Cours.Algebre

Philippe Briand

Description

$$$Alg`ebre Lin´eaireChapitre 5 : MatricesD´efinitions 5.1On appelle matrice de type (p,n) `a coe!cients dansK(K =RouC) un tableauA dep!n´el´ements deK rang´escomme suit :j-`eme colonne deA"! $a ··· a ··· a11 1j 1n" %. . ." %. . ." . . . %" %" % # i-`eme ligne deAA = a ··· a ··· ai1 ij in" %" %. . ." %. . .. . .# &a ··· a ··· ap1 pj pnqu’on note A=(a ) .1!i!pij1!j!na est appel´e l’´el´ement type de la matrice.ijLorsque n = 1, on dit que A est une matrice colonne et lorsque p = 1, on dit que A est une matrice ligne. p = n, on dit que la matrice est carr´ee d’ordre n et les ´el´ements a sont appel´es ´el´ements sur laiidiagonale de la matrice.Si la matrice carr´ee v´erifie a = 0 d`es quei>j(respectivement d`es quei

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Extrait

j(respectivement d`es quei

Alg`ebreLin´eaire

Chapitre 5 : Matrices

De´finitions5.1 On appelle matrice de type (p, neo)`acfficients dansK(K=RouC) un tableauAdep×nle´destneme´Ksargne´ comme suit : jecolonneed-`emA ↓   a 11 ∙ ∙ ∙a 1j ∙ ∙ ∙a 1n . . . ←igmnel`iee-edA A= a i1 ∙ ∙ ∙a ij ∙ ∙ ∙a in   . . .  a p1 ∙ ∙ ∙a pj ∙ ∙ ∙a pn

qu’on noteA= (a ij ) 1!i!p . 1!j!n a ij riatamel.ce’le´´lmenettpydeestappel´e

Lorsquen= 1, on dit queAest une matrice colonne et lorsquep= 1, on dit queAest une matrice ligne. Lorsquep=nerdro’deeestcarr´amatricedntiuqleo,n´seltesntme´eela ii ntsorlatssumenee´´l´lsepaep diagonale de la matrice.

Silamatricecarre´eve´rifiea ij equesd`=0i > jentd`esqueser(mevitcepi < j), on dit que la matrice est triangulairesupe´rieure(respectivementtriangulaireinf´erieure). Sielleesta`lafoistriangulairesupe´rieureetinf´erieure,c’est-`a-diresielleve´rifiea ij sq`eue0d=i$=j, on dit qu’elle est diagonale. Etsidepluslestermessurladiagonalesonttouse´gaux,onditqu’elleestscalaire. ' 0 sii$=j Onappellematriceunite´d’ordrenet on noteI n la matriceI n = (δ ij ) 1!i,j!n avecδ ij = . 1 sii=j

On appelle matrice nulle de type (p, n) et on note 0 p,n la matrice 0 p,n = (o ij ) 1!i!p aveco ij = 0, 1!j!n ∀i∈{1, .. ., p},∀j∈{1. ., ., n}. t SoitA= (a ij ) 1!i!p de type (p, n´efin.Ond)arsnciteamrttialdeees´poAeet´no,Aamrtciealtnate´emmoc, 1!j!n (b ij ) 1!i!n de type (n, p) telle queb ij =a ji ,∀i∈{1, n, .. .},∀j∈{1, p. ., .}. 1!j!p t (En fait, les lignes deAnnloddeesnenneiveelsnad,trdeoemmˆcoes,lreA.) t t Pour toute matriceA, on a(A) =A. t SiA=A, et doncn=peta ij =a ji ,∀i, j´mystseecirtamaluetqdion,que.etri t SiA=−A, et doncn=peta ii = 0,∀i, eta ij =−a ji pour tousi$=j, on dit que la matrice est antisym´etrique.

L’ensemble des matrices de type (p, ncaeo)`fficients dansKot´eestnM p,n (K) et l’ensembleM n,n (K) des matricescarre´esd’ordrenstee´tonissuaM n (K).

