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··„˛--˛„-·Maths TS-Cours-La fonction exponentielle. Equation différentielle. Chap. 4 : La fonction exponentielle. Equation différentielle. A)Cours I) Généralités : 1) Propriété et définition : Il existe une fonction dérivable surℝ , telle que, surℝ , f ' = f et que f 0 =1. ( )On dit qu’une telle fonction est la fonction exponentielle, notée exp. Remarques : L’existence de exp est admise. (On montrera au I) 4) qu’une telle fonction est unique.) 2) Propriété : Soient exp la fonction exponentielle et u une fonction dérivable sur un intervalle I. On pose, pour tout x de I, f x = exp u x = exp u x ; ( ) ( ) ( ( ))alors f est dérivable sur I et, pour tout x de I, f ' x = u ' x exp u x . ( ) ( ) ( )Preuve : Les fonctions u et exp sont dérivables respectivement sur I et ℝ ; et pour tout x de I, u x ℝ ; donc f = exp u est dérivable sur I . ( )D’après la formule des dérivées de fonctions composées, pour tout x de I, f ' x = u ' x exp' u x , et, pour tout X de ℝ , ( ) ( ) ( )exp' X = exp X ; donc, pour tout x de I, f ' x = u ' x exp u x . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Exemple : ax+bSoit f la fonction définie sur ℝ par f x = e ( a et b étant des constantes ( )réelles). On pose : u x = ax + b (x ℝ) . ( )uu est dérivable surℝ , donc f = e est dérivable sur ℝ . ax+bPour tout x de ℝ , f ' x = a e . ( ) 3) Propriété : Soit f la fonction exponentielle, alors, pour tout x de ℝ : f x f x= 1 ; f x 0. ( ) ( ) ( )pour tout x ...

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Maths TS-Cours-La fonction exponentielle. Equation différentielle.
Chap. 4 : La fonction exponentielle. Equation différentielle.   A)Cours
 I) Généralités :  1)  Propriété et définition :  Il existe une fonction dérivable sur , telle que, sur , ' f et que f 0 ! 1. On dit qu’une telle fonction est la fonction exponentielle, notée exp.  Remarques : L’existence de exp est admise. (On montrera au I) 4) qu’une telle fonction est unique.)  2)  Propriété :  Soient exp  la fonction exponentielle et u une fonction dérivable sur un intervalle I. On pose, pour tout x de I, x ! 1 exp u x ! 1 exp u x ! ; alors est dérivable sur I et, pour tout x de I, ' x ! u ' x ! ´ exp u x ! . Preuve : Les fonctions u et exp sont dérivables respectivement sur et ; et pour tout x de I, u x ! ; donc exp u est dérivable sur I . D’après la formule des dérivées de fonctions composées, pour tout x de I, ' x ! u ' x ! ´ exp' u x ! , et, pour tout X de , exp' X ! exp X ! ; donc, pour tout x de I, ' x ! u ' x ! ´ exp u x ! . Exemple : Soit f la fonction définie sur par f x ! 1 e ax b ( a et b étant des constantes réelles). On pose : u x ! ax # b  ( x ) . u est dérivable sur , donc e u est dérivable sur . Pour tout x de , f ' x ! 1 a  e ax b .  3) Propriété : Soit f  la fonction exponentielle, alors, pour tout x de : f x ! f x ! 1 1 ; f x ! 0 . pour tout x de : exp x !  exp x ! 1 1 ; exp x ! 0 .  Preuve : * Soit la fonction définie sur par x ! f x ! f % x ! .
