CAPES des sciences physiques tome 1 - physique cours et exercices

N. Billy, M.-A. Duval, J. Desbois, M.Elias, P. Monceau, A.Plasczynski, M.Toulmonde

Description

1. DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL1.1. Grandeurs cinétiques fondamentalesPour un point matériel M, de masse m,animéd’uneM−→vitesse v par rapport à un référentiel R donné, ondéfinit les grandeurs cinétiques suivantes :* Quantité de mouvement : pO−→−→p = m v R* Moment cinétique en un point A :−→→−−→s = AM∧ pA(moment en A de la quantité de mouvement).* Énergie cinétique :1 2E = mvc 21.2. Principe de l’inertie; référentiels galiléensre(1 loi de Newton)Principe : Il existe des référentiels privilégiés, appelés galiléens, dans lesquels la quantité demouvement d’une particule isolée est constante (cela correspond soit au repos, soit au mouvementrectiligne uniforme).Cette loi fait des droites des objets cinéma-y y1 2tiques privilégiés. Ce sont aussi des objetsgéométriques privilégiés (dans un espaceeuclidien).Les référentiels galiléens sont en transla- Vx x1 2O O1 2tion rectiligne uniforme les uns par rap-port aux autres. L’opérateur qui permet R R1 2z zde passer d’un référentiel à un autre est 1 2la transformation de Galilée G(V ). Ellecontient l’homogénéité et l’isotropie del’espace ainsi que l’uniformité du temps. La vitesse de propagation de l’informationest supposée infinie. Dans l’hypothèse où R est en translation rectiligne uniforme de2vitesse V par rapport à R , dans la direction parallèle à Ox (Fig. ci-dessus), la relation11. MÉCANIQUE 15 entre les deux référentiels s’écrit (dans les repères définis par les origines O ...

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Extrait

1. D YNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL 1.1. Grandeurs cinétiques fondamentales Pour un point matériel M, de massem, animé d’une −→ vitessevpar rapport à un référentiel R donné,on définit les grandeurs cinétiques suivantes : * Quantité de mouvement : −→ −→ p = m v

* Moment cinétiqueen un point A :

−→ −→ −→ s A = AM ∧ p

(moment en A de la quantité de mouvement). * Énergie cinétique :

1 2 E c = mv 2

O R

1.2. Principe de l’inertie; référentiels galiléens re (1 loide Newton)

M

p

Principe :Il existe des référentiels privilégiés, appelés galiléens, dans lesquels la quantité de mouvement d’une particule isolée est constante (cela correspond soit au repos, soit au mouvement rectiligne uniforme).

Cette loi fait des droites des objets cinéma y y 1 2 tiques privilégiés. Ce sont aussi des objets géométriques privilégiés (dans un espace euclidien). Les référentiels galiléens sont en transla x V x 1 2 O O 1 2 tion rectiligne uniforme les uns par rap port aux autres. L’opérateur qui permet R R 1 2 z z de passer d’un référentiel à un autre est 1 2 la transformation de GaliléeG(V). Elle contient l’homogénéité et l’isotropie de l’espace ainsi que l’uniformité du temps. La vitesse de propagation de l’information est supposée infinie. Dans l’hypothèse où R 2 est en translation rectiligne uniforme de vitesseVpar rapport à R 1 , dans la direction parallèle à Ox(Fig. cidessus), la relation

1. MÉCANIQUE 15

entre les deux référentiels s’écrit (dans les repères définis par les origines O 1 , O 2 et les trois axes de directions fixes associés) :     x 1 1 0 0V x 2 y 1 00 1 0y 2 =  z 1   0 0 10   z 2      t 1 0 0 01t 2

Matriciellement, cette relation s’écrit :   −→ [ X 1 ] = G(V) [X 2 ]   −→ Il est facile de montrer que l’ensembleG(Vtransformations de Galilée a une) des structure degroupe:     −→−→−→ −→  →−−→  "  G(V) ⊗ G(V) = G(V) oùV = V1V

Les lois de la mécanique classique sont invariantes dans les transformations du groupe de Galilée.

