Cours 2009.2010b

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¾¥¾¥fi¥fi¥¥¥¾¥¥¥‰¥¾¥¥¥¥¥¥¥¥¥LA FONCTION LOGARITHME TERMINALE S Chapitre V IINEPERIEN. FONCTIONS ASSOCIEES ères I- -P RRESENTATION ET 11 P RROPRRIETES DDE LA FONCTION LOGARRITHME NEPERRIEN (( cff. . aaccttivivitité é )) 1 - DDDDééééffffiiiinnnniiiittttiiiioooonnnnssss 1 - a) Déf 1 :l a fonction exponentielle réalisant une eb ij escutri]o n0 d; + [, pour tout m l>’é q0u atio n 9:;( < ) = > posossèèddee uunnee ssololuuttioinon uunniqiuuee. O dnda annsos t e cette sol définie comme .étant le logarithme népér>ie. n de .?@ > s see l l: i t:i «t l oogariithme népériien> d oeou plus siimplem e?@nt B 9 >»» . . Exs : DE 10 est …………………………………………………………………………… XLe nombre X vérifiant = e 3 est : ……………………………………………………... En particul?ie@r I, = J et ?@ 9 = I. A retenir ! Rmq : ATTENTION ! On ne peut pas calculer le dleog a0r !it!!h m ln 0 . b) Lien entre exponentielle et logarith me népérienProp1 : ppppoooouuuurrrr ttttoooouuuu: tttt> ,,0,9 , : ; ( ?@ : ) = : Pour tou : t r éel quelconq ?u@ e( ,9 :; : ) =. :Ce que l’on retiendra plus simplement : . LPour tou:t > ,0 , L = ?@ : ssi i 9 = : . c) Déf2 :l a fonction logarithme népérien,? @n,o teéest la fonction définie s ; u r+ ] [[ 0q uii à toout réel : ssssttttrrrriiiicccctttteeeemmmmeeeennnntttt pppp aa aooooasssssssssssiiiisttttooooccciiiicffffiiiieeee? @ :... ...

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• Publié par: Zewyer
• Nombre de lectures: 68
• Langue: Français

Extrait

LAFONCTIONLOGARITHME TERMINALE SChapitre VII NEPERIEN.FONCTIONSASSOCIEES ères I-PRESENTATIONET1PROPRIETES DE LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN ( cf. activité ) 1- Définitions onction exponentielle réalisant une bijection des 0; +[, pour tout m > 0 a) :Déf 1la fur ] ¥ l’équation ( < )=  possède une solution unique dans.On note cettesolution < = ?@ définie comme  étant le logarithmenépériende  . ?@  selit:«logarithme népérien de  ou plus simplement ?@ B  ». Exs : É 10 est …………………………………………………………………………… X Le nombre X vérifiant e= 3 est : ……………………………………………………... En particulier, ?@ = J  et ?@ =  retenir !. A Rmq : ATTENTION ! On ne peut pas calculer le logarithme de 0 !!!ln 0. b) Lien entre exponentielle et logarithme népérien Prop1 : pour tout  > 0 ,  ( ?@  )=  Pour tout  réel quelconque, = ?@ (   ) . Ce que l’on retiendra plus simplement :  Pour tout  > 0 ,  = ?@ ssi . = c) Déf2 : la fonction logarithme népérien, notée ?@ , est la fonctiondéfinie sur] 0; +¥[ quià tout réel  strictementpositifassocie ?@  .  ¾¾| ] 0 , +¥[   É :  exp ( ln x ) = xtel queln x x ½ ¾¾|  Rmq:attention à la saisie sur calculatrice : certains modèles attendent des parenthèses ( classpad 300 par ex, ) : ln (x )ou lnx .Vérifiez la votre ! Une fois la fonction ln introduite, résumons les premières propriétés obtenues par considérations graphiques : 2- Les premières propriétés a) Continuité, dérivabilité et dérivée de la fonction ln Prop2 :la fonction É  est continuesur]0; +¥[, dérivable sur]0; +¥[ et pour tout Q > 0 , on a :  = (?@ ) .  Preuve : On en déduit la propriété suivante : b) Tableau de variation et signe de la fonction ln Prop 3 : la fonction ?@ est strictement croissante sur ] 0; +¥[ et : x 01 +¥  (É Q) =  + É Q 0 Chapitre VIIPage 1

