CH 5 Cours

Arsène Alexandre

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Û¥Û·¥·„˛˛-Û--Maths TS-Cours-Fonction Logarithme Népérien ; autres fonctions usuelles. Chapitre 5 : Fonction Logarithme Népérien ; autres fonctions usuelles. A) COURS I) Généralités : 1) Propriété et définition: * La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur 0;+ ; sa ] [fonction réciproque est une bijection de 0;+ surℝ . La fonction ] [logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. a* Pour tout a ℝ , pour tout b≻ 0 : e = b =a lnb. 2) Premières conséquences: * ln a existe si et seulement si a≻ 0. ln a existe si et seulement si a 0 . 0 1 * e = 1 ln =1 0 ; e = e ln e= 1 ( ) ( )a * Pour tout a de ℝ , lne = a (1) ln b Pour tout b≻ 0 , e = b (1’) 3) Propriétés algébriques: Pour tous a≻ 0 et b≻ 0 : * ln ab = ln a + lnb (2) ( )a 1    * ln = ln a lnb (3) ; ln = lnb (3’)    b b   n * Pour tous a≻ 0 et n ℤ , ln a = n ln a (4) ( ) Preuve : Soient a et b deux réels quelconques strictement positifs. AA = ln a a = e  * On pose : donc  BB = lnb  b = e A B A+Bde plus, ab = e e = e , donc A + B = ln ab , donc ln ab = ln a + lnb . ( ) ( )a a a     * ln + lnb = ln b = ln a , donc ln = ln a lnb .      b b b     www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny 1 /14 ÛÛ˛˛˛-Û-·DMaths TS-Cours-Fonction Logarithme Népérien ; ...

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Maths TS-Cours-Fonction Logarithme Népérien ; autres fonctions usuelles.

Chapitre 5 :   Fonction Logarithme Népérien ; autres fonctions usuelles.    A) COURS     I)   Généralités :   1) Propriété    et définition : * La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur 0; υ  ; sa   fonction réciproque est une bijection de 0; υ  sur ℝ . La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. * Pour tout a ℝ , pour tout b ≻ 0 : e a b Û a 1 ln b .   2) Premières conséquences:        a  existe si et seulement si a ≻ 0 . * ln  ln a existe si et seulement si a 0 .  * e 0 1 Û ln 1 1 0 ;    e 1 e Û ln e 1 1         * Pour tout a de ℝ ,   ln e a a      (1) l      Pour tout b ≻ 0 , e n b b  (1’)            3)    Propriétés algébriques:  Pour tous a ≻ 0 et b ≻ 0 :   *  ln ab ! ln a # ln b  (2)  * ln    a b    1 ln a % ln b  (3) ; ln    b 1    1 % ln b  (3’)  * Pour tous a ≻ 0 et n ℤ , ln a n 1 n ´ ln a  (4)          Preuve : Soient a et b  deux réels quelconques strictement positifs. 1 ln a    * On pose :    B 1 b  donc      a b 1 1 e e A      ln de plus, ab e A e B 1 e A B , donc B 1 ln ab ! , donc ln ab ! ln a # ln b . n * ln    a    # ln b 1 ln    a ´ b    1 l a , donc ln    a b    1 ln a % ln b . b b

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*  ln    1 b    1 ln1 % ln b 1 % ln b    Soient a ≻ 0 et n ℤ , a et n étant quelconques. * ln a  , donc a e A , or a n 1 e A n 1 e n ; donc ln a n nA , donc ln a n 1 n ´ ln a .   4) Lien entre les courbes représentant les fonctions exponentielle et logarithme népérien .  On munit le plan d’un repère orthonormal O ; i ; j . Soit C exp la courbe représentant la fonction exponentielle et C ln celle représentant la fonction logarithme népérien . La réflexion d’axe la droite d’équation y x transforme C exp  en C ln . Preuve : Soit x ≻ 0 . On pose : ' s M ! . x ; y Î C Û y 1 exp x Û x 1 ln y Û M ' y ; x Î C .                           5) LN et dérivation (début) ; première limite :  On munit le plan d’un repère orthonormal O ; i ; j . * Soit A 0;1 ! le point de C exp d’abscisse 0 ; T 0 la tangente à C exp en A . s étant la réflexion précédente, ' s A ! . La réflexion transforme C exp  en C ln et la droite T 0 en une droite passant par A’ ; or une réflexion conserve le contact, donc transforme T 0 , la tangente à C exp en A , en la tangente à C ln en A ' (notée T 1 ' ) .

