chap 4 Cours

Arsène Alexandre

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··„˛--˛„-·Maths TS-Cours-La fonction exponentielle. Equation différentielle. Chap. 4 : La fonction exponentielle. Equation différentielle. A)Cours I) Généralités : 1) Propriété et définition : Il existe une fonction dérivable surℝ , telle que, surℝ , f ' = f et que f 0 =1. ( )On dit qu’une telle fonction est la fonction exponentielle, notée exp. Remarques : L’existence de exp est admise. (On montrera au I) 4) qu’une telle fonction est unique.) 2) Propriété : Soient exp la fonction exponentielle et u une fonction dérivable sur un intervalle I. On pose, pour tout x de I, f x = exp u x = exp u x ; ( ) ( ) ( ( ))alors f est dérivable sur I et, pour tout x de I, f ' x = u ' x exp u x . ( ) ( ) ( )Preuve : Les fonctions u et exp sont dérivables respectivement sur I et ℝ ; et pour tout x de I, u x ℝ ; donc f = exp u est dérivable sur I . ( )D’après la formule des dérivées de fonctions composées, pour tout x de I, f ' x = u ' x exp' u x , et, pour tout X de ℝ , ( ) ( ) ( )exp' X = exp X ; donc, pour tout x de I, f ' x = u ' x exp u x . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Exemple : ax+bSoit f la fonction définie sur ℝ par f x = e ( a et b étant des constantes ( )réelles). On pose : u x = ax + b (x ℝ) . ( )uu est dérivable surℝ , donc f = e est dérivable sur ℝ . ax+bPour tout x de ℝ , f ' x = a e . ( ) 3) Propriété : Soit f la fonction exponentielle, alors, pour tout x de ℝ : f x f x= 1 ; f x 0. ( ) ( ) ( )pour tout x ...

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Maths TS-Cours-La fonction exponentielle. Equation différentielle.

Chap. 4 : La fonction exponentielle. Equation différentielle.    A)Cours

  I) Généralités :   1)   Propriété et définition :   Il existe une fonction dérivable sur ℝ , telle que, sur ℝ , ' f et que f 0 ! 1. On dit qu’une telle fonction est la fonction exponentielle, notée exp.   Remarques : L’existence de exp est admise. (On montrera au I) 4) qu’une telle fonction est unique.)   2)   Propriété :   Soient exp  la fonction exponentielle et u une fonction dérivable sur un intervalle I. On pose, pour tout x de I, x ! 1 exp  u x ! 1 exp u x ! ; alors est dérivable sur I et, pour tout x de I, ' x ! u ' x ! ´ exp  u x ! . Preuve : Les fonctions u et exp sont dérivables respectivement sur et ℝ ; et pour tout x de I, u x ! ℝ ; donc exp  u est dérivable sur I . D’après la formule des dérivées de fonctions composées, pour tout x de I, ' x ! u ' x ! ´ exp'  u x ! , et, pour tout X de ℝ , exp' X ! exp X ! ; donc, pour tout x de I, ' x ! u ' x ! ´ exp  u x ! . Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ par f x ! 1 e ax b ( a et b étant des constantes réelles). On pose : u x ! ax # b  ( x ℝ ) . u est dérivable sur ℝ , donc e u est dérivable sur ℝ . Pour tout x de ℝ , f ' x ! 1 a   e ax b .   3) Propriété : Soit f  la fonction exponentielle, alors, pour tout x de ℝ : f x ! f x ! 1 1 ; f x ! 0 . pour tout x de ℝ : exp x !  exp x ! 1 1 ; exp x ! 0 .   Preuve : * Soit la fonction définie sur ℝ par x ! f x ! f % x ! .

