Cours 2009.2010

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¾fifi¾LES FONCTIONS AFFINES . .Seconde Chapitre IIII APPLICATION AUX DROITES. I- -L ES FONCTIIONS L IINEAIIRES ET AAFFFININEESS ( Rappellss ett compllémenttss ) 1- DDééffiinniittiioonn 1- DDééffiinniittiioonnDéf1 :S oient a et b deux réels donnéUsn.e Ufonnec tfionc taioffnin ae f +f i n eest une fonction définie sur par : +(,) - ., / 0 . Ex : les fonction1s e t 2 respectivement définies sur par 1 (4) - 34 / 5e t 2 (4) - 24 – s7ont des fonctions affines… =>?Ctre-exs : les fonctions définies p;a(r 4) - ( – 34 / 1 )( 4 / e t5 < ()4) - ne sont affines car, =@Aaprès simplification, les expressions ne sont pas lade forme « 4a / b ». • LLoorsrsqquuee b - 0, la fonction est dilitneé aire, comme par exemple, la fonct1i odén finie par 1(4) - –3.4 • LLoorsrsqquuee a - 0, la fonction est dictoen stante, comme par exempl;e,( 4) - 3 p,our tout rée4l . 2- RReepprréésseennttaattiioonn ggrraapphhiiqquuee 2- RReepprréésseennttaattiioonn ggrraapphhiiqquueeProp1 :D ans un repère (O;i ; j ) du plan, la représentation graphique de la fonc taioffine 1 : 4 JK4 / Le st lla drroiitte de coefffiiciientt diirrectteurr o ouu ppeenntete a a ett passsantt pass llep opinoitn tP (P0 ( ;0 b.)b . b e sets atap ppeelélé l’ordonnée à l’origine. . O - ., / 0 esstt ll’’équattiion rréduiitte d e . . « Preuve » : cf. feuille de cours. Cas particuliers: • Dans le cas d’unefo nfoctnicotnio nli nléinaiéraei r4e J K4, la ...

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LES FONCTIONS AFFINES. SecondeChapitreIII APPLICATIONAUXDROITES. I-LES FONCTIONSLINEAIRES ETAFFINES( Rappels et compléments ) 1-Définition Déf1 :Soient a et b deux réels donnés.Une fonction affine + est une fonction définie surpar :  +()   / . Ex :les fonctions  et  définies surpar respectivement (4)  34 / 5  et (4)  24– 7  sont  des fonctions affines… =? Ctre-exs :les fonctions définies par )/ 5)( 4(4)  (– 34/ 1  et (4)  sont affines car, ne =@Ā après simplification, les expressions ne sont pas de la forme « a 4 / b ». ·Lorsqueb0, la fonction est ditelinéaire, comme par exemple,la fonction  définie par – 34(4)  . ·Lorsquea0, la fonction est diteconstante, comme par exemple, (4)  3, pour tout réel 4 . 2-Représentation graphique ¾|¾| Prop1:Dans un repère (O;i ;j )du plan, la représentation graphique de la fonction affine J : 4 K4 /  estla droitedecoefficient directeurou penteaet passant pas le point P(0; b).best appelé  l’ordonnéeàl’origine. Ô   /  estl’équation réduitede. « Preuve » : cf. feuille de cours. Cas particuliers: · Dansle cas d’unefonction linéaire K44 J , la droite d’équation   K4 passeparl’originedu repère. L’image est alorsproportionnelleà la variable. ·cas d’une Dans lefonction constante, la droite d’équation    estparallèle à l’axe desabscisses. L’image est constamment égale à b. @Q= Ex : soit  la fonction affine définie par  (x) . Traçons la courbe représentative de  dans un  repère orthonormé : 3-Variations d’unefonctionaffine Prop2: soient a et b deux réels donnés et la fonction affine / . : 4J K4 a>0 alors  est  Sicroissantesur.  Sia0 alors  estconstantesur .  issantesur .  Sia<0 alors  estdécro Preuve :

