 ) . = ¡ 1 2 k + k ¢ Gegenbauer ou ultrasphériques : 1 G ( k γ ) = ¡ ¡ 2 γ γ − + k k 21 k + − k 1 ¢ ¢ · J k ( γ − 21 , γ − 1 2 ) pour 0 6 = γ > − 2 . et 1 γ ) G ( k 0) = lim γ → 0 γ · G ( k . Les valeurs des di ff érentes constantes sont données dans la table suivante :

Norma- lisation 1 1 k + 1 en 1

P k T k U k G ( k γ ) ρ 1 ¡ 1 − id 2 ¢ − 21 ¡ 1 − id 2 ¢ 21 ¡ 1 − id 2 ¢ γ − 1 2 ¡ 2 γ + k k − 1 ¢ γ 6 = 0 si = 0 k 2 1 si si k non γ = 0 k ) π ( 2 γ 1 + − k 2 ) γ · k Γ ! ( · 2 Γ γ ( γ + ) 2 γ 6 = 0 si 2 si si k no = n 0 γ = 0 2 π k 2 k +1 2( γ + k ) 2 γ + k − 1 2( γ + k )

π k = 0 2 π k p k k 2 , ρ 2 k +1 π 2 si k > 0 2 a k k +1 1 2 1 2 1 2 k + k 1 1 c k 2 k +1 2 2

Claude Portenier LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES

2.3

471

2.3

472

b k

d k

λ k

P k

0

T k

0

( − 1) k 2 k · k ! ( − 1) k · 2 √ k · π Γ ( k + 21 )

k · ( k + 1)

k 2

U k

0

( − 1) k · 2 k +1 · Γ ( k + 1 2 ) ( k +1) · √ π

k ( k + 2)

Polynômes de Jacobi spéciaux

G ( k γ )

0

( − 1) k · 2 k · k ! · Γ (2 γ ) Γ ( γ + k + 21 ) Γ (2 γ + k ) Γ ( γ + 21 )

k (2 γ + k )

LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES

Claude Portenier

Fonctions génératrices

2.4

2.4 Fonctions génératrices Il est souvent utile de connaître la fonction génératrice associée à un système de polynômes orthogonaux ( p k ) k ∈ N et une suite ( ρ k ) k ∈ N convenable, que lon introduit pour renormaliser les polynômes. Elle est dé Þ nie par ∞ Φ ( x, z ) := X ρ k · p k ( x ) · z k k =0 pour tout x ∈ J et | z | < R . En utilisant la théorie des fonctions on peut montrer que lon a ρ k Φ ( x, z ) R Jacobi J ( k α , β ) 2 − ( α + β ) ( 1 − z + √ 1 − 2 xz + z √ 2 ) 1 − − α 2 · x ( z 1 + + z z 2 + √ 1 − 2 xz + z 2 ) − β 1

Laguerre L ( k α ) Hermite H k Legendre P k Tchebyche ff T k Tchebyche ff U k

Gegenbauer G ( k γ )

1 1 k ! 1 1 1

1

xz/ ( z − 1) (1 e − z ) a +1 1 e 2 xz − z 2 ∞ 1 1 √ 1 − 2 xz + z 2 (1 − xz ) 1 1 − 2 xz + z 2 1 − 2 x 1 z + z 2 1 (1 − 2 x 1 z + z 2 ) γ γ 6 = 0 si 1 − ln (1 − 2 xz + z 2 ) γ = 0

Claude Portenier LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES

473

2.5

2.5 Polynômes de Jacobi

474

Polynômes de Jacobi

J ( k, α , β , x ) =  (1 − ( − x ) 1 − ) k α · · ( 2 1 k · + k ! x ) − β · D x k ³ (1 − x ) α · (1 + x ) β · ¡ 1 − x 2 ¢ k ´ J (0 , α , β , x ) = 1 J (1 , α , β , x )= 2 1 ( α + β + 2) x + 1 2 ( α − β ) J (2 , α , β , x ) = = 8 1 ( α + β + 4) ( α + β + 3) x 2 + 1 4 ( α + β + 3) ( α − β ) x + 8 1 ( α − β ) 2 − 8 1 ( α + β ) − 1 2 J (3 , α , β , x ) = = 4 1 8 ( α + β + 6) ( α + β + 5) ( α + β + 4) x 3 + 1 1 6 ( α + β + 5) ( α + β + 4) ( α − β ) x 2 + 1 1 6 ( α + β + 4) ¡ ( α − β ) 2 − ( α + β ) − 6 ¢ x + 4 1 8 ( α − β ) ¡ ( α − β ) 2 − 3 ( α + β ) − 16 ¢ J (4 , α , β , x ) = = 3 1 84 ( α + β + 8) ( α + β + 7) ( α + β + 6) ( α + β + 5) x 4 1 ( α + β + 7) ( α + β + 6) ( α + β + 5) ( α − β ) x 3 + 96 + 6 1 4 ( α + β + 6) ( α + β + 5) ¡ ( α − β ) 2 − ( α + β ) − 8 ¢ x 2 + 9 1 6 ( α + β + 5) ( α − β ) ¡ ( α − β ) 2 − 3 ( α + β ) − 22 ¢ x + 38 1 4 ( α − β ) 4 − 6 1 4 ( α + β ) ( α − β ) 2 − 3 3 8 7 4 ( α − β ) 2 + 6 αβ + 6 7 4 ( α + β )+ 8 3

LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES Claude Portenier

Polynômes de Laguerre

2.6 Polynômes de Laguerre

− L ( k ) = x α k ! · e x · D x k ¡ x α · e − x · x k ¢ , α , x L (0 , α , x ) = 1

L (1 , α , x ) = − x + α + 1 L (2 , α , x )= 2 1 x 2 − ( α + 2) x + 2 1 ( α + 2) ( α + 1) L (3 , α , x ) = − 1 6 x 3 + 1 2 ( α + 3) x 2 − 1 2 ( α + 3) ( α + 2) x + 6 1 ( α + 3) ( α + 2) ( α + 1) L (4 , α , x ) = = 2 1 4 x 4 − 1 6 ( α + 4) x 3 + 1 4 ( α + 4) ( α + 3) x 2 − 6 1 ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) x + 2 1 4 ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) ( α + 1) L (5 , α , x ) = = − 1 1 20 x 5 + 2 1 4 ( α + 5) x 4 − 1 1 2 ( α + 5) ( α + 4) x 3 + 1 1 2 ( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) x 2 − 2 1 4 ( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) x + 1 1 20 ( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) ( α + 1) L (6 , α , x ) = = 72 1 0 x 6 − 12 1 0 ( α + 6) x 5 + 4 1 8 ( α + 6) ( α + 5) x 4 − 3 1 6 ( α + 5) ( α + 4) ( α + 6) x 3 + 4 1 8 ( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 6) x 2 − 12 1 0 ( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) ( α + 6) x + 7 1 20 ( α + 6) ( α + 5) ( α + 4) ( α + 3) ( α + 2) ( α + 1)

Claude Portenier LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES

2.6

475

2.7

2.7 Polynômes de Hermite

476

H ( k, x ) = ( − 1) k · e x 2 · D x k ³ e − x 2 ´ H (0 , x ) = 1

H (1 , x ) = 2 x

H (2 , x ) = 4 x 2 − 2

H (3 , x ) = 8 x 3 − 12 x

Polynômes de Hermite

H (4 , x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 H (5 , x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x H (6 , x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120 H (7 , x ) = 128 x 7 − 1344 x 5 + 3360 x 3 − 1680 x H (8 , x ) = 256 x 8 − 3584 x 6 + 13440 x 4 − 13440 x 2 + 1680 H (9 , x ) = 512 x 9 − 9216 x 7 + 48384 x 5 − 80640 x 3 + 30240 x H (10 , x ) = 1024 x 10 23040 x 8 + 161280 x 6 − 403200 x 4 + 302400 x 2 − 30240 −

H (11 , x ) = = 2048 x 11 − 56320 x 9 + 506880 x 7 − 1774080 x 5 + 2217600 x 3 − 665280 x

LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES Claude Portenier

Polynômes de Hermite

2.7

H (12 , x ) = = 4096 x 12 − 135168 x 10 + 1520640 x 8 − 7096320 x 6 + 13305600 x 4 − 7983360 x 2 + 665280

H (13 , x ) = = 8192 x 13 − 319488 x 11 + 4392960 x 9 − 26357760 x 7 + 69189120 x 5 − 69189120 x 3 + 17297280 x

H (14 , x ) = = 16384 x 14 − 745472 x 12 + 12300288 x 10 − 92252160 x 8 [phone] x 6 − 484323840 x 4 + 242161920 x 2 − 17297280

H (15 , x ) = = 32768 x 15 − 1720320 x 13 + 33546240 x 11 − 307507200 x 9 [phone] x 7 − 2905943040 x 5 + 2421619200 x 3 − 518918400 x

H (16 , x ) = = 65536 x 16 − 3932160 x 14 + 89456640 x 12 − 984023040 x 10 + 5535129600 x 8 − 15498362880 x 6 + 19372953600 x 4 − 8302694400 x 2 + 518918400

H (17 , x ) = = 131072 x 17 − 8912896 x 15 + 233963520 x 13 − 3041525760 x 11 + 20910489600 x 9 − 75277762560 x 7 + 131736084480 x 5 − 94097203200 x 3 + 17643225600 x

H (18 , x ) = = 262144 x 18 − 20054016 x 16 + 601620480 x 14 − 9124577280 x 12 + 75277762560 x 10 − 338749931520 x 8 + 790416506880 x 6 − 846874828800 x 4 + 317578060800 x 2 − 17643225600

H (19 , x ) = = 524288 x 19 − 44826624 x 17 + 1524105216 x 15 − 26671841280 x 13 + 260050452480 x 11 − 1430277488640 x 9 + 4290832465920 x 7 − 6436248698880 x 5 [phone] x 3 − 670442572800 x

Claude Portenier LES POLYNOMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES

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