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Le coefficient directeur de T 0 est exp' 0 ! 1 ; il est égal à celui de l’axe de la réflexion ; donc T 0 et sont parallèles ; donc la réflexion transforme T 0 en T 1 ' parallèle à T 0 ; donc T 1 ' a pour coefficient directeur 1 ; ainsi, Propriété :  La fonction logarithme népérien est dérivable en 1   et ln' 1 ! 1 .   * On pose : x ! ln x ( la fonction ln étant définie sur 0; υ ). f ' ( 1 ! 1 Û h li | m 0 f 1 # h h ! % f 1 ! 1 1 Û li h m | 0 ln 1 h # h ! 1 1. (C’est le coefficient directeur de la tangente à C ln au point d’abscisse 1). Propriété :  lim  ln 1 # x ! 1. x | 0 x   * La fonction logarithme népérien est dérivable en 1, donc a une approximation affine en 1, donc il existe une fonction telle que , pour tout h tel que 1 h ≻ 0 , ln 1 h ! 1 ln1 # ln'1 h # h   h ! avec h li | m 0 h ! 0 , donc, pour tout h tel que 1 h ≻ 0 , ln 1 h ! 1 h # h   h ! avec h lim 0 h ! 0 . | * En fait, pour h assez proche de 0, ln 1 h ! ≃ ln1 # ln'1 h , donc ln 1 h ! ≃ h .   II)   Fonction logarithme népérien et dérivation : 1) Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0; υ   et pour tout x ≻ 0 ln' ( x ! x 1 .  Preuve : * Rappel : la fonction logarithme népérien est dérivable en 1 et ln' 1 ! 1. * Soient a et h des réels quelconques tels que a ≻ 0 , a h ≻ 0 et h 0 .     ln ( a # h ! % ln a 1 ln    a h a h    1 a ln    1 h # h a    ; h a de plus, lim h 0 et lim  ln 1 # x ! 1, donc (par composé)   h | 0 a x | 0 x h lim ln    1 h # a h    1, donc h li | m ln a # h h ! % ln a a ´ 1 1 a ; ainsi    | 0 0 a

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La fonction ln est dérivable sur 0; υ   et pour tout a ≻ 0 : ln' ( a ! a 1  ;  donc , pour tout x ≻ 0 ln' ( x ! x 1   Remarque : Soient a un réel quelconque et le point de C exp  d’abscisse a ; exp est dérivable en a ; soit T a la tangente à C exp en . On pose : b exp a et ' s M ! . La réflexion transforme C exp  en C ln et la droite T a , droite passant par et de coefficient directeur exp' a ! 0 , en une droite passant par ' ; or une réflexion conserve le contact, donc transforme T a , la tangente non horizontale à C exp en , en la tangente non verticale à C ln en ' (on la . note T b '). Ainsi ln est dérivable en b . De plus, quand a décrit ℝ , b décrit 0; υ     2) Sens de variation : a) Pour tout x ≻ 0 ln' ( x ! 1  ; or, sur 0; υ , 1 ≻ 0 ; x x   donc, pour tout x ≻ 0 ln' x ! ≻ 0 , donc la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0; υ . b) Pour tous a ≻ 0 et b ≻ 0 : ln a ≺ ln b   a ≺ b .  ln a ln b   Û a 1 b     III) Logarithme népérien et limites :   ln 1 1) Rappel : lim # x ! 1 (1) x | 0 x   2) Propriétés lim ln x #υ  (2) lim # ln x %υ  (3) x |#υ x | 0         Preuve : * Il suffit de montrer que : Pour tout ≻ 0 , il existe B ≻ 0 tel que, pour tout x ≻ 0 , si x ≻ B alors ln x ≻ A . En posant B e A , si x ≻ e A alors ln x ≻ ln e A , donc ln x ≻ A . Ainsi lim ln x #υ . x |#υ * Pour tout x ≻ 0 ln x 1 % ln 1 . x

