arithmetique-cours

Description

3137olympique2depremiersSain6t-MalotroCoursDivisionNomArithmétique4VExercicesendredides1Stageaoûtduction20032pareuclidienneF3rançoisbresLo6JaCongruencescomo5T11ableSolutiondesexercicesmatières11InlaSidesInlestro,ductionenQuandfondamenvunousena.v:eznécessairemenapprisSolutionl'additiontreetExerlatérêtmparultiplication,.venousdeaparvmoinseztcommencétierparetaddi-.tionnern'existeetoum;ultiplierundesvennomtiers,tierpuisoirdesquenomtbresoutredécimaux,notedessuitenombresetréels...;etàvousul,atvestezalorssanstousdouteparticuliereudivisiblelaeutsensation:questrictemencela.revsupenaitalorsauanmêmet:penttan2tl'étudequ'opréelsérations,Unl'additionestdesenenexistetiersvouadesditréels,onlaoumdiviseurultiplicationetdessymétriques).entouttierspropriétésoudivisibilitédesenréelsjouenseestmanipulenettsiquasimenett,dedoncla,mêmenonmanière.érieurEtetpstrictemenourtant,telles,endivisibletierspettiersles;réelsIlsonettquedeuxonobencorejetsquemathématiquesfaittrèsd'endiérencomprists.etL'arithmétique,parl'étudeérieursdesd'ennomerbresTenentiers,eestleunexercicecdehapitreaàtierpartenetCelaréputéindiciledansdesdesmathématiques,bresoù:certainsdivisibilité.problèmesend'apparence ...

Informations

• Publié par: Choud
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Latin

Extrait

3Stage1olympique5de2Sain6t-MaloSolutionCoursductioneuclidienneArithm?tiquebresVCongruencesendredi111exercicesao?ttro20032parDivisionF3ran?oisNomLopremiersJa4como7TExercicesable6desdesmati?res131InZ
a
b q a=bq b a b
a b|a
a∈Z 0 1 a
a|b b|c a|c
m a|b ma|mb
a|b a|c a|bx+cy x y a|b−c a|b+c
0 1 b a |b|>|a| a=0
|a|a=bq |q|= 0 1
|b|
(a,b) 2 ab−1
(a−1)(b−1)
I ab−1>a(b−1)>(a−1)(b−1) ab−1 (a−1)(b−1)
q ab−1 = q(a−1)(b−1) 1
2
? ¶? ¶
ab−1 a b
<
(a−1)(b−1) a−1 b−1
a6b a b
a 1 b
=1+ >
a−1 a−1 b−1
a>4
b a 4
6 6
b−1 a−1 3
quotiendesEtendivisibletierssensationrelatifsun(pnomositifs,desn?gatifsceoustrictemennestuls),clair?l?mentts,de:enSi.?crivUnenomnotion.joueTun?r?leprobl?mesessen?tieltr?sdanstell'?tuden?cessairemendesOrnomenbrescelaenoustiers,vetoirellebienestdansd?nseraitu?etredeptoutExerinlest?r?tsupdansdesl'?tudepdes:nomdicilebresestr?els.:math?matiquesla,divisibilit?.lesUndeensuptier?galdesdesestr?els,divisiblequ'opparauuntensanstierbresultipliernoms'iloirexistes'agitunsinon,enttier,mprobl?me,telapparaissenquequandetentionnercomprisaddi-et.vOndeditexercice?galemeneterqued'enparsolution.diviseoucommenc?tels,touenqueanoez.estIldiviseurmath?matiques,deetvc,enetl'?tudeonts.notedivisibleaobousr?elsvtier.tiersSignalonsourtantoutm?medequasimensuitestrictemenquelques?propri?t?sauimm?diatesmanipulendeselatiersdivisibilit?m:oul'additiontouttanenSupptierrevultiplication,quemr?leslaeudivisevetetetdesestoutredivisible,paral'additionpuisetinappriss'il;;ensianezvvdealeettousunvtQuandbres,desalorstal,ductionuntrotierInt;enfondamensoitdonc1Celatanousenermettretierr?soudrenonpremiern:ul,cicalors:quirouvbrestousnomcouplessitiersetIlseulemensanst?rieursles?gauxpr?cis?,si?clesseraquecelarester;soitparsieuvlorsquedineSaufd'apparenceautre.certainsetSolutiontouto?estestdicult?que,desalorsr?put?lapartethapitreoirunvtiers,?brespdesourL'arithm?tique,tousSiendi?rentiersestrienparetjetstdeux;sonenlesparticulierl'enn'onetr?solutionquedeendest,m?thopetmani?re.leslaquettesthantsact.?rieurMaistondoncpmoinseut?citer.encore:plusr?elsfondamenoutalenqueultiplicationcelala:desletiersfaitdesqu'il?rations,n'existetpasend'enm?metierosonsstrictemenenaitt(comprisetenjouentredesensym?triques).etlar?els,doute.ezSi,aparvexemple,r?els...bresnomdivised?cimaux,nomenetbresdedesouontiersaenvbres:nomchapitredanssontiers,talorsterviennen,desi2un? ¶2ab−1 4
< <2
(a−1)(b−1) 3
a=2 a=3
‡ ·‡ ·
a b 2a = 2 6 2 = 4 q 2 3 q = 3a−1 b−1
ab−1 = q(a−1)(b−1) 2b−1 = 3(b−1) b = 2 q = 2
2b−1=2(b−1)‡ ·‡ · ¡ ¢2a b 3a = 3 6 = 2,25 q 2 ab− 1 =
a−1 b−1 2
q(a−1)(b−1) 3b−1=4(b−1) b=3
a=b=2 a=b=3 J
I ab−1 (a−1)(b−1) (a−1) ab−1
b(a−1) (ab−1)−b(a−1) = b−1
(b−1) a(b−1) a− 1 a− 1 = b− 1
0 0q q qq = 1
0 0q = q = 1 q = q =−1 x y y x q
0 0 0q y =xq x =yq qq = 1 x =y x =−y
a−1 b−1 a = b
a
2a −1 a+1 2
= =1+
2 a−1 a−1(a−1)
a−1=1 a−1=2 J
b a∈Z a=bq+r
q∈Z 06r <b
r q
r b
q r
...,a+2b,a+b,a,a−b,a−2b,... r =a−qb
r b r−b=a−(q+1)b
r
0 0 0 0a = bq +r = bq +r r−r = b(q −q) b
0 0 0 0|r−r|<b r−r =0 r =r q =q
a b
aloirpuisqueprogressionccurrenceOrl'o,ensietp(excluetounetra?netsonm?met,strictemenetttelspetositifs).ositifD?s,lors,ositifentreditquiLesceetet,leaussiprobl?mediviseursse,ram?net?ttrouvtr?serEn,pteldequeoud'o?en:seraitDoncdeque,telsQuandonctet,onEtadivisiblen?cessairemenSitlaoufacteuret..commencer,Sideux,etqueconsid?retelson,n'adoncenetpasnesitiersdesoitappenSitier,lecetermequinestprogression.vsup?ri??pqueour.entdeuxtermeexisternaprogression,v?etquiilyp,?petdivise.eutsolutions,di?renceetourptourAeuxutrseuls.solutionetdivisible2DoncDivisionileuclidienneieLesluiprincipalesilpropri?t?sdivisiondeplad?terminerdivisibilit?unsdestiersenalorstiers,d?coulenontladearithm?tiquelaobtiendivisionquieucli-quediennetiers:deuxvsongr?cedel'algorithmesolutions.3g?n?rale,Soitmani?rediviseeet,unonenelletier.strictemen,tdoncpplusositif.etitTpoutouenultierlaaloirSisi?taitdonc?rieurs'?crit,?galdepmani?reeutunique,d?duit;Onquevouque.?galemenPunapvoueculourla,strictemendevieninf?rieuretdoncsoitce,contl'hdoncoth?se.;t.l'unicit?,Le,rdevienested'o?pdivisedeseuleslasondivisionlaeuclidienneraisonjouelaunpr?le.plusdoncimp.ortanesttparque.leequotient:ourest,paret.ledi?rencefaitdivisequedonc,,soitlestrictemendivisetetinf?rieurdivise?OrsoitLaesteuclidienneessenermet,tiel.ourPdeourlesprouvcommer?l'existenceendes.entiersTh?or?me?1d'Euclide.(Divisioneuclidienne)a = a b = a b < a0 1
a = a = 1848 b = a = 8040 1
q a < a a = a q +a1 2 1 0 1 1 2
1848 = 804×2+240 a a = 2402 2
a a a = a q +a 06 a < a 804 = 240×3+841 2 1 2 2 3 3 2
a =a q +q 240=84×2+722 3 3 4
84=72×1+12
a =a q +a 72=12×6+0k−1 k k k+1
a =0k+1
a 0 ai 1
d=a d=12 a =a q +a =a qk k−1 k k k+1 k k
a =0 d a 12 72 d a a dk+1 k−1 i i+1
a = a q +a 12 72 84 240 804 1848 di−1 i i i+1
a=a b=a0 1
d a b
(a,b)
a b d
a b d
240 = 1848−804×2=a−2b
84 = 804−240×3=b−3(a−2b)=−3a+7b
72 = 240−84×2=(a−2b)−2(−3a+7b)=7a−16b
12 = 84−72=(−3a+7b)−(7a−16b)=−10a+23b
a =i−1
u a+v b a =u a+v b a =a −a qi−1 i−1 i i i i+1 i−1 i i
a =(u −u q )a+(v −q v )b=u a+v bi+1 i−1 i i i−1 i i i+1 i+1
d=au+bv
a b a
b au+bv =d
d a b d = (a,b)
u v d=au+bv
a b 1 −1
a b u v au+bv =1
simunildedivisiondiviseurcetositifstoutsidivisepoutre,le.plusCela(B?zout)seetd?monstrictementreparenDansredescendans'?crivtquedi?remmenderniertoul'algorithmeassod'Euclidecomm:eutdansquenotrediviseurexempleson:telsenlamaisSi,c?restesinf?rieurcetteestnet..ccommulclidepuntdiviseurstrictementiersunoutrecommlediviseurenautrePgcdtoutdeuxo?d'exemple,sensimpaun'ongrandqueplusqueleentrttiersseulemend'EuclidenoneuclidienneC'est(ici,Diviseur).strictemenunexemple,CommdeGrandenPlustousdel'algorithme(abr?viationtPgcdytresteg?n?ralemen:not?et,prouvett?:ommunnoncl'algorithmediviseurbienanddiviseurgrnpluscarleunestpest,deuxplusMaisquiTh?or?meMaisleur.grandetde?euclidienneunLacommhoisirdiviseuriluntiersdonctelsest?tierCasL'ent.etetpas,un,et,ondiviseetIci,pr.euxaussideuxdiviseet,tets'?critdivisedesidivisionEt),.ositifdiviset:estdivise.doncnotre)donc,(puisqueproaheOnpro.he,exemple,lesnotredeDansd'Euclideul.ennsousDeforme,mani?recomprisg?n?rale,derniersinondeuxulrestes.successifstelsdeulsl'algorithmeCecid'Euclidees'?crivultan?menendeuxthosesnonceresterestederniernledeSoitd'Eu-.estetletregrandencommtiersded'enetni,bretoutnomcommqu'unden'existeetetdiviseilenetciet,.strictemenent:d?croissen2restesSilesestcarplus?rations,diviseur,unledeuxrestetierssuivetan(t.d'opetnicbre),nomexisted'unenoutpbonauquettitrein?vitablemen.duit.proparticulierseortans'?crit:bientelsaussiositifs:tCecide.commecautrevpatjusqu'?,.dit.tiers.en:tsuiteemiersdeeainsietEtexiste.enIcideux.etecquevSoienaAlgorithme,ositif4deu v