De´finition5.2 SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimension finie,B={e 1 , ., e. . n }une base deE,C={ε 1 . .,, .ε p } une base deFetfil´nitnoilaca’ppleedireaEdansF´ed:rapeinfi    p np n ( (( (    f(e j ) =a ij ε i ,∀j∈{1, n. ., .}se-ta`d-,’cequetirleelf x j e j =a ij x j ε i . i=1j=1i=1j=1

On appelle matrice defdans les basesBetC(ou par rapport aux basesBetC) la matrice A= (a ij ) 1!i!p ∈M p,n (KttCeatemceritses.)eet´nontveouM CB (fs).baseedesordr’la`noitnetta() 1!j!n Lorsquefest un endomorphisme deE)lamˆemeceptionsabesnp,orarfxesedneruas(Brra’la`’ee´vie´aptruqadu et on note la matriceM B (f).

Les termes de lajemec-`nedeolonA=M CB (f,euacxoodrno´neesde)rrocopseennddat,l’nsdrorf(e j ) dans la baseC. Les termes de lairtamcecierronopsntdean,d’oslrerdocea,xu-`emelignedelaffieriae´stedicnembinlaconlinaiso donnant laideooecem-`een´onrdf(x) dans la baseCdeesdoor´ennoidnseocefnnotcxdans la baseB. (Attention:nepasconfondreleslignesetlescolonneslorsqu’one´critlamatriced’uneapplicationlin´eaire.)

Remarque : l’application nulle 0 L(E,F) admet pour matrice la matrice nulle de type (p, n)n(0etoe´ p,n ), quelles quesoientlesbasesconside´re´esdansEet dansFneit´tehpsiemdi’endomor,etlid E admet pour matrice la matriceunite´d’ordrent´ee(noI n sseaicoeelltubqa´udqrleenoi,s)ans´eedE.

D´efinitionsetThe´ore`mes5.3 SoientA= (a ij ) 1!i!p etB= (b ij ) 1!i!p amxucirtedsemeˆmypete(dep, n) et soitλ∈K. On pose : 1!j!n1!j!n A+B= (c ij ) 1!i!p avecc ij =a ij +b ij ∀i∈{1, p. ., .},∀j∈{1. ., n, .} 1!j!n λA= (d ij ) 1!i!p avecd ij =λa ij ∀i∈{1. ., p, .},∀j∈{1, n. ., .} 1!j!n

A+Bmmsoceriuxdeesedleppatsetamalee´ciseamrtAetBetλAriatceecirdorpdtiumaleppelestaamat´eel Apar le scalaireλ. Ces deux matrices sont elles aussi de type (p, n). (Attention:onnesommequedesmatricesdemeˆmetype.) Aveccesope´rationsonalesthe´ore`messuivants. Muni de ces lois,M p,n (K) est unK-espace vectoriel et, siE k! e´deeinfiamalcirtestrpaE k! = (e ij ) 1!i!p 1!j!n ' 1 si(i, j) = (k,$) avece ij la famille= ,{E k! , k∈{1, .. ., p},$∈{1. ., ., n}}est une base deM p,n (K), 0 sinon appel´eelabasecanoniquedeM p,n (K) (M p,n (K) est donc de dimensionp×n). SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies respectivesnetp, etBetCdes bases respectivement deEetF. Alors l’application M:L(E, F)−→M p,n (K) f→−)M CB (f) est un isomorphisme deK-espaces vectoriels :Mest bijective (L(E, F) est donc de dimensionp×n) et sifet gtacilppa´nilsnoiesdeeairuxdentsoEdansF, que l’on note respectivementAetBles matrices defet deg, etCetDles matrices def+get deλfdans les basesBetC, alors : C=A+BetD=λAeric’-tsed-a`M CB (f+g) =M CB (f) +M CB (g) etM CB (λf) =λM CB (f)

