Cours 2008.2009

Propriétaire

Description

RRFONCTION EXPONENTIELLE TERMINALE S ET EQUATIONS Chapitre V DIFFERENTIELLES I- -PPRESSENNTTATTIOONN DDE LLA NNOOTTIOONN DD’E’QUATTIOONN DDIFFEFRENNTTIELEL L(E( EQUA DDIFF F ))I 1- Définitionss Déf1 :o n appelleé quation ddififféérreennttieiell leteoute équation donl’tin connue est une foncti,o nsouvent désignée par la lettrye ; équation faisant intervenir fào isla la fonction s saya d,dé érrivivééee yy ( (’ ’ vvooirir llaa ddéérrivivééee sseecoonnddee yy’’ e’ et…t )) llllaaaa vvvvaaaarrrriiiiaaaabbbblllleeee .xxxx Déf2 : résoudre une équation diffréernetniteilelle lsesuurr uunn ininteerrvvaalllee , I c’est détermintero utes les fonctio dndéséf fininieiess et dérivables sur Ivé r ifiant l’équation. Ex : on considère l’équation différentie8l’l e 9: 28 – 4< – 3 > à0 résoudre sur . Alors l’inconnue est la fonction y : concrètement on cherche toutesc tlieosn fs @o nd éfinies sur qui vérifient : Pour tout< , @ ’(<) 9 2A @ (<) – 4< – 3 > 0. Vérifions que @ définie sur par @ (<) > 2< 9 BCCDEC ! GHIJDK JLJ M é NeHsJtH .solution : Rmq : il y a une infinité de fonctions solutionéq uda’u ndei ff. Le but est de trouver TOUTES les sonlsu t…io C’est une autre histoire … 2- La condition initi a le Déf3 : résoudre une équation différentielle avecccccoo oonnnnddddiiiittttiiiioooonnnn iiiinnnniiiittttiiiiaaaa,llll eeeec’est détermineLLLLrAAAA ffffoooonnnnccccttttiiiioooonnnn vvvvéééérrrriiiiffffiiiiaaaannnntttt ...

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Extrait

FONCTIONEXPONENTIELLE TERMINALE SETEQUATIONSV Chapitre DIFFERENTIELLES I-PRESENTATIONDELANOTION D’EQUATION DIFFERENTIELLE( EQUA DIFF ) 1- Définitions Déf1 :on appelle équation différentielle toute équation dont l’inconnueestunefonction , souvent désignée par la lettre y ; équation faisant intervenir à la fois la fonctiony,sa dérivée y ’( voir la dérivéesecondey’’…)et la variable x . Déf2: résoudreuneéquationdifférentiellesur un intervalle I , c’est déterminer toutes les fonctionsdéfinies et dérivables sur I vérifiant l’équation. Ex :on considère l’équation différentielle: 8’ 9 28– 4<– 3> 0 . Alors l’inconnue est larésoudre sur à  fonction y : concrètement on cherche toutes les fonctions @ définies surqui vérifient :  Pour tout (<) –4< –9 2Ā @< ,@ ’(<)3 > 0.   Vérifions que @ par définie sur @ (<)> 2< 9 ÇÇÉÇ! GjKjj éj.  est solution :  Rmq : il y a une infinité de fonctions solution d’une équa diff. Le but est de trouverTOUTES les solutions … C’est une autre histoire … 2- La condition initiale Déf3 :résoudre une équation différentielle avec condition initiale , c’est déterminer LA fonctionvérifiant l’équation et une condition du typey(x 0 ) > y 0 appelée conditioninitiale où x 0 et y 0 sont des valeurs données dans l’exercice. Rmq : dans ce cas, la solution est unique. 8’ 9 28– 4<– 3> 0  Ex : on considère l’équa diffavec condition initiale :  . La condition initiale est ici donnée 8(0) >  1 par : 8(0) >– 1. Alors la fonction du1-ne convient plus … Explication : Intéressons-nous plus particulièrement à une équa diff particulière découlant, entre autre, de pbs de physique ( cf. activité ) : II-YL’ETUDE DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE’ > Y AVEC Y(0) > 1( cf. activitéavecla méthoded’euler ) 1- Existenceetunicité delasolution Théor-déf1 :il existe une unique fonction  définie etdérivablesurvérifiant l’équa diffaveccondition  initiale:  Û >Û   Û(W) >  Cette fonction est notée ( dans un premier temps ) Z , appeléefonction exponentielle . Pour tout  , on a > Z KZ W> . (Z )’  Preuve : l’existence est hors programme ou peut être étudiée à l’aide de suites… ( plus tard dans l’année ) En revanche, la démonstration de l’unicité est à connaître ! ( - cf. feuille de cours - )