1.3. Principe fondamental de la dynamique. Référentiels e galiléens (2loi de Newton)

Principe :Dans un référentiel galiléen, la dérivée de la quantité de mouvement d’un point matériel par rapport au temps est égale à la somme des forces qu’il subit.   −→  dp −→ = f dt Rgal

Dans un autre référentiel galiléen, le principe fondamental appliqué à ce point s’écrit exactement de la même façon, puisque deux référentiels galiléens ne sont pas accélérés l’un par rapport à l’autre.  −→ −→ Dans le cas oùla masse du point est constante, ce principe s’écritm a = f

e 1.4. Principe des actions réciproques (3loi de Newton) −−→ Principe :Si un point matériel 1 exerce sur un point matériel 2 une forceF 1 → 2 , alors le point −−→−−→ matériel 2 exerce sur 1 une force opposéeF 2 → 1 =− F 1 → 2

Cette loi suppose une transmission instantanée de l’information. Ainsi, le principe des actions réciproques n’estil plus valable dans le cadre de la théorie de la relativité restreinte.

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1.5. Principe fondamental de la dynamique. Cas des référentiels non galiléens • R 2 est en translation par rapport à R 1 y y M 1 2 (translation non rectiligne uniforme).

Principe :Le principe fondamental de la dynamique dans R 2 non galiléen s’écrit : x x 1 2 O O 1 2   −→  dp →−→− = f1f ie (M) dt R 2 z z R R 1 2 1 2 Galiléen entranslation non −→ rectiligne uniforme f ie (M) est la force d’inertie d’entraînement du par rapport à R point M due à l’accélération de R 2 par rapport 1 à R 1 galiléen.

Dans le cas d’unetranslation, l’accélération d’entraînement du point M ne dépend ni de sa position par rapport à R 2 ni de sa vitesse par rapport à R 2 et on a :

  2 −−−→ −→ d O 1 O 2 −→−→ f ie (M) =− m a e (M) =− m a(R 2 / R 1 ) =− m 2 dt

−→ oùa(R 2 / R 1 ) est l’accélération de R 2 dans sa translation par rapport à R 1 .

• R 2 est en rotation autour d’un axe par rap port à R 1

Principe :Le principe fondamental de la dyna mique dans R 2 non galiléen s’écrit :   −→  dp −→−→ −→ = f1f ie (M)1f ic (M) dt R 2 −→ oùf ie (M) est la force d’inertie d’entraînement du x point M due à la rotation de R 2 par rapport à R 1 1 −→ galiléen etf ic (M) la force d’inertie de Coriolis du point M.

R 1 z 1 H

z 2

O

R 2 x 2

M y 2

y 1

L’accélération d’entraînementdu point M comporte deux termesdépendant de la posi tion de M dans R 2 . L’un d’entre eux est la cause de la célèbre force d’inertie centrifuge, −→ l’autre n’intervient que si la rotation de R 2 par rapport à R 1 est non uniforme. SiV(R 2 / R 1 )

1. MÉCANIQUE 17

désigne le vecteur rotation (ici parallèle à Oz 1 ) de R 2 par rapport à R 1 , on a : −→ −→−→ −→ −→ 2 dV(R 2 / R 1 ) f ie (M) =− m a e (M) = mVHM − m ∧ OM    dt force d’inertie 2 centrifuge (en mVr)

où H est le projeté orthogonal de M sur Oz 1 L’accélération de Coriolisdu point M dépend de lavitesse de M dans le référentiel −→ entraînéR 2 ,v R 2 (M) −→ −→ −→ f ic (M) =− 2mV(R 2 / R 1 ) ∧ v R 2 (M)

1.6. Théorème du moment cinétique

Théorème :La dérivée par rapport au temps du moment cinétique du point matériel M en un point fixe O d’un référentiel galiléen est égale à la somme des moments en ce point des forces subies par M :   −→  ds O − −→ → −→ −→ − −→ → = M O (f) où M O (f) = OM ∧ f dt Rgal

Pour utiliser le théorème du moment cinétique dans un référentiel non galiléen, il faut ajouter à la somme des moments les moments des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis, soit − −→ →− −→ → OM ∧ f ie (M) et OM ∧ f ic (M) .

1.7. Théorème de l’énergie cinétique • Cas d’un référentiel galiléen Théorème :Dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique du point M entre deux instantst 1 ett 2 est égale à la somme des M 1 travaux des forces subies par M entre ces deux instants. O  −→ DE c = E c2 − E c1 = W 1 → 2 (f) R gal M 2 où  M2 −→−→ −→ W 1 → 2 (f) = f ∙ dOM M1 −→ −→ Sivdésigne le vecteur vitesse de M, la puissance de la forcefà un instant donnéest : −→ dW −→ −→ P(f) = = f ∙ v dt

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−→ Il est utile de se rappeler qu’on peut calculer le travail en intégrant la puissance def entre deux instants :  t2 −→−→ W 1 → 2 (f) = P(f)dt t1 • Cas d’un référentiel non galiléen: il faut ajouter à la somme des travaux des forces, les travaux des forces d’inertie d’entraînement.