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On pose : u x ! % x   x ℝ ! . u et f sont dérivables sur ℝ , donc f ´ f  u est dérivable sur ℝ . Pour tout x de ℝ :  ' x ! 1 f ' x ! ´ f u ( x ) ! # f x ! ´ u ' x ! f ' u ( x ) !    ' x ! 1 f ' x ! ´ f % x ! # f x ! ´ % f ' % x !     ' x ! f x ! ´ f % x ! % f x ! ´ f % x !  (car sur ℝ , ' f ), donc pour tout x de ℝ , g ' x ! 0 et ℝ est un intervalle ; donc pour tout x de ℝ , x ! k  ( k étant une constante réelle). Or g 0 ! f 0 ! ´ f 0 ! 1 2 1 . 1 1 donc pour tout x de ℝ : f x ! f x ! 1 1 . * (Par l’absurde) On suppose qu’il existe un x de ℝ tel que f x ! 0 , or f x ! f x ! 1 1, donc 0 f % x ! 1 1, donc 0=1 ; c’est impossible ; donc, on a montré par l’absurde que, pour tout x de ℝ : f x ! 0 .   3)   Propriété :   Il existe une fonction et une seule, dérivable sur ℝ , telle que sur ℝ , ' f et que f 0 ! 1. Preuve de l’unicité :   On suppose qu’il existe deux fonctions 1 et f 2 , dérivables sur ℝ , telles  1 ur  ' 1  sur que :     f f 1 1 ' ( ! f 1 1   1  s ℝ et     f 2 2 ( 0 ! 2 f 1 1 ℝ . 0 f * On pose, sur ℝ , h x ! f 1 x ! f 2 % x ! et u x ! % x . u , 1 et 2 sont dérivables sur ℝ , donc h 1 f 1 ´ f 2  u est dérivable sur ℝ . Pour tout x de ℝ :   ' ' h x 1 f 1 x ´ f 2 u ( x ) # f 1 x ´ u ' x f 2 ' u ( x )     h ' x ! 1 f 1 ' x ! ´ f 2 % x ! # f 1 x ! ´ % f 2 ' % x !     h ' x ! 1 f 1 x ! ´ f 2 % x ! # f 1 x ! ´ % f 2 % x !  (car sur ℝ , 1 ' f 1 et ' 2 f 2 ), donc pour tout x de ℝ , h ' x ! 0 et ℝ est un intervalle , donc pour tout x de ℝ , h x ! k  ( k étant une constante réelle). Or h 0 ! f 1 0 ! ´ f 2 0 ! 1 1 2 1 1. On en déduit que, pour tout x de ℝ : f 1 x ! f 2 x ! 1 1 .

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* Sur ℝ , f 1 x ! f 2 x ! 1 1 ; de plus, f 2 ( % x ! 1 2 1 ( x ! , donc f f 1 2 ( x x ! ! 1 ; ainsi, pour tout x de ℝ : 1 x ! f 2 x ! .   II) Propriétés algébriques :   1)   Propriété :   Soit f la fonction exponentielle, alors, pour tous a, b de ℝ , a ! f b ! f a # b !  (1) ’ exp a ! exp b ! exp a # b !  (1 )   Preuve : Soit h la fonction définie sur ℝ par h ( x ! 1 a ( x ! x ! . On pose : u x ! a # x    x ℝ ! . u et f sont dérivables sur ℝ ; de plus pour tout x de ℝ , f x ! 0 ; donc h 1  u est dérivable sur ℝ . Pour tout x de ℝ , h ' ( x ! 1 f  u ! ' x ! fx f ! % x f  u ! x ! f ' x ! 1 u ' x ! f ' u x ! f f x ! x % f  u ! x ! f ' x ! 2 ( ! 2 ( !     1 ´ ' a # % # ' ' x f x f a x f x h ( x ! 1 !! (! !! 2   f x # % # h ' ( x ! f a x ! fx f ! 2 ( f ! a x ! f x ! 1 0 (car ' f sur ℝ ). x Pour tout x de ℝ , h ' x ! 0 et ℝ est un intervalle , donc pour tout x de ℝ , h x ! k  ( k étant une constante réelle). De plus h ( 0 ! 1 f f ( 0 a ! ! 1 f 1 a ! 1 f ( a ! . Ainsi, pour tout x de ℝ , h ( x ! 1 f f a ( # x ! x ! 1 f ( a ! , donc pour tous a, x de ℝ , a ! f x ! f a # x !  

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pour tous a, b de ℝ , a ! f b ! f a # b ! .   2)   Propriétés :   Soit f la fonction exponentielle, alors, pour tous a, b de ℝ : f f ( a b ! ! ( a % b !    (2) ;   e e x x p p ( a b ! ! exp ( a % b !  (2’). Pour tout a de ℝ , pour tout n de ℤ : ( a ! n 1 f ( na !  (3).                                                                 exp ( a !  n 1 exp ( na !  (3’)   Preuve :   ** b ! f a b ! 1 f b # ( a % b ) ! 1 f a ! ; de plus f b ! 0 , donc f f ( a b ! ! ( a % b ! .     ** * On montre par récurrence ,sur n de ℕ , que pour tout a de ℝ , ( a ! n 1 f ( na ! . Initialisation : ( a ! 0 1 1 f ( 0 ´ a !   1   ( a ! 1 f ( a ! 1 f ( 1 a ! Hérédité : On suppose que pour un n de ℕ , on a ( a ! n 1 f ( na ! . Or ( a ! n 1 1 f ( a ! n f ( a ! , donc ( a ! n 1 1 f ( na ! f ( a ! (d’après l’hypothèse de récurrence); de plus, na ! f a ! f na # a ! 1 f ( n # 1) a ! d’après (1), donc ( a ! n 1 1 f ( ( n # 1) a ! . Ainsi, d’après l’initialisation et l’hérédité, on a montré par récurrence, sur n de ℕ , que pour tout a de ℝ , ( a ! n 1 f ( na !   * Soit n ℤ , on pose : n % n ' ( n ' ℕ ) . ( f ( a ! ! n 1 ( f ( a ! ! % n ' 1 ( f ( 1 a ! ! n '  ,

