Cours.Algebre
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$$$Alg`ebre Lin´eaireChapitre 5 : MatricesD´efinitions 5.1On appelle matrice de type (p,n) `a coe!cients dansK(K =RouC) un tableauA dep!n´el´ements deK rang´escomme suit :j-`eme colonne deA"! $a ··· a ··· a11 1j 1n" %. . ." %. . ." . . . %" %" % # i-`eme ligne deAA = a ··· a ··· ai1 ij in" %" %. . ." %. . .. . .# &a ··· a ··· ap1 pj pnqu’on note A=(a ) .1!i!pij1!j!na est appel´e l’´el´ement type de la matrice.ijLorsque n = 1, on dit que A est une matrice colonne et lorsque p = 1, on dit que A est une matrice ligne. p = n, on dit que la matrice est carr´ee d’ordre n et les ´el´ements a sont appel´es ´el´ements sur laiidiagonale de la matrice.Si la matrice carr´ee v´erifie a = 0 d`es quei>j(respectivement d`es quei
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j(respectivement d`es quei
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Alg`ebreLin´eaire
Chapitre 5 : Matrices
De´finitions5.1 On appelle matrice de type (p, neo)`acfficients dansK(K=RouC) un tableauAdep×nle´destneme´Ksargne´ comme suit : jecolonneed-`emA ↓ a11∙ ∙ ∙a1j∙ ∙ ∙a1n . . . ←igmnel`iee-edA A=ai1∙ ∙ ∙aij∙ ∙ ∙ain . . . ap1∙ ∙ ∙apj∙ ∙ ∙apn
qu’on noteA= (aij)1!i!p. 1!j!n aijriatamel.ce’le´´lmenettpydeestappel´e
Lorsquen= 1, on dit queAest une matrice colonne et lorsquep= 1, on dit queAest une matrice ligne. Lorsquep=nerdro’deeestcarr´amatricedntiuqleo,n´seltesntme´eelaiintsorlatssumenee´´l´lsepaep diagonale de la matrice.
Silamatricecarre´eve´rifieaijequesd`=0i > jentd`esqueser(mevitcepi < j), on dit que la matrice est triangulairesupe´rieure(respectivementtriangulaireinf´erieure). Sielleesta`lafoistriangulairesupe´rieureetinf´erieure,c’est-`a-diresielleve´rifieaijsq`eue0d=i$=j, on dit qu’elle est diagonale. Etsidepluslestermessurladiagonalesonttouse´gaux,onditqu’elleestscalaire. ' 0 sii$=j Onappellematriceunite´d’ordrenet on noteInla matriceIn= (δij)1!i,j!navecδij= . 1 sii=j
On appelle matrice nulle de type (p, n) et on note 0p,nla matrice 0p,n= (oij)1!i!pavecoij= 0, 1!j!n ∀i∈{1, .. ., p},∀j∈{1. ., ., n}. t SoitA= (aij)1!i!pde type (p, n´efin.Ond)arsnciteamrttialdeees´poAeet´no,Aamrtciealtnate´emmoc, 1!j!n (bij)1!i!nde type (n, p) telle quebij=aji,∀i∈{1, n, .. .},∀j∈{1, p. ., .}. 1!j!p t (En fait, les lignes deAnnloddeesnenneiveelsnad,trdeoemmˆcoes,lreA.) t t Pour toute matriceA, on a(A) =A. t SiA=A, et doncn=petaij=aji,∀i, j´mystseecirtamaluetqdion,que.etri t SiA=−A, et doncn=petaii= 0,∀i, etaij=−ajipour tousi$=j, on dit que la matrice est antisym´etrique.
L’ensemble des matrices de type (p, ncaeo)`fficients dansKot´eestnMp,n(K) et l’ensembleMn,n(K) des matricescarre´esd’ordrenstee´tonissuaMn(K).
De´finition5.2 SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimension finie,B={e1, ., e. .n}une base deE,C={ε1. .,, .εp} une base deFetfil´nitnoilaca’ppleedireaEdansF´ed:rapeinfi p np n ( (( ( f(ej) =aijεi,∀j∈{1, n. ., .}se-ta`d-,’cequetirleelf xjej=aijxjεi. i=1j=1i=1j=1
On appelle matrice defdans les basesBetC(ou par rapport aux basesBetC) la matrice A= (aij)1!i!p∈Mp,n(KttCeatemceritses.)eet´nontveouMCB(fs).baseedesordr’la`noitnetta() 1!j!n Lorsquefest un endomorphisme deE)lamˆemeceptionsabesnp,orarfxesedneruas(Brra’la`’ee´vie´aptruqadu et on note la matriceMB(f).
Les termes de lajemec-`nedeolonA=MCB(f,euacxoodrno´neesde)rrocopseennddat,l’nsdrorf(ej) dans la baseC. Les termes de lairtamcecierronopsntdean,d’oslrerdocea,xu-`emelignedelaffieriae´stedicnembinlaconlinaiso donnant laideooecem-`een´onrdf(x) dans la baseCdeesdoor´ennoidnseocefnnotcxdans la baseB. (Attention:nepasconfondreleslignesetlescolonneslorsqu’one´critlamatriced’uneapplicationlin´eaire.)
Remarque : l’application nulle 0L(E,F)admet pour matrice la matrice nulle de type (p, n)n(0etoe´p,n), quelles quesoientlesbasesconside´re´esdansEet dansFneit´tehpsiemdi’endomor,etlidEadmet pour matrice la matriceunite´d’ordrent´ee(noInsseaicoeelltubqa´udqrleenoi,s)ans´eedE.
