Cours-Cbn-Algebre-Boole.i1311.v101
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COURSLes circuits logiques et numériques – L’algèbre de BooleSect° 1311 Page 1 / 13. Éléments de description des systèmes1. PrésentationnumériquesL'algèbre de Boole est un outil mathématiquepermettant la description, l'analyse et la conception de 3.1. Tables de véritécircuits logiques et numériques. Ces systèmesUne table de vérité nous fait connaître la réaction dereprésentent l'évolution de la commande d'actionneursla valeur de sortie d'un circuit logique par rapport auxde type logique (Tout Ou Rien) ou numériques, endiverses combinaisons de niveaux logiques appliquésfonction des divers ordres et consignes fournis par unaux entrées.utilisateur ou des capteurs industriels.L'état des sorties de circuits logiquesDans chacune de ces tables, toutes les combinaisonsCOMBINATOIRES ne dépend que de l'état des entréespossibles de 0 et 1 pour les entrées (ici A, B, C, ...)et non pas des différents événements et états ayant puapparaissent à gauche, tandis que le niveau logiqueapparaître auparavant.résultant de la sortie (ici s) est donné à droite. Dans lestables ci-dessous, s est donné par "0 / 1" puisque ses2. Éléments de basevaleurs (0 ou 1) sont différentes pour chaque circuitL'algèbre de Boole utilise, dans sa symbolisation, desétudié.constantes, des variables et des opérateurs. Table de vérité 2.1. Les constantes à 3 entrées ... sont les différentes valeurs que peuvent prendreC B A sles variables. Il n'existe que deux niveaux logiques0 0 0 0 ...

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Les circuits logiques et numériques – L’algèbre de Boole
1. Présentation L'algèbre de Boole est un outil mathématique permettant la description, l'analyse et la conception de circuits logiques et numériques. Ces systèmes représentent l'évolution de la commande d'actionneurs de type logique (Tout Ou Rien) ou numériques, en fonction des divers ordres et consignes fournis par un utilisateur ou des capteurs industriels. L'état des sorties de circuits logiques COMBINATOIRESne dépendquede l'état des entrées et non pas des différents événements et états ayant pu apparaître auparavant. 2. Élémentsde base L'algèbre de Boole utilise, dans sa symbolisation, des constantes, des variables et des opérateurs. 2.1.Les constantes ... sont les différentes valeurs que peuvent prendre les variables. Il n'existe que deux niveaux logiques élémentaires:niveau bas etniveau haut, symbolisés respectivement par0et1. 2.2.Les variables logiques ... correspondent à uneentrée, unesortie ouune variable intermédiaire dans un circuit numérique. Elles peuvent être symbolisées par deslettres: A, B, C, ... Chacune de ces variables est à tout moment égale à 0 ou bien égale à 1. 2.3.Les opérateurs logiques ...sont d'un nombre limité par le fait que chaque variable ne peut prendre que deux états: ·l'addition logique, OpérateurOU«, symbolisé par+ » ·la multiplication logique, OpérateurET«, symbolisé par. » ·la complémentation ou inversion logique, OpérateurNON, symbolisé par«x».
COURS 1 Sect°1311Page /1
3. Élémentsde description des systèmes numériques
3.1. Tablesde vérité Une table de vérité nous fait connaître laréaction de la valeur de sortie d'uncircuit logique par rapportaux diverses combinaisonsde niveaux logiquesappliqués aux entrées.
Dans chacune de ces tables, toutes les combinaisons possibles de 0 et 1 pour les entrées (ici A, B, C, ...) apparaissent à gauche, tandis que le niveau logique résultant de la sortie (ici s) est donné à droite. Dans les tables ci-dessous, s est donné par "0 / 1" puisque ses valeurs (0 ou 1) sont différentes pour chaque circuit étudié. Tabledevéritéà3entrées B A 0 0 00/1 0 0 10/1 Tabledevéritéà2entrées0 1 00/1 B As 01 10/1 0 00/1 11 1 11 0 10/1 1 11 11 1 11 11 10/1 n Un circuit àn entrées logiques peutrecevoir2 états logiques distincts. La table de vérité n correspondante contiendra donc 2lignes, et pour chacune, l'état de la sortie sera défini. 3.2. Formealgébrique La description de la réaction de la valeur de sortie d'un circuit logique peut se faire, en plus de la table de vérité, par une équation booléenne.