De´finitionsetThe´or`emes5.4 SoientA= (a ij ) 1!i!p etB= (b ij ) 1!i!n deux matrices de (p, n) et (n, q) respectivement. 1!j!n 1!j!q On appelle produit des matricesAetB, et on noteAB, la matriceC= (c ij ) 1!i!p de type (p, q)d´:eparefini 1!j!q n ( c ij =a ik b kj =a i1 b 1j +∙ ∙ ∙+a ik b kj +∙ ∙ ∙+a in b nj k=1 (Attention:onnepeutmultiplierdeuxmatricesquesilenombredecolonnesdelapremie`rematriceest´egal aunombredelignesdeladeuxi`emematrice.) Leproduitdedeuxmatricesa´ete´de´finidefa¸con`aavoirlesthe´ore`messuivants.

SoientF , GE ,troisK-espaces vectoriels de dimensions finies etB,C,Ddes bases deF , GE ,respectivement. Soientfppilnuaeeiredn´eaonlicatiEdansFetgnuppaedeen´liireacaliontiFdansG. On noteAla matrice defdans les basesBetC, Bla matrice degdans les basesCetD, Ca matrice deg◦f dans les basesBetD. Alors : C=BArece’ts`--aidM DB (g◦f) =M DC (g)M CB (f) (Noterquelesbasesmarqu´eesenindicedesmatricesrespectent”lar`egledesdominos”etfaireattention`a l’ordre du produit qui est celui de◦.) n ( SoientEunK-espace vectoriel de baseB={e 1 . ., e, . n }etx=x i e i un vecteur deE. i=1   x 1 ∙ On appelle matrice dexdans la baseBla matrice colonneX= x i ellEstseevuoontneet.´M B (x).    ∙ x n SoientEetFdeuxK-espaces vectoriels de dimensions finies respectivesnetp, de bases respectivesBetC. Soientfdeelin´eairelaipcpatiounnEdansFetxenue´eml´tdenE. On noteA=M CB (f), X=M B (x), Y=M C (f(x)). Alors : Y=AX`--ae’tscrediM C (f(x)) =M CB (f)M B (x)

De´finitionsetTh´eor`emes5.5 On dit queA∈M n (K) est inversible s’il existe une matriceB´vretfiinaAB=BA=I n (o`uI n est la matrice −1 unite´d’ordren). Il ne peut y avoir qu’une seule matriceBon.Olatiteretcetnafiire´vtoelnnaAet on l’appelle inverse deA. SoientEetFdeuxKsvectori-espaceemidemsnledsmeeˆ,einfinoiBetCdes bases deEet deFrespectivement, fderienuaecatipplin´eaonliEsurFetAla matrice defdans les basesBetC. fest un isomorphisme si et seulement siAest inversible. −1 Et dans ce cas, si on noteBla matrice defdans les basesCetB, on a : −1−1−1 B=Ae’ts`--aredicM BC (f) = (M CB (f)) n SoitA= (a ij )∈M p,n (K). On noteL 1 , .. ., L i = (a i1 . ., ., a in ), .. ., L p lespvecteurs deK correspondant aux lignes de la matriceAet on les appelle les vecteurs lignes deA, et on note p C 1 , C, .. . j = (a 1j , a. ., . pj ), .. ., C n lesnvecteurs deKcorrespondant aux colonnes de la matriceAet on les appelle les vecteurs colonnes deAaniv:teitalsu´elanoge´’A.srol rg({C 1 , C. ., . j . ., ., C n }) = rg({L 1 , .. ., L i . ., ., L p }) Cenombreestappel´elerangdelamatriceAg(t´eretnoA).

Sif∈L(E, F), etBetCsont des bases respectivement deEet deF, le rang deM CB (fgalast´egdeuer)anf. n Enfin, siA∈M n (K) ,Aest inversible si et seulement si l’endomorphismef A deKadmettantApour matrice dans la base canonique est bijectif, et donc si et seulement si rgA=n.