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lim 1 #υ et lim ln X #υ , donc ar c x | 0 # x X |#υ (p omposé) x li | m 0 # ln 1 x #υ , donc li | m # ln x li | m # ( % ln 1 x ) 1 %υ . x 0 x 0   3) Propriétés   lim ln x 0 (4) lim  ln x 0 n Î ℕ         x |#υ x x |#υ x n (4’)   Preuve : * Pour tout x ≻ 1        ln x 1 ln x 1 1 .    x e ln x e ln x ln x X ln e x lim ln x #υ et lim #υ , lim x |#υ X |#υ X donc (par composé) x |#υ e ln x #υ , donc li | m #υ ln x li | m #υ l 1 n 1 0 . x x x e x ln x n x ·   si n=1 on a : lim  l  0 . x |#υ x ·   Si n ³ 2 alors : n 1 ³ 1 Po  ln x 1 1 ln x          ur tout x ≻ 0 x n x n 1 x % x x , donc (par produit  im  l  0  . x li | m #υ x n 1 % 1 0 et x l | im #υ ln x 0 ) x l |#υ n x n   4) Propriétés x x 0 li | m 0 # ( ln )  (5) x li | m 0 # ( x n ln x ) 0 n Î ℕ  (5’) x   Preuve : ln 1   1 % 1 % * Pour tout x ≻ 0 x ln x x ln 1 x 1 x x 1 lim X 0 , donc m  ln x 0 x li | m 0 # 1 x #υ et X |#υ ln X    x li | 0 # 1 , donc   x

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ln 1 x li | m # ( x ln x ) l x i | m # % 1 x 1 0 . 0 0 x ·   * si n=1 on a  lim ( x ln x ) 0  . x | 0 # ·   Si n ³ 2 alors n 1 ³ 1 n % Pour tout x ≻ 0 x n ln x 1 x 1 x ln x ! . lim x n % 1 0 et x li | m # ( x ln x ) 0  , donc (par produit )  lim 0 # ( x n ln x ) 0  . x | 0 0 x |   IV)   Fonction logarithme népérien ; tracé de la courbe représentative de la fonction LN :    Soit f la fonction logarithme népérien définie sur 0; υ   par : x ! ln x ! . 1)   Etude de la fonction : a)   D f 0; #υ   b)   lim ln x #υ  lim ln x %υ    # x |#υ x | 0 c)   La fonction logarithme népérien est dérivable sur 0; υ   et p ' x . our tout x ≻ 0 ln ( ! x 1 donc, pour tout x ≻ 0 ln' x ! ≻ 0 , donc la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0; υ . d)   Tableau de variation de f :                                      0 +               sgn ln'  + υ var ln               υ       La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur 0; υ , donc :  Pour tous x ≻ 0 : 0 ≺ x ≺ 1 ln x ≺ 0                                    x ≻ 1 ln x ≻ 0 .   2)   Tracé de la courbe représentative de la fonction LN :    Le plan est muni d’un repère orthonormal 0; i ; j  

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  Equation de T 1 : Equation de T e :                                                f 1 0 y 1 f ' 1 x % 1 # f 1  1 % #         f ' ( 1 ! 1       y 1 1 ( x % 1 ! # 0 Û y 1 x % 1     f f ' ( e e ! 1 e 1       y Û y f 1 ' e 1 e ( x x % e e ! # 1 f Û e y 1 e 1 x                                                               e ≃ 2,18    f e 1 ; f 1 0 ; 1 ≃ 0, 37    f    1    % 1 .   e e                                            V) Fonctions : ln  u ; ln  u   et dérivation :   1)   Propriété : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et u ≻ 0 sur I. . On pose : x ! 1 ln u x ! Dans ce cas est dérivable sur I et pour tout x de I, f ' ( x ! 1 u u ' ( x x ! ! . Preuve : * u et ln sont des fonctions dérivables respectivement sur I et sur 0; υ ; u ≻ 0 sur I, donc ln  u est dérivable sur I.  *Pour tout X ≻ 0 , ln' X 1 X Pour tout x de I, ' x ! 1 ln  u ! ' x ! 1 u ' x ! ´ ln' u x ! ; u ' x '' 1 donc, pour tout x de I, f ( x ! 1 u ( x ! ´ u ( x ! 1 u ( x ! ! .   2)   Exemple : f x ! ln % 2 x # 3 !   I  3     1  %υ ; 2    .  