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or, ( a ! n ' 1 f ( n ' a !  (car n ' ℕ ), donc ( f ( a ! ! n 1 ( 1 n ' a ! , . de plus f ( 1 x ! ( % x ! , donc ( a ! n 1 f ( % ( n ' a ) ! 1 f ( na !     3)   Propriété :   Pour tout a de ℝ , f a ! ≻ 0 (4) Preuve :        2    f ( a ! 1 f   2 a 2   1   f   a 2     , donc f a ! ³ 0 ; de plus f a ! 0 , donc f a ! ≻ 0 .   4) Nouvelle notation :   a) On pose : e exp 1 ! . On a, pour tout n de ℤ : exp( n ) exp(1 ´ n ) 1 exp ( 1 ! n 1 e n . Par extension , on a, pour tout x de ℝ : exp( x ) e x . On en déduit : b) Propriétés : Pour tous x , y de ℝ , pour tout n de ℤ : exp ( % x ! 1 exp 1 ( x ! , exp 0 ! 1 e % x e 1 x  , e 0 1 exp x ! exp y ! exp x # y !                    e x e y e x y   e e x x p p ( y x ! ! exp ( x % y !                                e e y x 1 e x y   ( exp( x ) ! n 1 exp( nx ) e x n 1 e nx   exp x ! 0 e x ≻ 0 ≻   III) Exponentielle et limites 1) Propriété : lim e x % 1 1.  x | 0 x Preuve :

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La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ , donc en 0 ; de plus e x % 1 f x ! f 0 ! % f ' 0 ! f 0 ! 1 1 ; et, pour tout x de ℝ : = ; donc x x % 0 lim 0 e x % 1 1 f ' ( 0 ! , donc lim e x % 1 1 . x | x x | 0 x   2) a) Propriété : Pour tout x de ℝ     e x ³ x # 1 ( ) .   Preuve : (à refaire dans un devoir) On pose : x ! e x % x % 1 ( x Î ℝ ) . g , somme de fonctions dérivables sur ℝ , est dérivable sur ℝ . Pour tout x de ℝ , g ' x ! e x % 1. e x 1 ≻ 0 Û e x ≻ e 0 Û x ≻ 0 , et g 0 ! 0 ainsi, pour tout x de ℝ , g ' x ! ³ 0 , donc est croissante sur ℝ , donc   si x ³ 0 alors g x ! ³ g 0 ! , donc e x x % 1 ³ 0 ; donc pour tout x de ℝ : e x ³ x # 1. b) Propriété :  lim e x #υ . x |#υ Preuve : D’après ce qui précède (à refaire) , pour tout x de ℝ , e x ³ x # 1 ; de plus lim ( x 1) 1 #υ ; donc (d’après un critère de comparaison) x |#υ lim e x #υ . x |#υ c) Propriété :  lim e x 0 . x |%υ Pour tout x de ℝ : e x 1 e % ( % x ! 1 1  : de plus,     x e lim ( x ) 1 #υ  et lim e X #υ , donc ( par composé) lim e % x #υ ; x |%υ X |#υ x |%υ donc lim e x 0 . x |%υ     x 3) a) Propriété :  lim e #υ . x |#υ x

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Preuve :  D’après ( ) , (en remplaçant x ),   x  par  2 pour tout x de ℝ : e 2 x ³ 2 x # 1 ³ x 2 , donc    e 2 x x ³ 2 x x ³ 2 x , donc      e 2 x x      2 ³ x 4  ;  donc pour tout x de ℝ : e x x ³ x 4  ; de plus  x li | m υ 4 x #υ , donc x e (d’après un critère de comparaison) lim #υ . x |#υ x b) Propriété : Soit n ℕ  li e x m #υ . x |#υ x n Preuve : x * Si n 1, alors lim e #υ (c’est le cas précédent). x |#υ x * Si n Î ℕ ∀ \ 1 ,   n  x  n  e n   x  pour tout x de ℝ : e x x n n 1 n x n n n 1 e x n 1      n      1     n     . X lim x #υ  (car n ≻ 0 ) et lim e #υ , donc (par composé) x |#υ n X |#υ X x   x  n ; or n n ≻ 0 , don x l | im #υ e n x n #υ , donc (par produits) x li | m #υ    e x n    #υ c (par n  produit) lim e x #υ .   x |#υ x n 4)   Propriétés :  lim ( xe x ) 0 ; lim ( x n e x ) 1 0 (n Î ℕ ) . x |%υ x |%υ (peut être à refaire) Preuve :