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On pose : u x ! % x   x ! . u et f sont dérivables sur , donc f ´ f u est dérivable sur . Pour tout x de :  ' x ! 1 f ' x ! ´ f u ( x ) ! # f x ! ´ u ' x ! f ' u ( x ) !   ' x ! 1 f ' x ! ´ f % x ! # f x ! ´ % f ' % x !  ' x ! f x ! ´ f % x ! % f x ! ´ f % x !  (car sur , ' f ), donc pour tout x de , g ' x ! 0 et est un intervalle ; donc pour tout x de , x ! k  ( k étant une constante réelle). Or g 0 ! f 0 ! ´ f 0 ! 1 2 1 . 1 1 donc pour tout x de : f x ! f x ! 1 1 . * (Par l’absurde) On suppose qu’il existe un x de tel que f x ! 0 , or f x ! f x ! 1 1, donc 0 f % x ! 1 1, donc 0=1 ; c’est impossible ; donc, on a montré par l’absurde que, pour tout x de : f x ! 0 .  3)  Propriété :  Il existe une fonction et une seule, dérivable sur , telle que sur , ' f et que f 0 ! 1. Preuve de l’unicité :  On suppose qu’il existe deux fonctions 1 et f 2 , dérivables sur , telles 1 ur ' 1  sur que : ff 11 ' ( ! f 1 1  1 s et f 22 ( 0 ! 2 f 1 1 . 0 f * On pose, sur , h x ! f 1 x ! f 2 % x ! et u x ! % x . u , 1 et 2 sont dérivables sur , donc h 1 f 1 ´ f 2 u est dérivable sur . Pour tout x de :  ' ' h x 1 f 1 x ´ f 2 u ( x ) # f 1 x ´ u ' x f 2 ' u ( x )  h ' x ! 1 f 1 ' x ! ´ f 2 % x ! # f 1 x ! ´ % f 2 ' % x !  h ' x ! 1 f 1 x ! ´ f 2 % x ! # f 1 x ! ´ % f 2 % x !  (car sur , 1 ' f 1 et ' 2 f 2 ), donc pour tout x de , h ' x ! 0 et est un intervalle , donc pour tout x de , h x ! k  ( k étant une constante réelle). Or h 0 ! f 1 0 ! ´ f 2 0 ! 1 1 2 1 1. On en déduit que, pour tout x de : f 1 x ! f 2 x ! 1 1 .
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* Sur , f 1 x ! f 2 x ! 1 1 ; de plus, f 2 ( % x ! 1 2 1 ( x ! , donc ff 12 ( xx !! 1 ; ainsi, pour tout x de : 1 x ! f 2 x ! .  II) Propriétés algébriques :  1)  Propriété :  Soit f la fonction exponentielle, alors, pour tous a, b de , a ! f b ! f a # b !  (1) exp a ! exp b ! exp a # b !  (1 )  Preuve : Soit h la fonction définie sur par h ( x ! 1 a ( x ! x ! . On pose : u x ! a # x   x ! . u et f sont dérivables sur ; de plus pour tout x de , f x ! 0 ; donc h 1 u est dérivable sur . Pour tout x de , h ' ( x ! 1 f u ! ' x ! fxf ! % xf u ! x ! f ' x ! 1 u ' x ! f ' u x ! ffx ! x % f u ! x ! f ' x ! 2 ( ! 2 ( !   1 ´ ' a # % # ' ' x f x f a x f x h ( x ! 1 !!(!!! 2  f x # % # h ' ( x ! f a x ! fxf ! 2 ( f ! a x ! f x ! 1 0 (car ' f sur ). x Pour tout x de , h ' x ! 0 et est un intervalle , donc pour tout x de , h x ! k  ( k étant une constante réelle). De plus h ( 0 ! 1 ff ( 0 a !! 1 f 1 a ! 1 f ( a ! . Ainsi, pour tout x de , h ( x ! 1 ffa ( # x ! x ! 1 f ( a ! , donc pour tous a, x de , a ! f x ! f a # x !  