Exemple 1 : Soit un circuit logique à 3 entrées A, B, C et une sortie x, passant à 1 quand A et B sont à 1ou bien quand C est à 1 : la forme algébrique est : x1(A etB)ou C1A.B#C
Exemple 2 : Soit un circuit logique à 3 entrées A, B, C et une sortie x, passant à 1 quand A et B sont à 1ou bien quand ( A= 1, B = 0 et C = 1) : x1A.B#A.B.C
COURS-CBN-AL GEBRE-BOOLE.I1311.V101.DOC- 26OCT.04- RÉ V. 2
COURS Les circuits logiques et numériques – L’algèbre de Boole 2 Sect°1311Page2 /
3.3. Lesopérateurs
L'opérateur OU à n entrées (n³2) donne un 1 si au moins l'une de ses entrées est à 1 L'opérateur ET à n entrées (n³2) donne un 1 si toutes ses entrées sont à 1 L'opérateur NON (à 1 entrée) donne le complément de son entrée
L'opérateur NOR(NI) donne le complément d'une fonction OU: (Non-OU) x1A}B1A#B L'opérateur NAND donne le complément d'une fonction ET: (Non-ET) x1A B1A.B
1
³1
&
³1
&
1
³1
&
0#010 0#111 1#011 1#111
0.010 0.110 1.010 1.111
011 110
0#011 0#110 1#010 1#110
0.011 0.111 1.011 1.110
COURS Les circuits logiques et numériques – L’algèbre de Boole 3 Sect°1311Page /3 4. Analysedes systèmes numériquesde De Morgan4.3. Théorèmes Le complément d’une expression logique peut être L'algèbre de Boole sert, après l'avoir décrit, à écrite par le complément de chaque variable et opérateur analyser un circuit logique exprimé sous forme de l’expression. mathématique. L'objectif est d'obtenir des expressions Attention cependant à conserver la priorité des simplifiées afin d'en faciliter la conception. opérateurs des expressions d’origine ! Un ensemble de théorèmes résumant les propriétés de l'algèbre de Boole peut être énoncé. La démonstration de ces équations est évidente en(x#y)1x.y(x.y)1x#y reprenant les propriétés des opérateurs logiques. Ex.:A.B#C.(D#E)1
4.1. Théorèmesde Boole à 1 variable 4.4. Universalitédes opérateurs Non-ET et x#01x x#111x#x1x x#x11Non-OU Toutes les expressions booléennes se résument à x.010x.11x x.x1x x.x10 différentes combinaisons élémentaires de OU, ET et NON. Or, il est possible de reconstituer chacune de ces x s 3 opérations avec exclusivement des portes Non-ET, ou x exclusivement des portes Non-OU. x + x = 1 On en déduit que toute équation peut être écrite x xx .x = 0 sexclusivement à partir d'opérateurs Non-ET, ou exclusivement à partir d'opérateurs Non-OU. 4.2. Théorèmesde Boole à plusieurs variables A1A.A1A A1A x#y1y#x A1A#A1A}A1A} x.y1y.x A.B1A.B1A B1(A B) x#(y#z)1(x#y)#z1x#y#z A#B1A#B1A}B1(A}B)} x.(y.z)1(x.y).z1x.y.z A#B1A.B1(A) (B) x.(y#z)1x.y#x.z A.B1A#B1(A})}(B}) (w#x).(y#z)1w.y#x.y#w.z#x.z x#xy1x x#xy1x#y x y#xy¹1x.y#x.y#x.y#xy11
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