Cours-AN3-12

Pejvan Beigui

Description

COURS 12 : Fonctions continues (suite)Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alorsf est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b].DémonstrationPour montrer que f est bornée, il suffit de montrer que la fonction (composée) |f| estmajorée. Comme la fonction x7→|x| est continue surR, si f est continue sur [a,b] alors|f| aussi. Supposons que|f| ne soit pas majorée. Alors il existe une suite (x ) d’élémentsn nde [a,b] tels que |f(x )| tend vers +∞. Comme la suite (x ) est bornée, il existe unen n nsous-suite (x ) convergeant vers un élément c de [a,b]. Comme|f| est continue sur [a,b]n kkdonc en c, on a lim |f(x )| =|f(c)|. Finalement, on ak→∞ nklim |f(x )| =|f(c)| et lim |f(x )| = +∞.n nk kk→∞ k→∞Contradiction. La fonction est donc bornée et les nombressup{f(x) / x∈ [a,b]} et inf{f(x) / x∈ [a,b]}sont bien définis. Montrons que f atteint ses bornes c’est à dire qu’il existe α et β dans[a,b] tels quef(α) = sup{f(x) / x∈ [a,b]} et f(β) = inf{f(x) / x∈ [a,b]}.Par définition de la borne inférieure il existe une suite de nombres de la forme f(x ) (avecnx dans [a,b] pour tout n) convergeant vers sup{f(x) / x∈ [a,b]}. Considérons une sousnsuite (x ) de (x ) convergeant vers un élément α de [a,b]. Alors on a d’une part,n k n nklim f(x ) = f(α))nkk→∞car f est continue en α. D’autre partlim f(x ) = sup{f(x) / x∈ [a,b]}nkk→∞par définition, autrement dit f(α) = sup{f(x) / x∈ [a,b]}. Le cas de la borne inférieurese ...

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COURS 12 : Fonctions continues (suite)

ThÉorÈme 0.1.Sifest une fonction continue sur un intervalle fermÉ bornÉ[a, b]alors fest bornÉe sur[a, b]et atteint ses bornes sur[a, b]. DÉmonstration Pour montrer quefest bornÉe, il suffit de montrer que la fonction (composÉe)|f|est majorÉe. Comme la fonctionx7→ |x|est continue surR, sifest continue sur[a, b]alors |f|aussi. Supposons que|f|ne soit pas majorÉe. Alors il existe une suite(x n ) n d’ÉlÉments de[a, b]tels que|f(x n )|tend vers+∞. Comme la suite(x n ) n est bornÉe, il existe une sous-suite(x n k ) k convergeant vers un ÉlÉmentcde[a, b]. Comme|f|est continue sur[a, b] donc enc, on alim k→∞ |f(x n )|=|f(c)|. Finalement, on a k lim|f(x n k )|=|f(c)|et lim|f(x n k )|= +∞. k→∞k→∞ Contradiction. La fonction est donc bornÉe et les nombres sup{f(x)/ x∈[a, b]}et inf{f(x)/ x∈[a, b]} sont bien dÉfinis. Montrons quefatteint ses bornes c’est À dire qu’il existeαetβdans [a, b]tels que f(α) = sup{f(x)/ x∈[a, b]}etf(β) = inf{f(x)/ x∈[a, b]}. Par dÉfinition de la borne infÉrieure il existe une suite de nombres de la formef(x n )(avec x n dans[a, b]pour toutn) convergeant verssup{f(x)/ x∈[a, b]}. ConsidÉrons une sous suite(x n k ) k de(x n ) n convergeant vers un ÉlÉmentαde[a, b]. Alors on a d’une part, limf(x n k ) =f(α)) k→∞ carfest continue enα. D’autre part limf(x n k ) = sup{f(x)/ x∈[a, b]} k→∞ par dÉfinition, autrement ditf(α) = sup{f(x)/ x∈[a, b]}. Le cas de la borne infÉrieure se traite de la mme maniÈre. Corollaire 0.2.L’image d’un segment par une application continue est un segment. 1

En gÉnÉralf([a, b])ne concide pas avec[f(a), f(b)]. ThÉorÈme 0.3.Soitfune fonction dÉfinie sur un intervalleIdeR, continue surI, strictement monotone surI. La fonctionfest alors une bijection deTsur l’intervalle f(I)et sa bijection rÉciproque est continue strictement monotone surf(I)(de mme sens de variation quef). DÉmonstration Faisons la preuve dans le cas oÙfest strictement dÉcroissante. Par dÉfinitionfdÉfinit une surjection deIsurf(I). Sixetysont diffÉrents, on ax < y ouy < x. Dans le premier casf(x)<(f y)dans le deuxiÈmef(y)< f(x). Autrement dit x6=y⇒f(x)6=f(y),i.e.fest injective surI. Notonsgla bijection rÉciproque def. Donnons-nous deux nombresxetydansf(I)tels quex < y. Supposons qu’on aitg(x)≤ g(y). Alorsg(x)etg(y)sont deux nombres distincts deItels quex=f(g(x))≥f(g(y)) = y(carfest dÉcroissante), ce qui est en contradiction avecx < y. On a doncg(x)> g(y), autrement ditgest strictement croissante. ConsidÉrons deux pointsaetbdansf(I)etcun ÉlÉment de[a, b]. Par dÉfinition il existe xetydansItels quea=f(x)etb=f(y). CommeIest un intervalle[x, y]est inclus dansI. Commefest continue surI, elle est continue sur[x, y]. Le thÉorÈme des valeurs intermÉdiaires assure alors l’existence d’un pointzde[x, y]tel quec=f(z). Autrement ditcappartient Àf(I). On a donc montrÉ que l’image deIest un intervalle. Reste À montrer quegest continue. Soitxun point def(I)et(x n )une suite de points def(I)convergeant versx. Supposons que(g(x n )) n ne converge pas versg(x). Alors il existe >0tel que pour toutNil existen > Ntel que|g(x n )−g(x)|> . On peut donc construire une suite(x n k ) k convergeant versxtel que pour toutkon ait 1 |g(x n k )−g(x)|> ; ou encore une suite(x n k ) k convergeant versxtel que pour toutkon aitg(x n k )−g(x)> ou bien une suite(x n k ) k convergeant versxtel que pour toutkon aitg(x)−g(x n k )> . Dans le premier cas on ax n k =f(g(x n k ))< f(g(x) +)(commefest dÉcroissante). Mais g(x) + > g(x)doncf(g(x) +)< f(g(x)) =xdoncfx <(g(x) +)< xet(x)ne n k n k k converge pas versx. Contradiction. Dans le second cas on obtientx n k > f(g(x)−)> xet aussi une contradiction.

1 Attention j’affirme l’existence de telles suites. Je ne dis pas ici qu’une suite convergeant versxconverge versxpar valeurs supÉrieures ou infÉrieures. Pour passer de la premiÈre suite(x n k ) k À l’une des deux autres, il faut Éventuellement extraire une nouvelle fois une suite. 2