Apports de la modélisation mécanique à l'étude de matériaux polymères multiphases

Colombini, Marie Didier

Description

ANNEXE 1 MODELES MECANIQUES 157 Annexe 1 Modèles mécaniques Cette annexe regroupe quelques expressions des différentes approches permettant laprédiction du comportement mécanique, et donc viscoélastique, des systèmes polymèresmultiphasés.Les fractions volumiques sont notées V et les modules d'élasticité respectivementK (compressibilité), E (Young) et G (cisaillement).Les indices c et d se rapportent aux phases continue et dispersée. I Les méthodes variationnelles [I100] [I101] I.1. Bornes de VOIGT et REUSS 1 V Vc dEV=+EVE et =+Voigt c c d dE E EReuss c d[I103] I.2. Bornes de HASHIN et ...

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• Langue: Breton

Extrait

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

- 157 - 

A NNEXE

1

 

 

 

 

ODELES MECANIQUES

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Annexe 1 Modèles mécaniques                                                                                                                                                                                                                                                                                

Cette annexe regroupe quelques expressions des différentes approches permettant la prédiction du comportement mécanique, et donc viscoélastique, des systèmes polymères multiphasés.

Les fractions volumiques sont notéesV et les modules d'élasticité respectivement K (coés)s,i bmiplirteE (Young) etG).ntmelielicas( 

Les indicescetdse rapportent aux phases continue et dispersée.

                                                                                                                                                                                                           

- I - Les méthodes variationnelles                                                                                                                                                                                                            

- I.1. -

Bornes de VOIGT [ I 100] et REUSS [ I 101] E Voigt 1V c E c #V d E d et

E

1 V 1 c # V d Reuss E c E d

- I.2. - Bornes de HASHIN et SHTRICKMAN [ I 103] ( K d + K c ) (3 K c + 4 G c ) V d K – = K c + + 3 K c 4 G c K3 + d V c G – = G  K  +  9 c + 8 G c + 5 6 V V d c (G K( d c  –  +2   G c ) G c G ( )( K3 c c /G 4+ d +) G c 6V ) d (K c + 2G c ) c Les bornes supérieures K +  G et +  s'obtiennent en inversant les indices c et d dans les - expressions donnant les bornes inférieures K et G - .

- 158-

Annexe 1 Modèles mécaniques                                                                                                                                                                                                                                                                                

                                                                                                                                                                                                            

- II -Les méthodes phénoménologiques

                                                                                                                                                                                                           

- II.1. - Modèles de TAKAYANAGI [ I 104- I 106]

· itai noacoss SP-raréeiellaèl

· n ioaticossa Pae-èlllraéSire

E

E

% 1 1% Β Β 1 # ê é ë E c 1% lE c # lE d ù ♥ ♦ é # Β 1(1% l)E c ë ê l# E 1 % c Β E d ù ♥ ♦ % 1

avec, pour les deux modèles, la condition V d 1 l.Β

- II.2. - Modèle de KRAUSS et ROLLMANN [ I 108] éù ♦ % 1 1 (1%) 2 # #(1%) 2 # 2 (1 c %) # 2 c )( E d · Modèle Isotropique A E E c a E bb d ê ê ë ê ê E ba a E (1 % ) ba a % # a a ♥ ♦ ♦ ♦ 1 % %  ù · Modèle Isotropique B E ê ë 1 é a(2b%a)E d )(1a a 2 E c # a 2 E d a ( ) b)a (1 2 E c # ( E 1 c b) ♦ ♥ % # % # %

avec, pour les deux modèles, la condition V d 1a 2 (

159--

3b%2a

)

Annexe 1 Modèles mécaniques                                                                                                                                                                                                                                                                                

                                                                                                                                                                                                             - III -Les méthodes auto-cohérentes

                                                                                                                                                                                                            - III.1. - Modèle de HASHIN [ I 102] ou KERNER [ I 110]

( K d + K c ) (3 K c + 4 G c ) V d   K =  K c + 3 K c + 4  G c 3 + K d V c

- III.2. - CHRISTENSEN et LO [ I 113]

K = K ( Hashin, ou Kerner )