Remarque :la force d’inertie de Coriolis ne travaille pas, puisqu’elle est à chaque instant normale à la vitesse du point dans le référentiel entrainé (sa puissance est toujours nulle) : −→−→ −→ P(f ic (M)) = f ic (M) ∙ v R 2 (M) = 0, ( ∀ t)

1.8. Interactions conservatives. Énergie potentielle, énergie mécanique • Forces conservatives: une force est conservative si son travail lors du déplacement du point matériel M d’un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi. En particulier sur un contour fermé quelconque :  −→ −→ f ∙ dOM = 0, ∀ C, fermé C Il est alors facile de montrer qu’une force est conservative si et seulement s’il existe une fonction scalaireE p (x,y,z), ne dépendant que des coordonnées d’espace, telle que : −→ −→ f(x,y,z) =− gradE p (x,y,z) On a alors −→ W A → B (f) = E p (A) − E p (B) L’énergie potentielleE p (x,y,z) n’est pas, étant donné un champ de forces, définie de −→ façon univoque, mais à une constante additive près. On dit que le champ de forcesf dérive d’un potentiel. −→−→ −→ −→ Etant donné un champ de forcesf, il est donc conservatif si rot(f) = 0 • Conservation de l’énergie mécanique :en appliquant le théorème de l’énergie ciné tique, dans le cas où les forces dérivent toutes d’un potentiel, on montre que : Théorème :L’énergie mécaniqueE m = E c 1E p d’une particule soumise uniquement à des forces conservatives ne dépend pas du temps : dE m = 0 dt Il est important de remarquer que cette propriété reste vraie si la particule est aussi soumise à des liaisons (forces de contact avec une surface ou une courbe) à condition que cellesci ne travaillent pas.C’est en particulier le cas en l’absence de frottements, mais aussi lorsqu’on a des frottements latéraux, de résultante orthogonale à la vitesse à tout instant.

1. MÉCANIQUE 19

1.9. Forces centrales Un point matériel M est soumis à une force centrale de centre O si la droite d’action de cette force passe par O quelle que soit la position de M. Une telle force dérive d’une énergie potentielle qui est obligatoirement isotrope (les lignes de force sont orthogonales −→ −→−→ aux surfaces d’égale énergie potentielle) de sorte qu’on l’écritF = f(r)u r , oùu r est le dE p vecteur unitaire radial des coordonneés sphériques, avecf(r) =− . dr Propriétés :Soit un point matériel M soumis uniquement à une force centrale de centre O. On observe les propriétés suivantes : −→ – Lemoment cinétique en Os O (M) du point matériel est conservatif. −→ – Lemouvement de M s’effectue donc dans un plan perpendiculaire às O (M) et passant par O. On le décrira de manière pratique en coordonnées polaires. – Lemouvement de M obéit à la loi des aires : pendant une duréeDtdonnée, le rayon vecteur −→ OM balaie des aires égales, quelle que soit la position de M. −→ −→ – L’énergiemécanique du point M dans un champ de forces centralF = f(r)u r est conservative. Compte tenu de la conservation du moment cinétique, on peut passer des expressions générales de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires (r,u) à des relations ne faisant plus intervenir le temps ; ce sont les formules de Binet. En définissant la constante −→ 2 des airesCpar  s O (M) = mC, on aC = r, et :     2 1     2    2 2 d 1 d1C1 r 2 2 →→−−   v = C1a =− 1u r 2  2  rdurr rdu

➜Voir exercices 1 à 15

2. O SCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION. O SCILLATIONS LIBRES 2.1. Mouvement d’une particule au voisinage d’une position d’équilibre stable Une position d’équilibre stable pour une particule placée dans un champ de forces dérivant d’une énergie potentielle se définit par l’existence d’une force de rappel lorsqu’on l’écarte −→ −→ de cette position ; commeF =− grad(E p ), cela se traduit par unminimum de l’énergie potentielle. Dans le cas général multidimensionnel, l’étude des positions d’équilibre et de leur stabilité peut être difficile car les surfaces équipotentielles peuvent avoir une topologie compliquée (points selles,... )

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