D´efinitionsetThe´ore`mes5.3 SoientA= (aij)1!i!petB= (bij)1!i!pamxucirtedsemeˆmypete(dep, n) et soitλ∈K. On pose : 1!j!n1!j!n A+B= (cij)1!i!paveccij=aij+bij∀i∈{1, p. ., .},∀j∈{1. ., n, .} 1!j!n λA= (dij)1!i!pavecdij=λaij∀i∈{1. ., p, .},∀j∈{1, n. ., .} 1!j!n
A+Bmmsoceriuxdeesedleppatsetamalee´ciseamrtAetBetλAriatceecirdorpdtiumaleppelestaamat´eel Apar le scalaireλ. Ces deux matrices sont elles aussi de type (p, n). (Attention:onnesommequedesmatricesdemeˆmetype.) Aveccesope´rationsonalesthe´ore`messuivants. Muni de ces lois,Mp,n(K) est unK-espace vectoriel et, siEk!e´deeinfiamalcirtestrpaEk!= (eij)1!i!p 1!j!n ' 1 si(i, j) = (k,$) aveceijla famille= ,{Ek!, k∈{1, .. ., p},$∈{1. ., ., n}}est une base deMp,n(K), 0 sinon appel´eelabasecanoniquedeMp,n(K) (Mp,n(K) est donc de dimensionp×n). SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies respectivesnetp, etBetCdes bases respectivement deEetF. Alors l’application M:L(E, F)−→Mp,n(K) f→−)MCB(f) est un isomorphisme deK-espaces vectoriels :Mest bijective (L(E, F) est donc de dimensionp×n) et sifet gtacilppa´nilsnoiesdeeairuxdentsoEdansF, que l’on note respectivementAetBles matrices defet deg, etCetDles matrices def+get deλfdans les basesBetC, alors : C=A+BetD=λAeric’-tsed-a`MCB(f+g) =MCB(f) +MCB(g) etMCB(λf) =λMCB(f)
De´finitionsetThe´or`emes5.4 SoientA= (aij)1!i!petB= (bij)1!i!ndeux matrices de (p, n) et (n, q) respectivement. 1!j!n1!j!q On appelle produit des matricesAetB, et on noteAB, la matriceC= (cij)1!i!pde type (p, q)d´:eparefini 1!j!q n ( cij=aikbkj=ai1b1j+∙ ∙ ∙+aikbkj+∙ ∙ ∙+ainbnj k=1 (Attention:onnepeutmultiplierdeuxmatricesquesilenombredecolonnesdelapremie`rematriceest´egal aunombredelignesdeladeuxi`emematrice.) Leproduitdedeuxmatricesa´ete´de´finidefa¸con`aavoirlesthe´ore`messuivants.
SoientF , GE ,troisK-espaces vectoriels de dimensions finies etB,C,Ddes bases deF , GE ,respectivement. Soientfppilnuaeeiredn´eaonlicatiEdansFetgnuppaedeen´liireacaliontiFdansG. On noteAla matrice defdans les basesBetC, Bla matrice degdans les basesCetD, Ca matrice deg◦f dans les basesBetD. Alors : C=BArece’ts`--aidMDB(g◦f) =MDC(g)MCB(f) (Noterquelesbasesmarqu´eesenindicedesmatricesrespectent”lar`egledesdominos”etfaireattention`a l’ordre du produit qui est celui de◦.) n ( SoientEunK-espace vectoriel de baseB={e1. ., e, .n}etx=xieiun vecteur deE. i=1 x1 ∙ On appelle matrice dexdans la baseBla matrice colonneX=xiellEstseevuoontneet.´MB(x). ∙ xn SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies respectivesnetp, de bases respectivesBetC. Soientfdeelin´eairelaipcpatiounnEdansFetxenue´eml´tdenE. On noteA=MCB(f), X=MB(x), Y=MC(f(x)). Alors : Y=AX`--ae’tscrediMC(f(x)) =MCB(f)MB(x)
De´finitionsetTh´eor`emes5.5 On dit queA∈Mn(K) est inversible s’il existe une matriceB´vretfiinaAB=BA=In(o`uInest la matrice −1 unite´d’ordren). Il ne peut y avoir qu’une seule matriceBon.Olatiteretcetnafiire´vtoelnnaAet on l’appelle inverse deA. SoientEetFdeuxKsvectori-espaceemidemsnledsmeeˆ,einfinoiBetCdes bases deEet deFrespectivement, fderienuaecatipplin´eaonliEsurFetAla matrice defdans les basesBetC. fest un isomorphisme si et seulement siAest inversible. −1 Et dans ce cas, si on noteBla matrice defdans les basesCetB, on a : −1−1−1 B=Ae’ts`--aredicMBC(f) = (MCB(f)) n SoitA= (aij)∈Mp,n(K). On noteL1, .. ., Li= (ai1. ., ., ain), .. ., Lplespvecteurs deK correspondant aux lignes de la matriceAet on les appelle les vecteurs lignes deA, et on note p C1, C, .. .j= (a1j, a. ., .pj), .. ., Cnlesnvecteurs deKcorrespondant aux colonnes de la matriceAet on les appelle les vecteurs colonnes deAaniv:teitalsu´elanoge´’A.srol rg({C1, C. ., .j. ., ., Cn}) = rg({L1, .. ., Li. ., ., Lp}) Cenombreestappel´elerangdelamatriceAg(t´eretnoA).
Sif∈L(E, F), etBetCsont des bases respectivement deEet deF, le rang deMCB(fgalast´egdeuer)anf. n Enfin, siA∈Mn(K) ,Aest inversible si et seulement si l’endomorphismefAdeKadmettantApour matrice dans la base canonique est bijectif, et donc si et seulement si rgA=n.