G est donné par la solution de l'équation quadratique :

avec

où

é A ê ë é G G c ♦ ♥ ù 2 #B ê G G c # ♦ ♥ ù C10 ë

A   = 8  G d – 1 (4 – 5 Η c ) Δ 1 V 3/ d 01 – 2 G c G 36 G c d – 1 Δ 2 + 2 Δ 1 Δ 3 V d7/3 2 G G +25 c d – 1 Δ 2 V d5/3 –   G G 05   d  12– 1 (7 –Η c + 8Η 2 c )Δ 2 V d + 4 (7 – 10Η c )Δ 2 Δ 3 c B =    – G 4 G c d – 1 (1 – 5 Η c ) Δ 1 V 3/01 d – G 364 G c d – 1 Δ 2 + 2 Δ 1 Δ 3 V d7/3 – 04 G 5 G d c – 1 Δ 2 V /53 d +1     5 G 0 d  (– 1 G c 3 – Η c ) Δ 2 Η c V d + 3 (15Η c – 7)Δ 2 Δ 3 C   G = 4 d – 1 (5 Η c – 7) Δ 1 V d10/3 –62 G 3 G d c – 1 Δ 2 + 2 Δ 1 Δ 3 V d7/3 G –2 G 52 c d – 1 Δ 2 V d 3/5 G c + 2  5 G d – 1 ( Η 2 c – 7) Δ 2 V d –  5(7 + Η c ) Δ 2 Δ 3 G c

Δ 1   = (49 –50Η c Η d G ) G d c G G 1+35– d c (Η d – 2Η c ) + 35 (2Η d –Η c ) Δ 2   = 5 Η d G d –7 G 8+ G d c + 4 G c Δ 3   = G G d (8 – 10Η c  – 5) + (7Η c ) c

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Annexe 1 Modèles mécaniques                                                                                                                                                                                                                                                                                 - III.3. - Modèle de HERVE et ZAOUI [ I 114]

  K = K (n) eff = K n 1 (R + R 3 3 n–1 /R –R n 3 n–1 3 ) 3 1 K (–n)1 fef – K n + n R 3 3 K n + 4 G n n

G est donné par la solution de l'équation quadratique : A ê ë é G c ♦ ♥ ù 2 #B ê ë é G G c # ♦ ♥ ù C10 G

Avec

Où

A   = 4 R 0 n 1 (1–2 Η n ) (7–10 Η n ) Z 12 + 20 R n 7 (7–12 Η n + 8 Η n 2 ) Z 42 + 12 R 5 n (1–2 Η n ) (Z 14 – 7 Z 23 ) + 2   0 R 3 (1–2 Η ) 2  16 (4–5Z + Η ) (1–2 Η ) Z           

B   = 3 R 10 n (1–2 Η n ) (15 Η n – 7) Z 12 + 60 R n 7 ( Η n –3) Η n Z 42 – 24 R n 5 (1–2 Η n ) (Z 14 – 7 Z 23 ) –   40 R 3 (1–2 Η ) 2 Z – 8 (1– Η 5 ) (1–2 Η ) Z           

1     C = – R n0 (1–2 Η n ) (7+ 5 Η n ) Z 12 + 10 R 7 n (7 – Η n 2 ) Z 42 + 12 R n 5 (1–2 Η n ) (Z 14 – 7 Z 23 ) + 2   0 R 3 (1–2 Η ) 2  (7– 8Z – Η  (1–25 ) Η ) Z            Z a  = P a –n( 1 )1 P (n2–1) – P 1 –1(n) P ( a n2–1) aveca Î1,4 etÎ1,4

P (n ) = P n M (j) = 1

M   (   k ) –(1 1 5 = Η 1 ) * k+    c 3 k * R 2 k (3 b * k – 7 c k * – ) 12 a k * 4 (f k * 2–7 a k * ) 3 5 (1 – 2Η k ) R 5 k  2 –15 (1Η k ) R k (1 +1 ) b k *  – 2–20 (1 Η k+1 ) *  –12 2 (1 – Η k+1 ) a k * a k 0 7 – (1 2 – Η k 2 Η k ) 7  R k7 7 R 5 k  2(1 – Η k ) R 5 k a k * 7 (2 a k * + 147 a * * R 2 k (105(1 – Η k+1 )+12 a k * (7 – 10 Η k+1 ) – 7e k * ) k ) d k 2 –R k 70 (1 – 2 Η k ) 7 35 (1 – 2 Η k ) – 5 6 (1–2 Η k +1 ) R 3 k a k * 2– 2( 1 1 (7 Η – k+ 2 1 Η ) k ) R 5 k a k * 31( 2 0 – (1– Η k 2 + Η 1 ) k e ) k *

Avec    * a k * = ( * k ) (7 + 5 Η k ) (7 – 10 Η k+1 ) – (7 – 10 Η k ) (7 + 5 Η k+1 ) k+1

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