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CALCULATRICE :

2- Signe et première propriétéde la fonctionexp Prop1: pour tout <  ,on a :a) Z(   )Ā Z( )>    b) â_È  é@Z (  ) ]^^_`^ !. W c)  WYZ  Y ) . Preuve : para) c’est ce qui a été vu dans la démonstration de l’unicité. Pour rappel on introduit la fonction f définie sur  fx) = exp x ) × exp  – x ) puis on dérive … b) logique ! si il existait x 0 tel que exp x 0 ) = 0, alors exp x 0 ) × exp – x 0 ce qui contredit a) !) = 0 c) làc’est rusé ! On sait que la fonction exp est dérivable surdonc continue sur. De plus, on aexp 0 ) = 1    0. Si il existait x 1 tel que exp x 1 ) < 0 , alors on pourrait appliquer le TVI entre 0 et x 1 : il existerait au moins un réel x 0 compris entre 0 et x 1 tel que exp x 0 exp x)  0.) = 0 : pas possible de ce fait : cqfd Csqce :la fonction _j est strictement croissante surpuisque  _j  ) ‘= _j)  0 ! On en reparle plus  tard… ère 3- y ’ = ayProlongement aux équa diff1famille d’équations différentielles de T°S ) Théor2 :. Les solutions définies sursoit ade l’équation différentielle = ÛÛ ’ sont toutes lesfonctions   f k définies par :  ô   f k :  où k estuneconstante réelle. Y  YZ  Y ) Preuve : - cf feuille de cours - Ex : résolvons l’équa diff : 58 = 0.28’ – Déterminons ensuite la solution particulière f 0 vérifiant f 0 0) = 3. III-PROPRIETES ALGEBRIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE-NOUVELLE NOTATION 1- Formulesalgébriquescaractéristiques Prop 2 :pour tous réels  _È 8 on a : 9 ÛYZ YY ) × YZ Û )) = YZ  YZ –Y )= YZ Y ) YZ Y ) YZ Y –Û )= YZ Û ) J Depluspourtout entier n, Y )= YZ YZ JY ). Preuve : - cf feuille de cours -