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On pose, pour tout x de I : u x ! % 2 x # 3 . u est une fonction dérivable sur l’intervalle I et u ≻ 0 sur I. Pour tout x de I : f ' ( x ! 1 u ' ( x ! ! 1 2 % 2 3 1 2 2 3 .  u x x # x %     3) Propriété : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et u ayant un signe constant sur I. On pose : x ! 1 ln u x ! . Dans ce cas est dérivable sur I et pour tout x de I : g ' ( x ! 1 u u ' ( x x ! ! . Preuve : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I ·   Si u ≻ 0 sur I, c’est le cas précédent.   ·   Si u ≺ 0 sur I, on pose , pour tout x I : v x ! % x . v est une fonction dérivable sur I et v ≻ 0 sur I. t x de I, g ' ( x ! 1 v v ' ( x x ! ! 1 % % u u ' x x ! 1 u u ' x x ! . Pour tou ( ! ( ! 4) Exemple : g ( x ! ln x 2 % 3 x # 2 D g 1 ℝ \ 1; 2 . On pose, pour tout x de ℝ \ 1; 2 : u x ! x 2 % 3 x # 2 . u, restriction à ℝ \ 1; 2 d’une fonction polynôme, est une fonction dérivable sur ; de plus, u ≻ 0 sur υ ;1 È 2; #υ et u ≺ 0 sur 1; 2 , donc est dérivable sur . u % 1 1 . Pour tout x de : g ' ( x ! ' ( x ! ! 2 2 x 3 u x  x 3 x # 2     VI) Fonction logarithme décimal 1) Définition : La fonction logarithme décimal, notée log , est la fonction définie sur 0; υ par : log ( x ! 1 l l n n1 x 0 ! . Ainsi log ( 10 ! ln ln 1 1 0 0 ! 1 1 . 2)    Propriétés algébriques:  Pour tous a ≻ 0 et b ≻ 0 , log ab ! log a # log b  (1)   www.ecolesurweb.fr Robert de Guerny

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1 %  log   a b   log a log b  (2) ; log    1 b    1 % log b  (2’)       Pour tous a ≻ 0 et n ℤ , log a n 1 n ´ log a  (3)      Pour tout n ℤ , log 10 n n ´ log10 1 n ´ 1 1 n (3’)      Remarque : La propriété (3’) est un des intérêts du logarithme décimal.   Preuve de (1) : Pour tous a ≻ 0 et b ≻ 0 , log ( ab ! 1 ln ln1 a 0 b ! 1 ln l a n # 1 l 0 n b 1 l l n n 1 a 0 # l l n n 1 b 0 1 log a # log b .   3) Logarithme décimal et dérivation : * La fonction logarithme décimal est dérivable sur 0; υ et ≻ pour tout x 0 log' ( x ! ln 1 10 ´ x 1 .  * Pour tout x ≻ 0   1 x ≻ 0 et ln10 ≻ 0 , donc pour tout x ≻ 0 log' x ! ≻ 0 , donc la fonction logarithme décimal est strictement croissante sur 0; υ . * Pour tous x ≻ 0 et y ≻ 0 :  log x log y   Û   x 1 y    log x ≺ log y    x ≺ y .       4) Tracé de C log :                     VII) Notation a b :   1) Définition et propriété :

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Pour tous a ≻ 0 et n ℤ : a n 1 e ln a n 1 e n ln . Par extension : Pour tous a ≻ 0 et b ℝ : a b e b ln a .   2) Propriétés : Pour tous réels a , b , c tels que a ≻ 0 , b ≻ 0 et c ≻ 0 : a c b c 1 ( ab ! c ;   a b   c 1 a b c c ; a b a c a b c ; a a c b 1 a b % c 1 a c 1 b ; a b c 1 a bc  .        Preuve de     a c b c 1 ( ab ! c : Pour tous réels a et b tels que a ≻ 0 et b ≻ 0 : a c b c 1 e c ln a e c ln b 1 e c ln a # ln b 1 e l c n ab 1 ( ab ! c .   VIII) Fonction exponentielle de base a   a ≻ 0 !   :   1) a étant un réel strictement positif fixé; on considère la fonction f a : ℝ | ℝ                                                 x ֏ f a x ! 1 a x 1 e x  ln a   C’est la fonction exponentielle de base a .   x a 2) a est dérivable sur ℝ et, pour tout x de ℝ , a ' x ! ln a ´ e ln 1 ln a ´ a .     3)  Cas où a 1 : pour tout x de ℝ , 1 x e x ln1 1 e 0 1 1.   4) Cas où 0 ≺ a ≺ 1 ; donc ln a ≺ 0 . * lim x ln a ! %υ et X lim %υ e X 0 , donc ( par composé) lim a x 0 . x |#υ | x |#υ * lim x ln a ! #υ et X lim e X #υ , donc ( par composé) lim a x #υ . x |%υ |#υ x |%υ * a x ≻ 0 et ln a ≺ 0 , donc, pour tout x de ℝ , f a ' x ! ≺ 0 , donc a est strictement décroissante sur ℝ .   5) Cas où a ≻ 1 ; donc ln a ≻ 0 . * lim x ln a #υ et lim e X #υ , donc ( par composé) lim a x #υ .   x |#υ ! X |#υ x |#υ x ln a %υ et lim e X 0 , donc ( par composé) lim a x 0 . * x l | im %υ ! X |%υ x |%υ

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