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I. Lois et variables al´eatoires 1.1. Exemples de lois discr`etes1. Lois discr`etes a) Loi de Bernoulli b(p) =B(1,p)La v.a. X suit une loi de Bernoulli de param`etre p,D´efinition. avec 0 < p < 1, si X prend ses valeurs (p.s.) dansUne variable al´eatoire (v.a.) est discr`ete si elle {0,1}, P(X =1)=p et P(X =0)=1−p.prend presque sˆurement ses valeurs dans un en-b(p)=(1−p)δ +pδ .semble fini ou d´enombrable E. 0 1(g´en´eralement, X prend des valeurs enti`eres).Exemple : jeu de pile ou face. 1 repr´esente unSi E ={x ,i∈I} et P(X =x )=p , la loi de X esti i i succ`es, 0 un ´echec. La pi`ece est ´equilibr´ee siXp=1/2.P = p δ .xX i ii∈IPOn a p ≥0 et p =1i ii∈I Plus g´en´eralement, quand une v.a. ne prend p.s.(sinon P n’est pas une probabilit´e).X que2valeurs,onditqu’ellesuituneloideBernoulli.Une probabilit´e Q est dite discr`ete si elle s’´ecritcomme combinaison lin´eaire finie ou d´enombrablede masses de Dirac : XQ= pii∈IUne v.a. est discr`ete ssi sa loi est discr`ete.1 2b) Loi binomiale B(n,p) 2. Lois continuesLa v.a. X suit une loi binomiale de taille n≥1 et deD´efinition. Une probabilit´e Q est continue s’ilparam`etre p, avec 0

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Extrait

I.Loisetvariablesale´atoires 1.Loisdiscr`etes D´finition. e Unevariableal´eatoire(v.a.)estidteecs`rsi elle prendpresquesuˆrementsesvaleursdansunen- semblefinioud´enombrableE. (generalement,Xer)site`srnelaue.ndresvdep ´ ´ SiE={x i  i∈I}etP(X=x i ) =p i , la loi deXest P X = X p i δ x i  i∈I On ap i ≥0 et P i∈I p i = 1 (sinonP X ntse’e´.)pasuneprobabilit Uneprobabilite´Qest diteete`crisdleisrce´’selit commecombinaisonlineairefinieoude´nombrable ´ de masses de Dirac : Q= X p i i∈I Unev.a.estdiscr`etessisaloiestdiscre`te.

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b) Loi binomialeB(n p) La v.a.Xsuit une loi binomiale de taillen≥1 et de parametrep, avec 0< p <1, siXprend ses valeurs ` dans{01     n}etP(X=k) =C nk p k (1−p) n−k pour 0≤k≤n. n B(n p) = X C k n p k (1−p) n−k δ k  k=0 Exemple : loi du nombre de faces obtenus si on fait nlanceissf’dnusrusccsentyaprlai`epeaece´babotili pde tomber sur face. c) Loi de PoissonP(λ) La v.a.Xrtedeoielunitsue`marapednossioPλ >0 siXprend ses valeurs dansNetP(X=k) =e −λ ∙ λ k k ! pour tout entierk∈N. P(λ) = X e −λ ∙ λ k δ k∈ N k! k  LaloidePoissonestlaloidese´v´enementsrares (nombredepannespendantunedure´edonn´ee, nombre d’accidents,. . .). 3

1.1.Exemplesdeloisdiscr`etes a) Loi de Bernoullib(p) =B(1 p) La v.a.Xamarepidetr`esuitioednuleuolleBnrp, avec 0< p <1, siXprend ses valeurs (p.s.) dans {01},P(X= 1) =petP(X= 0) = 1−p b(p) = (1−p)δ 0 +pδ 1  Exemple:jeudepileouface.1repr´esenteun succe`s,0un´echec.Lapie`ceeste´quilibr´eesi p= 12. Plusg´ene´ralement,quandunev.a.neprendp.s. que 2 valeurs, on dit qu’elle suit une loi de Bernoulli.

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2. Lois continues De´finition.baborpenU´eilitQestcontinues’il existe une fonction mesurablef:R→Rav`eualrs positivestelleque,pourtoutensemblebore´lien B∈ B(R),Q(B) Z B (x)dx. =f fest laedsntie´deQ. On notedQ=f(x)dx. Il faut que Z R f(x)dx= 1 (sinonQt´libibaroepunas.)esept’n On peut aussi parler de loi continue surR d avec unedensit´ef:R d →R + . Remarque.La terminologie est trompeuse : la fonctionf essairement continue.n’est ´ pas nec On dit aussi queQest absolument continue par rapporta`lamesuredeLebesgue. Une v.a. est continue si sa loi est continue. Remarque.SiXest une v.a. continue, alors P(X=a) = 0 pour toutar Z a ∈Rcaf(x)dx= 0. a 4

2.1. Exemples lois continues a) Loi exponentielleE(λ) = exp(λ) Xnentielledeparamsedtleioxeoprte`eλ >0 si sa ´ −λx densite est 1l R + (x)λe. Exemple:dure´edevied’unatomeradioactif. C’estuneloisansme´moire:cequisepasseapre`s le tempsttsedantdeceind´epenapsse´uqsie’ts avant (voir l’exercice 7).