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% % * Pour tout x de ℝ * : xe x ( x ) e ( x ) 1 .  1 % % 1 % e x x X lim ( x ) 1 #υ et X lim e X #υ , donc (par composé) x li | m %υ e % % x x #υ , donc x |%υ |#υ lim ( xe x ) 0 . x |%υ   * Pour tout x de ℝ : x n e x 1 ( % 1) n ( % x ) n e % ( % x ) 1 ( % 1 n ) 1 .  % x e ( % x ) n X lim ( x ) 1 #υ et lim e #υ  ( n Î ℕ ) , donc (par composé)   x |%υ X |#υ X n % x x li | m ( e x ) n #υ , donc x li | m %υ ( x n e x ) 0 . %υ % 5)   Exemples :   Montrer que x ! a une limite (finie ou infinie) en υ   et déterminer cette limite si : a)   x ! 2 e x % 3 x # 1 ( x ℝ ) . b)   x ! 1 xe x  ( x ℝ ) . Preuve : x a) Pour tout x de ℝ : 2 x 3 1 (2 e 3 1 ) e x # 1 x # . % x x x # 1 #υ ; x l | im #υ e x x #υ et x l | im #υ    3 # x 1    1 % 3 ; donc lim (2 e 3 1 ) x |#υ x x or lim x #υ , donc (par produit) lim (2 e x 3 x # 1) 1 #υ . x |#υ x |#υ b) Pour tout x de ℝ : % x 1 1 xe 1 x ´ 1 . e x e x x x % lim e #υ , donc lim ( xe x ) 0 . x |υ x x |υ        

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            IV) Etude de la fonction exponentielle ;tracé de la courbe :   Soit la fonction définie sur ℝ par x ! e x .  Le plan étant muni d’un repère orthonormal O ; i ; j ; soit C la courbe représentant dans ce repère. 1) Etude de la fonction : * lim e x #υ  lim e x 0 . x |#υ x |%υ * est dérivable sur ℝ et pour tout x de ℝ  ' x ! e x . De plus e x ≻ 0 , donc pour tout x de ℝ g ' x ! ≻ 0 , donc * la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ . Conséquences : Pour tous a , b de ℝ : e a e b Û a 1 b ; e a ≺ e b a ≺ b . 2) Tracé de la courbe C : a) Equation de la tangente T à C au point d’abscisse 0. On a f 0 ! 1 et f ' 0 ! 1, d’où une équation de T : y f ' 0 ! ( x % 0) # f 0 ! Û y 1 x # 1. b) f 0 ! 1 1 ! e  ( e ≃ 2, 72) f ( 1 ! 1 e % 1 1 1 e  ( e % 1 ≃ 0,37) .                            

o

A

T

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V) Equations différentielles   1) Equations différentielles de la forme (1) y ' ay  ( a étant une constante)   a) Définition :    I  étant un intervalle   f est solution de l’équation différentielle y ' ay sur I signifie que f est dérivable sur I et, pour tout x de I : ' x ! a   f x ! .   b) Propriétés : Soit l’ équation différentielle (1) y ' ay  sur un intervalle I ( a étant une constante). * Toute solution f de cette équation différentielle vérifie sur x ! 1 Ce ax    ( C étant une constante réelle). * Si de plus x 0 y 0 (avec x 0 I et y 0 Î ℝ ) , alors (1) a une unique x solution et, pour tout x de I : f x ! 1 y 0 e a ( x 0 ) .   Preuve :   * Existence d’une solution Soit f une solution de y ' ay  sur un intervalle I . Soit la fonction définie sur I par : x ! 1 f x ! e ax . On pose, sur ℝ : u x ! % ax . u et f sont dérivables respectivement sur ℝ et sur I , donc f ´ e u est dérivable sur I . pour tout x de I  ' x ! af x ! . ' x ! 1 f ' x ! e ax # f x ! ( % ae % ax ) 1 ( f ' x ! af x ! ) e % ; or sur I , % ' x ! af x ! , donc f ' x ! af x ! 1 0 donc g ' x ! 0 ´ e % ax 1 0 sur l’ intervalle I , donc pour tout x de I : x ! C , donc x ! e % ax C , donc x ! 1 Ce ax sur I .   Réciproquement :  Si pour tout x de x ! 1 Ce ax ; alors f , produit de fonctions dérivables sur , est dérivable sur ; de plus, pour tout x de I : ' x ! 1 C ( ae ax ) 1 a ( Ce ax ) 1 af x ! . ( C étant une constante réelle).   * Unicité de la solution avec condition : x 0 y 0 Ce ax 0 1 y 0 Û C 1 y 0 e ax 0  (unicité de C ) ;  

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