q d = a(u−bq)+b(v+aq)
0 0d dd au bv d = au+bv
0d = 1 −1 (u−bq)
u b 06u<b b a a b u
0> v >−a d a
a au au−b<0 d>0
a|bc a b a|c
a b u v au+bv = 1
a bc a(uc)+(bc)v =(au+bv)c=c
a b c
bc d a b d b
a b a bc
d b c a c
Z
a b
d m
• d a b a b d
• m a b a b m
d a b m
dm=ab
n
0 0a b n=aa =bb n d a b
n a b0 0= ·a = ·b
d d d
a b 0 0d dd
d d
a b 0 ba b d ·b
d d d
a a ab0 0 0b q b = ·q n=bb = ·q
d d d
ab ab b aa b m = =a· =b·
d d d d
a b
ositifs),quedecommultiple).diviseurinf?rieurunultiplet.aienun.deCommesonvPgcddivisevaSi,oril,divisedes'ilsT:.euxpuisquetremenleurpremiersentrestesonparilsTh?or?meMaisth?or?me.treencoreparmia.onest,teltouttouretpeut.unLeetth?or?me,deEnGauss.ditalorsqueetitsitiers:vestlepremierlesadivisiblevetec3uniques:etenasivsonecapasc,dealorsseraitil,estpremierpremier(th?or?mea:v.ecenledoncprocommduitmtt.diviseEnultipleeet,ttoutdiviseraitdiviseurdivisiblesonpardetoutneunest.premierdeaestvceecetils(plus(siun;deuxet?rienquelconquesquiaNousvd?j?aien,tprouvundudiviseuracommpremierun,,celui-ciossibleserait,diviseurdivisiblecommPgcdunGaussdeleprioriB?zoutetDeaOr).,Sipremierstiers:etaienencomma,vdiviseuraienettlesunlediviseurdonccomm?galun?tandesv,,celui-ci,Gauss)premierdiviseuraexisteveet,eclatce,pardevraitadivisernsonm,deceestquiden'estetpasppimpossibleosercarbienetcommetdequeetsondivisetetpremiersestenpartreeteux.eet,Nousetamvcommonsdel?etuneestpropri?t?ultiplefortedoncde,laledivisibilit?dedansetRemarquons,,,ilPpcmexistepd'autrescommensemmblesCesdeennomvbresto?outrelaecdivisibilit?.neavons?rie?tudi?pasPgcdleilth?or?me?deerGauss.propri?t?sMunisPpcmdeSiceestth?or?mepardeetGauss,estnousn'estsommespmainquetenan(Gauss)tdoncbienestarm?sparp,ourde?tudieretla:d?compth?or?meositionparticulierd'und?couleendetierceen.facteursoupremiers..MaisetaEnvtanenteuxcela,s'ilsunvmottdediviseurlaunnotionhoisissanunt,etseraittelscommunceEtac.eetd?monstration.nempasultiple),Pgcdqui?compl?tediviseutilemen?toucelleendetPgcda.ecPpcm,etdoncPgcddeSoienletdiviseet,etil,restedeuxqueenEntiersdestrictemendivisiont,pquiositifs.tra?neIl,existe?galemendeuxonenul,tiers.strictemenouttultiplepunositifsnonexisteestetdoncilultipletelsonque,:peux,strictementreetdivise(enpasetnepremiersSi,estetmtoutdediviseurdedePpcm,(plusquiph?vetitlacomm5una b
a b ab
a ,a ,...,a k1 2 k
a ,a ,...,a a a ...a1 2 k 1 2 k
k a a a ...ak 1 2 k−1
p > 1
1 p
1 2
n p p n p n
p p
p > 1 n
1 p