Contribution á l'étude du coút des sinistres automobiles

P. Picard

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• Publié par: Nezeg
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• Langue: Français

Extrait

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CONTRIBUTION ;\ L']~TU])E DU COOT DES SINISTRES
AUTOMOBILES
P. PICARD
Paris
~UMMARY
Conlribulzon Sludy of Aulomobile claims amounts
After having look at the results obtained by adjustment of automobile
claims amounts dmtr~bution, we research how the number and the time-
configuration of past clailns condition the claHns law of probability.
have statistics about group of 47 ooo cars whmh was followed for
three years 7970, ~971 and r972. use naathematical technics and among
multi-dimenslonal analysis, we use factorial analysis of corrcspondancc
(A F.C. permits us to show the link Much exists between the clam1
amount of the tlnrd 3-ear and the nltmber of clalnas durmg the two years
before. quantveatlve analysis of the corporal claims shows tl)at, of the
frequency of corporal claHns during the third year growths up in functton
of the number of paat clatms, the expected corporal claims amount of the
third year decreases as the square of the material elamis number during the
two first years
[. POSITION ~ATHI~MA'I'IQUE
La notion de processus de risque est d6sormais bien connue des
actuaires. Oll ne rappellera done ici que les d6finJtions et propri6t6s
utiles pour la suite des ealculs.
Soit St la somme des n-tontants des sinistres pendant la p6riode
de temps St est une variable al6atoire d6pendant du temps,
e'est un processus al6atoire que l'on d6eompose ell:
-- la probabilit6 P,~ (t, pour que le hombre de sinistres passe de
pendant la p&iode de temps (t, s);
-- la fonction Ft(x/y), probabilit6 pour que 5t soit inf6rieur
sachant qu'~. l'instant pr6c6dent t, il 6tait 6gal et sachant
que iest l'abscisse d'un saut du processus (un sinistre).
Cette fonction Ft(x/y) est l'objet de cette 6tude. On a:
Ft(x/y Prob y/St_G= et abscisse d'un sinistre]
soit en posantz y--x (montant du sinistre l'instant l)
Ft(z) Prob lASt z/t abscisse d'un sinistre]
oh &St est l'accroissement de Ht l'instant t.
5.
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AJUSTEMENTS
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114
n. LOIS
II.i. Prdcautions prendre pour analyser des co~ts de sinistres
automobiles
La base statistique est un ensemble de sinistres survenus au
cours d'un certain laps de temps un groupe de vdhicules bien
d~fini. Mais pour analyser ces chiffres, des prdcautions doivent ~tre
prises:
-- Si l'on observe des sinistres r6cents, beaucoup d'entre eux ne
sont r6gl6s que partiellement et la pattie 6valu4e est peu pr6cise.
Pour avoir une meilleure connaissance des coflts, il faudra
attendre le moment off la proportion des dossiers restant en
dvaluation est faible.
-- Dans une 6tude de ce type, surtout si la p6riode d'observation
est longue, on est amend comparer des sommes des instants
diff6rents et, donc, se pose le probl~me du choix (ou de la con-
struction) du type d'actualisation.
II.2. Rdsultats obtenus
Monsieur Marcel Henry montr6 que la fonction y, hombre de
sinistres sup6rieurs/t une garantie x, pouvait 6tre repr~sent6e d'une
fa~on assez satisfaisante par la fonction de Galton-MacAlister
-z'
y-- ~-- dz avec Log
~/~_.
apparalt toutefois ndcessaire de donner /t deux valeurs
difffrentes, l'une pour les infdrieurs un certain montant, l'autre
pour des valeurs de plus 61ev~es (le nombre de gros sinistres
d~croit tr6s rapidement).
On obtient des rfsultats comparables avec la formule de Pareto:
Logy=aLogx+b ou y--
qui l'avantage de conduire des calculs plus simples. Mais, comme
