Contribution à l'étude numérique du comportement du béton et des structures en béton armé soumises

Nechnech, Wahid

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Extrait

Chapitre II Formulation du modèle
CHAPITRE II
FORMULATION DU MODELE
II-1 INTRODUCTION................................................................................................................................. 71
II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT-PLASTICITE COUPLES............ 72
II 2.1 FORMULATION DU MODÈLE................................................................................................................. 73
II 2.2 EVOLUTION DE L ’ENDOMMAGEMENT..................................................................................................75
OUPLAGE ENTRE PLASTICITÉ ET ENDOMMAGEMENTII 2.3 C ......................................................................... 79
II 2.4 CRITÈRE DE PLASTICITÉ– P OTENTIEL PLASTIQUE............................................................................... 80
II 2.5 LOIS DE COMPORTEMENT DU BÉTON À HAUTES TEMPÉRATUR.........................................................ES 84
II 3 INTEGRATION DU MODELE DANS UN CODE DE CALCUL ELEMENT FINIS................. 103
II 3.1 DESCRIPTION DU PROBLÈME THERMO MÉCANIQUE- ........................................................................... 103
II 3.2 RÉSOLUTIONS NUMÉRIQUES DU PROBLÈME THERMIQUE ................................................................... 105
II 3.3 RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DU PROBLÈME MÉCANIQU......................................................................E 108
II 3.4 INTÉGRATION DES ÉQUATIONS CONSTITUTIVES DU MODÈL.............................................................E 110
II-4 CONCLUSION.................................................................................................................................... 134
70 Chapitre II Formulation du modèle
II-1 INTRODUCTION
Le but de ce chapitre consiste en l’élaboration d’un modèle de comportement pour le béton
permettant de prendre en compte l’endommagement mécanique et l’effet unilatéral lors des
chargements cycliques d’une part, ainsi que l’endommagement thermique et l’influence du
chargement mécanique sur le processus de déformation thermique ( fluage thermique
transitoire) lors des chargements combinés. L’objectif final de ce travail est de pouvoir
intégrer ces différents phénomènes dans un calcul de structure afin d’améliorer et de rendre
plus prédictive la modélisation thermo mecanique du béton.
Dans ce but, un modèle couplant le niveau d’écrouissage atteint en traction/compression avec
l’endommagement est proposé. Ce couplage endommagement plasticité est assuré en utilisant
le principe de la contrainte effective. Sans pour autant perdre de vue la physique des
phénomènes, cette modélisation du matériau est effectuée de manière phénoménologique dans
le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles.
71 Chapitre II Formulation du modèle
II-2 ELABORATION D’UN MODELE D’ENDOMMAGEMENT
PLASTICITE COUPLES
Ainsi qu'il est apparu à travers l'analyse des résultats expérimentaux, donnés dans la partie
bibliographique, le comportement thermo mécanique du béton en traction ou en compression
ne diffère du comportement à température ambiante que :
- par une résistance en compression /en traction et un module d'élasticité plus faibles,
fonction de la température
- par l'apparition d'une déformation d'interaction thermo mécanique.
La modélisation du comportement micro fissuré du béton sous chargement thermo mécanique
peut être conduite de la même façon que sous chargement mécanique à température ambiante,
pourvu que les effets de température soient introduits dans la formulation du modèle.
S’intéressant maintenant à la modélisation non linéaire du béton, pour des chargements
mécaniques à température ambiante, la connaissance de la variation de la déformation
plastique joue un rôle très important en ce qui concerne la description macroscopique non
linéaire du béton (Frantziskonis & Desai 1987, Lubliner & al. 1989, Ulm 1996, Sercombe
1997). En effet, les déformations plastiques étant très fortement liées au développement de la
micro fissuration. L'utilisation de cette variable pour piloter l'endommagement et
l'écrouissage semble adéquate pour la bonne représentation du couplage endommagement
plasticité.
Le problème majeur est maintenant de savoir quel type de variable d’endommagement nous
allons choisir (endommagement anisotrope ou isotrope). On sait d’après l’analyse
expérimentale que les fissures se développent dans un plan perpendiculaire aux extensions,
créant dans un premier stade une anisotropie du comportement du béton, et dans un stade
ultime des surfaces de rupture de même sens. Une approche serait alors de considérer que
l’augmentation de l’endommagement induit une anisotropie et de choisir alors un
endommagement anisotrope.
Des résultats récents obtenus par Fichant & al. (1998) en statique montrent que dans des
situations où la fissuration du matériau est essentiellement pilotée par une extension
72 Chapitre II Formulation du modèle
unidimensionnelle, un endommagement scalaire donne des résultats numériques, au niveau de
la structure, similaires à ceux issus par des modèles d’endommagement orthotrope. Nous
ferons l’hypothèse que cela reste vrai dans le cas ou la fissuration du matériau est contrôlée
par une variable de nature déformation plastique.
En fait, l’anisotropie induite par l’endommagement n’est importante que lorsque le matériau
est soumis à des extensions multiaxiales ou quand l’histoire le chargement appliqué au
matériau est fortement non radiale.
Etant donné la complexité des modèles d’endommagement anisotrope, comparés aux modèles
isotropes (à la fois du point de vue de la calibration du modèle et de son implémentation
numérique) nous considérons que l’endommagement est une variable scalaire . Il est
important de noter que ce choix ne compromet pas la prise en compte de la dissymétrie entre
les comportements de traction et la compression.
II 2.1 Formulation du modèle
Dans le but d’effectuer une modélisation isotrope des phénomènes thermo plastiques couplés
à l’endommagement dans le cadre général de la thermodynamique des processus irréversibles,
nous postulons l’existence d’un potentiel thermodynamique (dans notre cas, nous avons choisi
l’énergie libre Helmhotz) s’exprimant comme une fonction à valeur scalaire et convexe par
rapport aux variables d’états.
ey=y(), qD, L+y()k, qD, L (II.1)e p
Dans cette équation désigne le potentiel thermo élastique endommageable donnée par :e
2
1 1qe ee ey(), q, D, Le=:E-q m:-C (II.2)e
2 2T0
dans lequel C représente la chaleur spécifique etT la température de référence du système.0
Le tenseur de rigidité du matériau E et le tenseur du deuxième ordre de couplage thermo
mécanique m sont donnés par :
E=E()D, L, E ; m=3Ka?1 (II.3)0
73
ye
e
d
e
e
d
e
g
d
d
q
d
Chapitre II Formulation du modèle
où est le tenseur de rigidité du matériau non endommagé. désignent respectivementE K,0
le module de compressibilité volumique et le coefficient de dilatation thermique fonctions de
la température, 1 représente le tenseur unité.
eLes variables d’états sont alors, le tenseur de déformation élastique , la température relative
q = T - T , la variable d’endommagement mécanique D et la variable d’endommagement0
thermique L .
En outre, désigne le potentiel thermo plastique endommageable et kk représente lep
vecteur paramètre d’écrouissage qui contrôle le processus de plasticité. L’hypothèse du
découplage entre les effets de plasticité et les autres phénomènes est utilisée. La déformation
ptotale e est alors décomposée en une part réversible, une part irréversible et une part
q
thermique e comme suit :
e p qe = e + e + e (II.4)
L’influence du chargement mécanique sur le processus de déformation thermique, décrit sous
le terme d’interaction thermo mécani