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3. Formule de transfert (ou de transport) SoitX: Ω→Eune v.a. etϕ:E→Rune fonction mesurableborne´e. E(ϕ(X)) d = ef Z Ω ϕ(X(ω))dP(ω) formule de transfert:E(ϕ(X)) = Z R ϕ(x)dP X (x). En particulier, siXest une v.a. reelle : ´ E(X) = Z R x dP X (x) et Var(X) = Z R X (x)− Z R x dP X (x)  2  x 2 dP

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b) Loi de Gauss, loi normaleN(m σ 2 ) Ladensite´delaloinormalere´duiteN(01) est 1 ( x 2 2 ) √ 2π exp− Ladensit´edelaloinormaleN(m σ 2 u`o,)m∈Ret σ 2 >0, est 1 √ 2πσ 2 exp
(x 2 − σ 2 m) 2 !  − Cetteloiestd’esp´erancemet de varianceσ 2 . La loi normale est la “loi des erreurs” . dessins des gaussiennes tendtre`svitevers0i.l’`afinin m=,eimyserte´edaxσ: hauteur/largeur de la bosse

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Loidiscre`te. Z ϕ(t)δ x (t) =ϕ(x). Donc, siXetsa.d.nuve`eteiscr de loiP X = X p i δ x i , alorsE(ϕ(X)) = X p i ϕ(x i ). i∈I i∈I Exemples de calcul Loi de Bernoulli. SiP X =b(p)alors E(X) = (1−p)×0 +p×1 =p. Var(X) =E(X 2 )−E(X) 2 =p−p 2 =p(1−p). Loi de Poisson. SiP X =P(λ)alors k − E(X) = X e λ k λ ! k=λe − k λ ≥ X ( λ k− k− 1 1 )! =λe −λ e λ k≥0 1 d’o`uE(X) =λ. (voir l’exercice 2 pour le calcul de la variance)

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Loi continue. SiXit´euededens.aoctnniseuten.vf(x), alors E(ϕ(X)) = Z R ϕ(x)f(x)dx. Exemples de calcul Loi normale.SoitXde loiN(01)(on admet ici que c’est uneloideprobabilit´e,c’est-a`-direque √ 2 1 π Z R e −x 2 2 dx= 1). Esperance. ´ E(X) = Z R √ 2 1 π −x 2 2 dx= xe0car la fonction est impaire. Variance.Montrons queVar(X) = 1. Var(X ) 1 Z x 2 e −x 2 2 dx. = √ 2π R Int´egratities[avecu=x v 0 =xe −x 2 2 ] : on par par 2 Var(X) =  − xe √ − 2 x 2 π   + √ 2 1 π Z R e −x 2 2 dx Var(X) = 0 +P X ( R ) = 1. [Pourmontrerquel’espe´ranceestmet la varianceσ 2 pour la loiN(m σ 2 ): prendreYde loiN(m σ 2 )etX= Y σ −m . P(X∈B) =P(Y∈σB+m) = R σB+m √ 1 2πσ 2 exp  (y−σm 2 ) 2  dy − 2 Par changement de variablex= y−σm , on trouveP X =N(01). CommeY=σX+m, on a E(Y) =E(X) +m=metVar(Y) =σ 2 Var(X) =σ 2 .] 9

(ne pas faire en cours) Lethe´ore`mesemontre`al’aidedulemmesuivant: Lemme. Une familleCde parties deΩest unπebltats-eme`tsysseelleis parintersectionfinie(c.`a.d.siC 1      C k ∈ CalorsC 1 ∩∙ ∙ ∙∩C k ∈ C). SoitP 1 etP 2 usrtie´abilprobesdeesurdxmeu(ΩF)telles que ∀C∈ C P 1 (C) =P 2 (C)u`o,Cest unπdnerequienge-syst`em F. AlorsP 1 =P 2 . Preuve de la proposition a)F X est croissante car sit≤t 0 alors]− ∞ t]⊂]− ∞ t 0 ]. b)∅= \ ]− ∞−n]ce´dsiortnasod)encinte(tionrsec0 = n≥0 limF X (−n). De plus,F X (−n−1)≤F X (t)≤F X (−n)si−n−1≤ t≤ −ndonc lim0 =F X (t). t→−∞ R = [ ]− ∞ n](union croissante) donc1 = t→ limF X n≥ 0 +∞ (t). c){X≤t}= \ {X≤t+ 1n}, c’est une intersection n≥1 d´ecroissantedoncF X (t) = limF X (t+ 1n). CommeF X est croissante, on aF X (t) = lim x↓t F X (x),qeeud-ri-ta`’cseFest continue`adroitedet. {X < t}= [ {X≤t−1n}, c’est une union croissante donc n≥1 P(X < t) =F X (t−).✷

4. Fonction de repartition ´ D´efinition.SoitXa.r.nuveelL.e´leafonction de r´epartitiondeXen,e´toF X r,estd´efiniepa ∀t∈R F X (t) d = ef P(X≤t) The´ore`me.iseretrapoitiracn´tcaLafonctionder´e laloi,c’est-`a-direF X =F Y ⇐⇒P X =P Y . Proposition.SoitX.leelnue´r.a.ve ` a)F X est une fonction croissante a valeurs dans [01]. b) t lim ∞ F X (t) = 0 lim etF X (t) = 1 →− t→+∞ c)∀a∈R,F X orti`edaitunctnoeseedaet − d = ef limF X (t) existe et vautP(X < a). F X (a) t↑a Remarque.Une fonctionFve´irafitnelpsropri´et´esa),b))c, estlafonctiondere´partitiond’unecertainev.a. Propri´et´es. •P(X=a) =F X (a)−F X (a−). •P(a < X≤b) =F X (b)−F X (a) sia < b. •P(X > a) = 1−F X (a). 10

SiXd.a.rcsiete`fal,steevunntioiiondonctparter´e est en escaliers, les marches sont aux valeurs prises parX, la hauteur de la marche enx i estP(x i ). Remarque.ionsder´Lesfoncttnosennoititrapeesr`stpa utiles pour les v.a. dis `tes. cre Exemples. DessinerF X pourB(212)(elavsru141214).

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