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x 4 3 e Ex : s oit @ la fonction définie par @( < ) >. Justifions que @ et montrons queest définie sur x  4 2 9 e 3 pour tout < réel, >@( < ) . x – 4 1 9 2 e Rmq : suite à la prop2, on dit que lafonctionexponentielletransforme une somme en produit . C’est même une caractérisation des fonctions exponentielles d’où : 2- Caractérisation algébriquedes fonctions exponentielles Prop3 :les fonctions @ vérifientsur qui dérivables pour tout réels ) =Y K Û :  Y9 Û non nulles   Y ) ×  Û ) sont les fonctions f: Y  YZY ) oùaest une constante réelle. er ½ Preuve : exp(ax) vérifient la formule, c’est la prop2.: ces fonctions f x1 point ¾¾| ème  2point : réciproquement, si f est non nulle telle que f(x9y) > f(x)Āf(y),alors d’une part f0) = 1 puisque f non nulle. D’autre part, on fixe y et on dérive à gauche et à droite par rapport à x : on obtient : f ’(x9y) > f(y)Āf ’(x) soit en prenant x = 0 : f’y) = f ’0)×fy) ou encore : f ’ = a×f et comme on a aussi f0) = 1 alors d’après théor2, on est sûr que fx) = kexp(ax). Puis en remplaçant dans l’égalité f(x9y) > f(x)Āf(y), on trouve k > 1. cqfd ème m9 nm n Cette propriété de la fonction exponentielle est à rapprocher des formules de 4: a= a×a :là aussi on a une transformation de somme en produit … n D’autre part, d’après la prop2, pour tout n Z , on a expn) =  exp1) ) …  n Il ne reste plus qu’à noter exp(1)>e. . On généralise alors cette notation àOn obtient alors: exp(n) > e l’ensemble des réelset on pose ce qui suit : 3- Nouvelle notation Y Déf4 :pour tous x, y réels etn entier relatif, on note : YZ Y )=  où e= exp1) »2,71 … à retenir … ) Y    zÛ Y{Û| zY|Û z} JY Alors, _ =1et _È _= _È_ =  ) =_È _  =. Y Û   ème Rmq: ce sont les mêmes formules que les puissances vues en 4mais au lieu d’avoir un exposant entier, ici on a un exposant réel! x e –1 Ex d’application ( tout bête … ) : montrons que la fonction f définie surpar f(x) =est impaire. Mais avant  x e +1 tout, pourquoi est-elle définie sur? 

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On en a fini avec les propriétés « calculatoires » ou propriétés algébriques des fonctions exponentielles. Etudions maintenant les propriétés plus « analytiques » concernant les variations, les limites … IV-ETUDE DELA FONCTIONEXPONENTIELLE 1- Variationsde la fonction exponentielle Prop4 : la fonction exponentielle est strictementpositive suret est strictement croissante sur. C’est ce qu’on a dit et démontré un peu plus haut … Conséquences : pour tous réels x et y on a : Y YÛ · W   1Y  0 •   Y 8  Y YÛ ·   1Y  0 •  = Y = Û  Y · X == W Y  Preuve : sur feuille de cours … x² – 4– 3x Ex1 : résolvons dansl’inéquation suivante : e£e :  2x x Ex2 : résolvons dansl’équation suivante : e– 2e– 3 = 0 :  2- Limites de lafonction exponentielleen+¥et–¥ Y Y Prop5 :on a : lim  = +¥  et lim  = 0 . | x|+¥ | x|–¥ Preuve : sur feuille de cours … D’où le tableau de variations et la représentation graphique de la fonction exponentielle : <  –¥ 0 +¥ (_<( < ))  + = _<(< )  +¥ 1 z _ 0

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3- Comportementau voisinage de 0 x e–1 x Prop6: on a : lim=1ete»1 9 xpour x proche de 0. x | | 0 x Preuve : la 1: c’est le taux d’accroissement de la fonction exponentielle en 0 ! ère ème la 2: c’est l’approximat° affine d’Euler en 0 ! † La fonction exponentielle est maintenant une fonction de référence de terminale. Comparons-la aux autres fonctions de référence, en particulier aux fonctions puissances : 4- Croissancescomparées x e nx pour toN, on a : xe=0 Prop7 :ut nI lim= +¥  et lim n x x | |+¥x | |–¥ Autrementdit,en+¥, c’est lafonction exponentielle quil’emportesurla puissance. En–¥, c’est aussilafonction exponentielle qui l’emporte sur la puissance! x Preuve : : g(x) = e– x². En étudiant ses variations, on montre que pour tout x > 1,on introduit la fonction g définie par x e x x ème e³x². De ce fait, on en déduit que+lim =¥. Puis, en posant X =, on obtient le résultat voulu. Enfin, pour la 2 x n x|+¥ limite, là encore on fait un changement de variables en posantX = – x … Cqfd Cf. détails sur feuille de cours … Rmq : onendéduit quela fonctionexponentiellecroit plusvite vers +¥quen’importe quellepuissance de x, d’où l’expression:«suivre unecroissance exponentielle …». Ex d’application : calculons les limites des fonctions suivantes aux bornes de leur ensemble de définition : 5 x f(x) = x– 2 edéfinie sur:  1/x g(x) = x edéfinie sur ] 0 ; +¥[ : u 5- Dérivéedelafonction e u Prop8: soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors, la fonction composée e est aussidérivable surI et : u ( e ) ’ = u’ × e. u Preuve :