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pour tous a, b de , a ! f b ! f a # b ! .  2)  Propriétés :  Soit f la fonction exponentielle, alors, pour tous a, b de : ff ( ab !!( a % b !    (2) ;  eexxpp ( ab !! exp ( a % b !  (2’). Pour tout a de , pour tout n de : ( a ! n 1 f ( na !  (3).                                                                exp ( a !  n 1 exp ( na !  (3’)  Preuve :  ** b ! f a b ! 1 f b # ( a % b ) ! 1 f a ! ; de plus f b ! 0 , donc ff ( ab !!( a % b ! .   ** * On montre par récurrence ,sur n de , que pour tout a de , ( a ! n 1 f ( na ! . Initialisation : ( a ! 0 1 1 f ( 0 ´ a !  1  ( a ! 1 f ( a ! 1 f ( 1 a ! Hérédité : On suppose que pour un n de , on a ( a ! n 1 f ( na ! . Or ( a ! n 1 1 f ( a ! n f ( a ! , donc ( a ! n 1 1 f ( na ! f ( a ! (d’après l’hypothèse de récurrence); de plus, na ! f a ! f na # a ! 1 f ( n # 1) a ! d’après (1), donc ( a ! n 1 1 f ( ( n # 1) a ! . Ainsi, d’après l’initialisation et l’hérédité, on a montré par récurrence, sur n de , que pour tout a de , ( a ! n 1 f ( na !  * Soit n , on pose : n % n ' ( n ' ) . ( f ( a ! ! n 1( f ( a ! ! % n ' 1( f ( 1 a ! ! n '  ,
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or, ( a ! n ' 1 f ( n ' a !  (car n ' ), donc ( f ( a ! ! n 1 ( 1 n ' a ! , . de plus f ( 1 x !( % x ! , donc ( a ! n 1 f ( % ( n ' a ) ! 1 f ( na !   3)  Propriété :  Pour tout a de , f a ! 0 (4) Preuve :       2   f ( a ! 1 f 2 a 2 1 f a 2 , donc f a ! ³ 0 ; de plus f a ! 0 , donc f a ! 0 .  4) Nouvelle notation :  a) On pose : e exp 1 ! . On a, pour tout n de : exp( n ) exp(1 ´ n ) 1 exp ( 1 ! n 1 e n . Par extension , on a, pour tout x de : exp( x ) e x . On en déduit : b) Propriétés : Pour tous x , y de , pour tout n de : exp ( % x ! 1 exp1 ( x ! , exp 0 ! 1 e % x e 1 x  , e 0 1 exp x ! exp y ! exp x # y !                   e x e y e x y  eexxpp ( yx !! exp ( x % y !                               ee yx 1 e x y  ( exp( x ) ! n 1 exp( nx ) e x n 1 e nx  exp x ! 0 e x 0  III) Exponentielle et limites 1) Propriété : lim e x % 11. x | 0 x Preuve :
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La fonction exponentielle est dérivable sur , donc en 0 ; de plus e x % 1 f x ! f 0 ! % f ' 0 ! f 0 ! 1 1 ; et, pour tout x de : = ; donc x x % 0 lim 0 e x % 1 1 f ' ( 0 ! , donc lim e x % 11 . x | x x | 0 x  2) a) Propriété : Pour tout x de    e x ³ x # 1 ( ) .  Preuve : (à refaire dans un devoir) On pose : x ! e x % x % 1 ( x Î ) . g , somme de fonctions dérivables sur , est dérivable sur . Pour tout x de , g ' x ! e x % 1. e x 1 0 Û e x e 0 Û x 0 , et g 0 ! 0 ainsi, pour tout x de , g ' x ! ³ 0 , donc est croissante sur , donc  si x ³ 0 alors g x ! ³ g 0 ! , donc e x x % 1 ³ 0 ; donc pour tout x de : e x ³ x # 1. b) Propriété :  lim e x . x |#υ Preuve : D’après ce qui précède (à refaire) , pour tout x de , e x ³ x # 1 ; de plus lim ( x 1) 1 #υ ; donc (d’après un critère de comparaison) x |#υ lim e x . x |#υ c) Propriété :  lim e x 0 . x |%υ Pour tout x de : e x 1 e % ( % x ! 1 1 : de plus,   x e lim ( x ) 1 #υ  et lim e X , donc ( par composé) lim e % x ; x |%υ X |#υ x |%υ donc lim e x 0 . x |%υ   x 3) a) Propriété :  lim e . x |#υ x
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Preuve :  D’après ( ) , (en remplaçant x ),  x  par 2 pour tout x de : e 2 x ³ 2 x # 1 ³ x 2, donc   e 2 x x ³ 2 xx ³ 2 x , donc e 2 x x 2 ³ x 4 ; donc pour tout x de : ex x ³ x 4 ; de plus x li | m υ 4 x , donc x e (d’après un critère de comparaison) lim . x |#υ x b) Propriété : Soit n  li e x m . x |#υ x n Preuve : x * Si n 1, alors lim e (c’est le cas précédent). x |#υ x * Si n Î \ 1 ,  n x n e n x pour tout x de : ex xn n 1 n x n n n 1 ex n 1 n 1 n . X lim x  (car n 0 ) et lim e , donc (par composé) x |#υ n X |#υ X x x n ; or n n 0 , don x l | im enx n , donc (par produits) x li | m ex n c (par n produit) lim e x .  x |#υ x n 4)  Propriétés :  lim ( xe x ) 0 ; lim ( x n e x ) 1 0 (n Î ) . x |%υ x |%υ (peut être à refaire) Preuve :