D’où les équivalences suivantes : ?@ J  Q  10 W ?@  0 X   1 Et bien sûr, ?@ = J X  = . De plus, on a aussi : Prop3 bis :pour tous a et b strictement positifs : [ X 0  \  [ É?@ Z  J %= ?@] X Z = ]?@ Z Appl : résolvons dansl’inéquation suivante : É  2Q² –5Q  6% É  –5Q 14 % 

Voici un résumé pratique pour retenir toutes ces informations analytiques de la fonction É :

Représentation graphique dans un repère orthonormé du plan :  exp

 ( y = x)

 ln

II-ETUDE DE LA FONCTION ln 1- Propriétésalgébriquesde lafonction ?@  cf. activité % Prop4: soient \ et [ deux réelsstrictement positifs, alors :  Z ?@ ]?@  Z È] %= ?@  É transforme un produit en somme, c’est le contraire de la fonction exponentielle qui transforme une somme en produit … %   ?@    =– ?@] ] Z !  Z –?@ ]?@  = ?@  É transforme un quotient en différence, là aussi c’est le contraire de la fonction expo % ] Et surtout : pour tout nIN, on a :   @ ?@ Z% = @?@  Z et = ?@Z?@  √Z %   Chapitre VIIPage 2

Preuve : Exs d’appl :·Résolvons l’équation suivante : É  Q%  É 1% 7 Q% = É 3 Q : 4 n   ·Déterminons le plus petit entier n tel que1 –³0,97 :  5  Cette propriété de transformer un produit en somme est même une caractéristique de la fonction ln et l’on a : Théor1 ADMIS% les fonctions  dérivables sur] 0; +¥[ qui vérifientpour tous réels  et  strictement positifs: ( È  )= () + () sont les fonctions  È ?@ où  est une constante réelle. … On va utiliser ces propriétés algébriques pour démontrer les limites de la fonction É que l’on a conjecturées dans la toute première activité : 2- Limites usuellesde la fonction logarithme népérien Prop5 :limites de la fonction É aux bornes de son ensemble de définition : ?Ô ?@ = +∞ et ?Ô ∞= –?@     +∞   J limites associées au taux d’accroissement ( rusées … ) ?@ (  )?@  ?Ô = et ?Ô =     J   Preuve : cf. feuille de cours. Rmq : pour  prochede0, û +  )?@ (  :  c’est l’approximation affine de la fonction É au voisinage de 1. Comparons maintenant la fonction É aux puissances de Q : 3- Croissances comparées ?@  @ * Prop6 :pour tout É  IN, on a : ?ô>  =J w ?ô>  = J ?@  @    +∞   J Autrement dit, en +¥, c’est la puissance de Q qui l’emporte sur É . En –¥, c’est aussi la puissance qui l’emporte sur É ! On remarque que, une fois de plus, c’est le contraire de ce qu’il se passe pour la fonction expo. Chapitre VIIPage 3

Preuve : ln x X · Pour déterminer= ln xon alim ,posons X= x. Lorsque x tend versalors e#¥x tend aussi vers, ln#¥X tend vers, donc#¥. On peut écrire x x | + ¥ X ln xX lnx Xe X = etpar composée de limites on obtient donc :lim =lim .Or on sait quelim =#¥ donclim =0 et x Xx XX X x | + ¥ X | + ¥ X | + ¥ X | + ¥ e ee ln xlnx 1 lnx par conséquent, par composée de limites,lim=0.et …, il suffit alors de faire un produit avecPour la limite de n n-1 x xx x | x | + ¥ 1 11 · on a alorsx =ln x, posonsX =Pour déterminerlim xtend vers +. Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives ,¥, doncX tend vers#¥peut. On x|0 x X x 1 11 lnX lnX lnX écrire xln x =ln =- lnX = -. Or on sait quelim =0 donc,par composée de limites,lim -= 0et par conséquentlim X XX XX X | x|0 X | + ¥ X | + ¥ x ln x=0 . cqfd  z{  Ex d’appl : soit y la fonction définie sur ] 0 ; +¥[ par yQ% = . Etudions les limites de y aux bornes de son |   ensemble de définition : Il ne reste plus qu’à aborder le cas de fonctions composées avec la fonction logarithme népérien et de voir, en particulier, celle abordée en chimie, d’où : III-FONCTIONS ASSOCIEES 1- Fonction ?@ } ~ Prop7 :soit  une fonction définie sur un intervalle I. Si  est dérivable et strictement positive surI,la alors  ~ fonction composée ?@ } ~ est dérivablesurIet ?@ } ~ %=. ~ Preuve :     Rmq : si  est dérivable et strictement négative sur I, alors É  % est dérivable sur I et  É  % %= =  . On    retrouve la même chose … 2- Fonctions logarithmes de base a Déf3 :soit \ un réel strictementpositifetdifférentde 1 appelle. On fonction logarithmede basea lafonction notée ? définie sur ] 0; +¥[ par: Z ?@  ? () = . Z ?@ Z De plus, dans le cas particulier de Z = 10 , la fonction logarithme de base 10 est appelée fonctionlogarithme décimale et est simplement notée log plutôt que  10 . Rmq : la fonction  utilisée en chimie, notamment dans la partie du programme concernant les mesures de pH …est Conséquences de la définition :  Les fonctions  a ont les mêmes propriétés algébriques que la fonction É .  Les fonctions  a sont décroissantes dans le cas où 0  \  1 .  a ( 1 ) = 0et l  a ( a ) = 1et enparticulier, log(10)=1 . n  Pourtout nÎ Z , log( 10) =n .