darts la loi propos6e par Monsieur Marcel Henry, on doit aiuster
plusieurs courbes suivant l'importance des sinistres.
Monsieur B. Almer propos6 d'ajuster la distribution des sinistres
par un trin6me exponentiel:
'F(x) [a~c -~ a#~c -~x a~c
avecat +a2 +aa=
-~'~x]
5.
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L'~TUDE COOT 115
Plus r6cemment, Monsieur Gaudibert, dans une th6se pr6sent6e
devant l'Institut des Actuaires Fran~ais ajust6, pour les
une fonction du type:
-- xa cox
III. LIAISONS ANN~ES
III.I. Rappel
P. Depoid, dans son ouvrage "Applications de la statistique aux
Assurances", fait apparaltre la liaison entre les fr6quences d'ann6es
successives de m~mes assur6s. 3~onsieur Delaporte formalis6 le
GRAPHIQUE
Sinislers Materiels
~ce totale
F'r~quence
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Indice de Fr6qence de 3~me Annde en Fonction des Resultats de i~re et
2~me Ann6e.
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Corporels
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arm
Indice de Fr6quence de Ann6e cn ]:onction des Resultats
de et Ann6e
problhme. Monsieur Brichler propos6 une formule remar-
quablement simple
I+X
nF
oh est la fr6quence d'ensemble et le hombre de sinistres 1)endant
ann6es.
Cette formule ensuite 6t6 am61ior6e dans des travaux effectuds
l'Association gdn6rale des Socidt6s d'Assurance centre les Accidents.
Pour fllustrer ce ph6nomhne, on se reportera au graphique
obtenu avec la "Statistique commune" de I97o, 197I et 1972.
On port6, en ordonn6e, un indice de fr~quence: -~ ensemble
de la population pour l'annde consid6r6e et, en abscisse: le nombre
de sinistres survenus dans les deux ann6es pr6c6dentes. Lc graphique
montre l'accrolssement du risque corporel en fonction du
nombre de sinistres mat6riels pass6s.
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l~{ateriels
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LA--kA2
GRAPHIQUE
PICARD 3
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GRAPHIQUE
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r&,t~llals
L'I~.TUDE DU COU'F DES SINISTRES AUTOMOBILES 117
III.2. Liaiso~s lre les des amides prdcddenles el le codt
moye~ des sinislres augomobiles
Sur le graphique 3, on porte en abscisse, le hombre de sinistres
des deux premieres anndes et, en ordonn6e, un indice du co~t
moyen des sinistres de troisi6me ann6e. La d~croissance du
moyen en fonction de la gravit6 des ant6cddents est nette. En effet,
pour sinistres en deux ans, le coflt moyen est diminu6 de 25%.
Sinistres Materiels
do
~D ~en-
ludice du cout Moyen de 3brae Annde en Fonct:ion du Nombre de Smistres
en l~rc ct 2~nae 2\nn~c
Ill.3. Choix d'u~,e mdlhode de recherche
Le but de la pr6sente 6tude est de rechercher comment le hombre
et [a configuration temporelle des sinistres passfs conditiom~ent la
distribulio~ des cot;ts des sinistres de del'ni&re ann6e.
3~
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ANALYSE
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FACTORIELLE
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a
i18
La statistique classique permet d'ajuster une loi de probabilit6
de forme analytique donn6e aux r6sultats empiriques. Pour 6tudier
la liaison temporelle dans le cofit des sinistres automobiles, il est
intfressant de se dftacher d'une hypothhse de loi: les "analyses
multidimensionn6es" et, plus particulihrement, "Analyse fac-
torielle des correspondances" (A.F.C.) choisie dans cette 6tude le
permettent.
IV. (A.F.C.)
IV.i. Thdorie
Cette analyse est g6n6ralement utilis6e dans l'6tude des tableaux
de contingence, reals, par extension, cette m6thode s'applique
tout tableau rectangulaire de nombres positifs ou nuls.
Soit pij l'616ment