Chapitre III

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4-Signede    ( cf. activité ) Théor1:soient a et b deux réels donnés et la fonction affine  :  K   . On distingue deux cas : Le casa < 0la droite descend de «»vers«-»Le cas a >0la droite monte de «-»vers«» –¥b/a  –¥ –¥b/a  –¥  + – K   – K    On retiendra: –¥b/a  –¥  Signe de – a K   Signe de a @Ā=Z  Ex:dressons le tableau de signes de la fonction affine  définie par ()  :  II-APPLICATIONAUXDROITES 1-Equations de droite ( cf activité ) |¾ |¾ Dans la suite du paragraphe, on considère un repère du plan (O;i ;j ). Théor-déf2 :Toute droiteduplanaune équationsoit de la forme: Ô  [  \ soit de la forme   ]  où _, ` et â sont des réels. Dans le cas de   _  ` , cette équation est appeléel’équation réduitedeladroite. Pourrappel, le réel _ est appeléle coefficient directeurde ladroite( ou pente … ) et le réel ` est appelél’ordonnée à l’origine. Réciproquement, l’ensemble despointsM(  ;Ô ) du plan dontles coordonnées vérifientsoit Ô  [  \ soit   ] est unedroite. Preuve : cf. feuille de cours. Rmq :plus généralement, une droite du plan ( quelle que soit sa position ) admet une équation de la forme K    â , appelée équation cartésienne… 2-Coefficient directeur d’une droite Prop3 :Soit (d) une droite du plannonparallèle à l’axe desordonnéesd’équation réduite Ô  [  \ . Ô @Ô É F Si A ( x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points distincts de la droite (d), alors [ . D’autre part,  @ É F k H   estunvecteur directeur de (d). [ Ex : Soient A ( 2 ; 4 ), B( 3 ; – 1 ). Justifions que la droite ( AB ) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées puis déterminons l’équation réduite : Chapitre IIIPage2

Ex bis: soit gfonction affine définie surassociée à la représentation graphique suivante.  Déterminons l’expression de g(  ) :

( )@ () ô k Onpourraretenir:(   () ) ( )où   . k kk ô  @ ô k 3-Caractérisation des droites parallèles Prop4 :soient (d) et (d’) deux droites du plan. Si (d) et (d’) ont respectivement pour équations réduites : Ô  [  \ et Ô  [  \ :(d) et (d’) sont parallèles si et seulement si: [  [’.  Preuve:   Corollaire :si (d) et (d’) ont respectivement pour équations réduites : Ô  [  \ et   \Ô  [ (d) et (d’) sont sécantes si et seulement si   [  [’. Mais comment faire pour déterminer les cordonnées du point d’intersection de droites sécantes? Ce qui nous mène au dernier paragraphe : III-SYSTEMES LINEAIRES DE DEUX EQUATIONSADEUX INCONNUES–LIEN GEOMETRIQUE 1-Définition2  On appellesystèmededeuxéquationsàdeux inconnuesun ensemble de deux équations du type : ax  by  coù x et y sont les inconnues, a, b et c des nombres arbitraires.  x  2y  -5  Exemple :est un système de deux équations à deux inconnuesx et y.  4x  y  1  Résoudreuntelsystème, c’est trouver tous les couples (x ; y) qui sont solutionsdes deuxéquations à lafois, c’est à dire pour lesquelsles deux égalités sont vraies. Dans l’exemple précédent, le couple ( 2 ; 3 ) n’est pas solution :  Eneffet, 2  2´3  8¹- 5. Par contre, le couple ( 1 ; -3 ) est solution :  Eneffet, 1  2´( - 3 )  1 - 6  -5et ( - 3)  4 - 3  1. 4

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2-Interprétationgraphique  ax  by  c  Prop5:soit à résoudre le systèmeoù l’on suppose ( a, b ) et (a’ ; b’ )¹( 0, 0 ). On se  a’x  b’y  c’ place dans un repère du plan.Alors,ax byc et a’x b’y  c’sont deséquationscartésiennesde deux droites (d)et (d’). Ainsi,résoudrelesystèmerevientàdéterminerl’intersection de cesdroites. On obtient ainsi les différents cas de figure : (d) et (d’) sont strictement (d) et (d’) sont confondues(d) et (d’) sont sécantes parallèles

ab’ – a’b  0ab’ – a’b¹0 Le système n’admet aucun coupleLe système admet une infinité deLe système admet un couple solution couplessolutions solutionunique Ainsi, le système admet un unique couple ( x; y )solution ssi le produit en croix des coefficients est différent de 0: ab’–a’b¹0. Explications : Ex : le système suivant admet-il une seule solution ? Une infinité ou … ? :  3x– 2y  4   4  – 2x y  2   3 3-Méthodes de résolution a)Par substitution: Elle consiste à exprimer, dans une équation, une inconnue enfonction de l’autre et«substituer» cetteexpressiondansladeuxièmeéquation. Ex :  3x-5y  11  Soit le systèmeRésolvons-le par substitution : .  2x  3y  1 b)Par combinaison: Elle consiste àmultiplier chacune desdeux équationspour faire apparaître les mêmescoefficients devant l’inconnue x puis l’inconnuey.Ilsuffitensuite de soustraire membre à membre pour éliminer, tourà tour, chacune dersdeuxinconnues. C’est:«faire des combinaisonssurlesdeux lignesdu système». Ex : résolvons le même système mais par combinaisons : cf. feuille de cours.

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