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1 1/x Ex: dérivons la fonction f définie sur ] 0 ; 9¥[ par fx) =e : x² Et pour finir, étudions les différentes équations différentielles au programme de terminale  en maths et physique! ) : V-LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DE TERMINALEEN MATHS 1- Leséqua diffy ’ = a y(ou encore y ’–ay = 0appelées équa diff linéaires d’ordre 1 à coefs constants sans second membre) Théor2bis  idem § II ):soit a. Les solutions définies surde l’équation différentielle y ’ > ay sont toutes   les fonctions f k définies par :  ¾ | ¾|   f k :où k est une constante réelle. ax  xk e ¾ | ¾| ½  y ’ > a y  De plus, LA solution unique définie surdeest définie par :  l’équa diff avec condition initiale  y(x 0 )=y 0   ¾ ¾ | | f :  ax–x 0 )  xy 0 e ¾ ¾ | | ½ Preuve: cf. feuille de cours. 2- Les équa diffy ’ > a y 9 b( ou encorey’–ay > bappelées équa difflinéaires d’ordre1 à coefs constantsavec second membre constant) Théor3 :soient a et b deux réels. Les solutions définies surde l’équation différentielley ’=ay+b  sont  toutes les fonctions g k définies par :   ¾ | ¾|  g k :  b  où k est une constante réelle . ax xk e– ½ ¾ | ¾|   a Dans le cas del’équadiffavec condition initiale , il y a alors une solution unique . Preuve : Attention ! Principe à retenir !( cf. feuille de cours ) Appl directe : déterminons la solution de l’équa diff2 y’ + 3y = 6 dont la courbe représentative passe par le point –1   A:  0 

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Exo type d’équationdifférentiellelinéaire d’ordre 2àcoefficients constantsavec secondmembrenon constant : nd On considère l’équa diff (E): y’–3y = sin x membre: équa diff dite linéaire d’ordre 1 à coefs constants avec 2 non constant. L’objectif est de déterminer toutes les solutions ATTENTION : le théorème précédent ne s’applique pas à cause de sinx … qui ne peut pas être b !!! nd a) On résoud surssociéel’équa diff s (E 0 )y’–3y = 0 :  ans2 membrea b) OndétermineunesolutionparticulièredeE) : trouvons a et b tels que g définie par gx) = acos x 9 bsin xsoit solution de E) : : fsolution surde E)n su c) Ondémontrel’équivalence Ûrf – g solutiode E 0 ). d) Onendéduittouteslessolutionsdéfinies surde (E) :  ND RETENIRLEPRINCIPE: LES SOLUTIONSD’UNE EQUA DIFF D’ORDRE 1 AVEC 2MEMBRE NONCONSTANT ND S’OBTIENNENTENPRENANTTOUTESLES SOLUTIONSDE L’EQUADIFF SANS 2MEMBRE AUXQUELLES ON RAJOUTE UNESOLUT° PARTICULIERE TROUVEEDANS L’EXO. nd VI-D’AUTRES EQUATIONS DIFFERENTIELLES EN PHYSIQUE( equadiff d’ordre 2 àcoefs constantssans 2membre ) Théor4: soitw unréel. Les solutions définies sur de l’équationdifférentielle y’’ +w²y = 0  sont toutes les fonctionsh définies par :  ¾ ¾ | |   h:où aetb sontdes constantes.  xacoswx 9 b sinwx ½ ¾ | ¾|  Exd’application en physique : Le dispositif solide ressort… cf. cours de physique…

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