Chapitre VII

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p Ex d’application: soit Q un réel strictement positif admettant pour écriture scientifique a10 oùa est un nombre  décimal compris entre 1 et 10 et p un entier relatif. Déterminons une expression de  Q puis la partie entière de  Q : p p+1 Ainsi, si x est un réel tel que 10£ Q  10 alorsp£  Q  p + 1 : utile pour une idée d’ordre de grandeur. 3- Puissancesd’exposantsréels On part du constat suivant: on a vu il y a quelques temps que la fonction exponentielle possédait les mêmes propriétés algébriquesque les puissances entières de collège. On a alors décidé de noter wQ( Q ) la forme sous x d’exposant : e . On a été en présence d’un exposant non plus entier mais réel … D’autre part, soit Q un réel strictement  positif et É un entier relatif. Alors,  = Q ssi = É É QÉ   ssi = wQwQ( É  )( É É Q )  ssi      {   =w on a l’égalité suivante :. Alors, Q = w . dernière notation est d’autant plus intéressante Cette qu’elle peut se généraliser à É quelconque. Il ne reste donc plus qu’à définir la puissance réelle d’un nombre réel strictement positif … D’où : Déf4 : soit Z un réel strictement positifet  un réelquelconque. On définit le nombre« Z puissance  », noté  Z , par :  ?@ Z Z = . 17,2 Ex : 3= ………………….……………….. Règles de calcul : les mêmes que celles de collège ! Ainsi, pour tous réels a et a’ strictement positifs et pour tous réels b et b’, on a : b a b b+ b ’b b’ b  b ’ ln ( a) = b ln aa =a aa =  b ’ a b b ’ b a b a   b bb’ bb (  )  b ( a ) a a’ = aa’ == a  a’  a’ T On peut ensuite définir des fonctions y à qui Q associer vont \ . s’agit des fonctions appelées fonctions Il  exponentielles de base a. D’où : 4- aFonctions exponentielles de base Déf5 :soit a un réel strictement positif différent de 1. La fonctionexponentielle de base a est la fonction M Z définie surpar:  ?@Z M () = Z .Ainsi, pour tout réel  , M () = 9 . Z Z Propriétés découlant de cette définition : T est dérivable suret y ’(Q) y    = É\  \ .  Si 0 < \ < 1 , alors y .est strictement décroissante sur   y .est strictement croissante sur  Si \  1 , alors    Allures des courbes : Chapitre VIIPage 5

 1  = 1,4

  =0,5

  =0,25

  =4

  =2

  =1,4

 = 1

  1 z{  Enfin, intéressons-nous au cas particulier de l’exposant b =on a alors :: \  = w En utilisant les règles .   n   ² précédentes, ona alors \ G et en faisant l’analogie avec= a ( a ) = a, on définit :  5- Racinen-ième d’un réel positif Déf6 : soit \ un réel strictement positif et É un entier naturel non nul.On définit la racine n-ième du @ réel a,notée  √Z , par:  @ @ √Z = Z .  n Conséquence : √\ = a. est l’unique réel positif X vérifiant X 10 5 Ex : Résolvons l’équation 3 Q – 7 Q + 2 = 0 :

Chapitre VII

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