Cours 2008.2009

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qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqFORME EXPONENTIELLE DES NOMBRES COMPLEXES. TERMINALE S APPLICATION AUX Chapitre V I TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES . I- II NTRODUCTIION - 1 - Nouvelle notation On a vu dans le chapitre IV la relation suivante : ( cos + i sin )) × ( cos ’ + i sin ’ ) = cos( + ’) + i sin( + ’’)).. On considère alors la fonction f définie sur à valeurs dans définie par :ffff(( (( )))) ==== ccccoooossss ++++ iiii ssssiiiinnnn . D’après ce qui précède, on af( + ’) = f( ) × f( ’’)). C’est l’équation algébrique caractéristique de lafonction exponentielle ! Si l’on admet que la notion de cfotinon dérivable se prolonge aux fonctions à valeur sdans , on obtient de plus : f ’( ) = – sin + i cos soit : f ’() = i f( ). Par conséquent, f vérifie l’équa diff y:’ = i y et y(0) = .1 Par analogie, on note alors : >?ffff(((( )))) ==== ccccoooossss ++++ iiii ssssiiiinnnn = === = .... D’où : 2- La forme exponentielle des nombres complexes >?Déf1 : pour tout nombre complexe nz on nul de module r et d’argument , on note z: = r(cos + i sin) = r = . Cette forme est appeléel a forme exponentielle de z . Exs : donnons la forme exponentielle des nombres comepxles suivants : z= 1 : z= i : C> > C D EN PARTICULIER ::– ...

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• Publié par: Sior
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• Langue: Français

Extrait

FORMEEXPONENTIELLEDES NOMBRESCOMPLEXES. TERMINALESAPPLICATIONAUX ChapitreVI TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES. I-INTRODUCTION 1- Nouvelle notation On a vu dans le chapitre IV la relation suivante : ( cosq+ isinq) × ( cosq’ + i sinq’ ) = cos(q+q’) + i sin(q+q’). aleurs ddéfinie par :  On considère alors la fonction f définie surà vans f(q) =cosq+ i sinq . D’après ce qui précède, on a f(q+q’)=f(q) × f(q’) . C’est l’équation algébrique caractéristique de la fonction exponentielle !Si l’on admet que la notion de fonction dérivable se prolonge aux fonctions à valeurs dans, on  obtient de plus : f ’(q) = – sinq+ i cosq soit: f ’(q) = i f(q). Par conséquent, f vérifie l’équa diff : y’ =i yety(0)=1 . Par analogie, on note alors : > f(q) = cosq+ i sinq=  . D’où : 2- La formeexponentielledes nombres complexes > Déf1: pour tout nombre complexe z nonnul de module r et d’argumentq, on note : z = r(cosq+ i sinq) = r  . Cette forme est appelée la formeexponentielledez . Exs : donnons la forme exponentielle des nombres complexes suivants : z= 1 : z= i : Ç > > Ç EN PARTICULIER:–1=  =et i   z = 1 – i : z = –3 + i : ère II-REGLES DE CALCULS AVEC LA NOTATION EXPONENTIELLEET 1APPLPICATION 1- Produit et quotient de nombres complexes écrits sous forme exponentielle Prop1 :pour tout r, r’,qetq’ réels on a :    > >> >> >() ·  ×  =  etplusgénéralement:  ×  =r r’  . J JJ K> K> · =  et plus généralement:=  . > >   > >     >(K )>(K ) ·  =  et plus généralement :  =  . > >    Ô > Ô>Ô ·   =   . On retiendra : pour multiplier, on multiplie les modules et on ajoute les arguments et pour diviser, on divise les modules et on soustrait les arguments… Preuve :yaka avec les résultats duchap IV … 4 3 Exs : calculons la forme algébrique de z 1 ×z 2 où z 1 = (1+i)et z 2 : pour ce faire sans y passer 10 ans,3 – i)= ( utilisons la forme exponentielle !

Chapitre VI

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2- Forme exponentielle et conjugué Prop2 :pour tout nombre complexe z non nul de module r et d’argumentq, on a : J %  K> Û  z=  =  = r×. >  Preuve: 3- Formule de Moivre et formules d’Euler ( HorsProgramme mais parfois utiles …) Prop3 :pour tout nombreqréel et n entier, on a : n (cosq+ isinq)= cos nq+ isin nq: c’est la formule de Moivre. > W>> W>   K cos q= etsin q= : ce sont les formules d’Euler.  > Preuve : Ex d’application : retrouver les formules donnant cos2qet sin2q, trouver celles donnant cos3qet sin3q… cf. feuille de cours. ère 4- 1applicationgéométrique: représentationparamétriqueducercle + * ewet rAlors, . M d’affixe z est sur lecercledecentreWet de Prop4 :dans le plan complexe, soitWd’affix  > rayon rssiz=w+  oùq]–p;p]. Preuve : Et enfin pour en finir avec les complexes ( quoi déjà ? ) : III-APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES AUXTRANSFORMATIONS DU PLAN( cf. activité ) 1- Lecasdelatranslation Prop5 :qui à un point M d’affixe z associesoit b un nombre complexe. Soit f la transformation du plan complexe   ¾ | ¾| ¾ | ¾|   le point M’ d’affixez + b. f: . Alors f est latranslation devecteurud’affixeb .  M(z)M’(z + b) ¾ | ¾| ½ Preuve : Chapitre VIPage 2

2- Le cas de l’homothétie Prop6 :Soientwun nombre complexe, affixe du pointWet k un nombre réel non nul. Soit f la transformation du plan complexe qui à un point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’–w= k( z–w) . Alors, f est l’homothétie de centreWet de rapport k . Preuve : 3- Le cas de larotation Prop7 :Soientwnombre complexe, affixe du point unW etqnombre réel. Soit f la transformation du plan un q i complexe qui à un point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’–w= e( z–w) . Alors, f est la rotation de centreWetd’angle orientéq . Preuve : Ex : soit fl’application du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :z’ = 3z + 3 – i. quelle est la nature de cette transformation ?  METHODE:

Chapitre VI

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