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% % * Pour tout x de * : xe x ( x ) e ( x ) 1. 1 % % 1 % e x x X lim ( x ) 1 #υ et X lim eX , donc (par composé) x li | m e % % x x , donc x |%υ |#υ lim ( xe x ) 0 . x |%υ  * Pour tout x de : x n e x 1 ( % 1) n ( % x ) n e % ( % x ) 1 ( % 1 n )1. % x e ( % x ) n X lim ( x ) 1 #υ et lim e  ( n Î ) , donc (par composé)  x |%υ X |#υ X n % x x li | m( ex ) n , donc x li | m ( x n e x ) 0 . % 5)  Exemples :  Montrer que x ! a une limite (finie ou infinie) en υ  et déterminer cette limite si : a)  x ! 2 e x % 3 x # 1 ( x ) . b)  x ! 1 xe x  ( x ) . Preuve : x a) Pour tout x de : 2 x 3 1 (2 e 31) e x # 1 x # . % x x x # 1 #υ ; x l | im ex x et x l | im 3 # x 1 1 % 3 ; donc lim (2 e 31) x |#υ x x or lim x , donc (par produit) lim (2 e x 3 x # 1) 1 #υ . x |#υ x |#υ b) Pour tout x de : % x 1 1 xe 1 x ´ 1 . e x e x x x % lim e , donc lim ( xe x ) 0 . x x x     
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      IV) Etude de la fonction exponentielle ;tracé de la courbe :  Soit la fonction définie sur par x ! e x . Le plan étant muni d’un repère orthonormal O ; i ; j ; soit C la courbe représentant dans ce repère. 1) Etude de la fonction : * lim e x  lim e x 0 . x |#υ x |%υ * est dérivable sur et pour tout x de  ' x ! e x . De plus e x 0 , donc pour tout x de g ' x ! 0 , donc * la fonction exponentielle est strictement croissante sur . Conséquences : Pour tous a , b de : e a e b Û a 1 b ; e a e b a b . 2) Tracé de la courbe C : a) Equation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. On a f 0 ! 1 et f ' 0 ! 1, d’où une équation de T : y f ' 0 ! ( x % 0) # f 0 ! Û y 1 x # 1. b) f 0 ! 1 1 ! e  ( e 2, 72) f ( 1 ! 1 e % 1 1 1 e  ( e % 1 0,37) .               
o
A
T
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V) Equations différentielles  1) Equations différentielles de la forme (1) y ' ay  ( a étant une constante)  a) Définition :   I  étant un intervalle  f est solution de l’équation différentielle y ' ay sur I signifie que f est dérivable sur I et, pour tout x de I : ' x ! a  f x ! .  b) Propriétés : Soit l’ équation différentielle (1) y ' ay  sur un intervalle I ( a étant une constante). * Toute solution f de cette équation différentielle vérifie sur x ! 1 Ce ax   ( C étant une constante réelle). * Si de plus x 0 y 0 (avec x 0 I et y 0 Î ) , alors (1) a une unique x solution et, pour tout x de I : f x ! 1 y 0 e a ( x 0 ) .  Preuve :  * Existence d’une solution Soit f une solution de y ' ay  sur un intervalle I . Soit la fonction définie sur I par : x ! 1 f x ! e ax . On pose, sur : u x ! % ax . u et f sont dérivables respectivement sur et sur I , donc f ´ e u est dérivable sur I . pour tout x de I  ' x ! af x ! . ' x ! 1 f ' x ! e ax # f x ! ( % ae % ax ) 1 ( f ' x ! af x ! ) e % ; or sur I , % ' x ! af x ! , donc f ' x ! af x ! 1 0 donc g ' x ! 0 ´ e % ax 1 0 sur l’ intervalle I , donc pour tout x de I : x ! C , donc x ! e % ax C , donc x ! 1 Ce ax sur I .  Réciproquement :  Si pour tout x de x ! 1 Ce ax ; alors f , produit de fonctions dérivables sur , est dérivable sur ; de plus, pour tout x de I : ' x ! 1 C ( ae ax ) 1 a ( Ce ax ) 1 af x ! . ( C étant une constante réelle).  * Unicité de la solution avec condition : x 0 y 0 Ce ax 0 1 y 0 Û C 1 y 0 e ax 0  (unicité de C ) ;  
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