Cours complet sur le calcul integral - Bacamaths -

Costantini

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• Publié par: Thuen
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• Langue: Français

Extrait

CALCUL INTÉGRAL
1. Définition de l'intégrale dans le cas d'une fonction continue positive sur un segment [a, b]
1.1. Définition L'unité d'aire yrr
Soit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ;ij, ).
KSoient I, J et K les points définis par : Jr 1 u.a.uur r uuur r uuur r r j
OI = i , OJ = et OK = i + j r
O I x i
On appelle unité d'aire (notée en abrégé u.a.) l'unité de mesure des aires telle que :
Aire(rectangle OIKJ) = 1 u.a.
Remarques :
rr
• OIKJ peut être un carré lorsque le repère (O ;ij, ) est orthonormé.
2• Si l'on a, par exemple, OI = 3 cm et OJ = 2 cm, alors une unité d'aire correspond à 6 cm .
1.2. Définition Notion d'intégrale d'une fonction continue positive en tant qu'aire
rr
Soit P un plan muni d'un repère orthogonal (O ;ij, ).
Soient :
• a et b deux réels avec a b.
(1) (2)• ƒ une fonction continue (ou continue par morceaux ) et positive sur le segment [a, b].
On appelle intégrale de ƒ de a à b l'aire, exprimée en u.a., du domaine D suivant :
D = {M(x, y) ˛ P tels que a x b et 0  y  ƒ(x)}
(D est le domaine délimité par la courbe de ƒ, l'axe des abscisses et les deux droites verticales d'équations x = a et x = b)
b b
On note cette quantité : ƒ()t dt ou ƒ(xx)dò òa a
Les réels a et b s'appellent les bornes de l'intégrale.
1 u.a. = une unité d'aire
Illustration :
y
L'aire de D est de mesure
Cƒ
FINIE. En effet, ƒ est continue
sur le segment [a, b] donc
1 D majorée. Il existe donc un
rectangle contenant D.
a O 1 b x
Remarques :
La variable t (ou x ou autre) figurant dans l'intégrale est "muette" ; elle peut être notée par toute autre lettre. Le
symbole dt (ou dx) ne joue aucun rôle pour le moment, si ce n'est de préciser quelle est la variable.

(1) Cette hypothèse est indispensable pour définir l'intégrale d'une fonction en escalier.
(2) Un segment est un intervalle fermé borné.
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 

jPremiers exemples :
r rrr
2Rapportons le plan à un repère orthonormé (O ;ij, ) avec || i || = || j || = 1 cm. (Ainsi 1 u.a. correspond à 1 cm )
Cas d'une fonction ƒ égale à une constante positive (notée k ˛ ) sur [a, b] alors :+
b b
ƒ()t dt= ktd= (b - a)k u.a .ò òa a
(On a simplement appliqué la formule longueur · largeur pour calculer l'aire d'un rectangle !)
y
Cƒ
k
D
J
1 u.a.
b xO I a
b
En particulier, si ƒ est nulle sur [a, b] alors : ƒ()t dt= 0ò
a
Cas d'une fonction ƒ affine (notons ƒ(x) = mx + p) supposée positive sur [a, b] alors :
b (petite base + grande base) · hauteurƒ()t dt= Aire du trapèze ABB'A' = ò a 2
y
mb + p
B'
Cƒ
ma + p
A' D
J
1 u.a.
A B
b xO I a
La formule ci-contreb ()AA¢¢+BBAB(ma+p+mb+-p)()ba122 n'est pas à connaîtreƒt dt= = = m(b -a) + p(b - a)òa par cœur.2 2 2
Cas de la parabole. Soit ƒ la fonction définie sur  par :
2ƒ(x) = x
On a vu (voir le DM 1 sur la quadrature de la parabole) qu'alors :
1 12xxd= ò 0 3
Cas d'une fonction en escalier (toujours supposée positive) sur [a, b] :
L'ensemble {a ; a ; ... ; a } est0 1 n
Il s'agit des fonctions pour lesquelles il existe des réels a , a , ..., a vérifiant :0 1 n
appelé une subdivision adaptée à ƒ.
a = a < a < ... < a = b0 1 n
tels que ƒ soit constante sur chacun des intervalles ouverts ]a , a [ (0  i  n - 1)i i+1
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En notant l la valeur constante de ƒ sur ]a , a [, on a alors :i i i+1
n-1b
ƒ()t dt= (aa-l)i+1 iiò å
a
i=0
(Pas de panique, cette formule n'est qu'une somme d'aires de rectangles !)
Illustration avec n = 4.
Remarque : ƒ peut prendre
y
des valeurs quelconques en
les points de la subdivision,
cela n'aura pas d'incidence
l1 sur l'aire. des rectangles.
l0
l4
l3
O a = a a a a0 1 2 3 a4 = b x
Remarques :
• ƒ peut prendre n'importe quelle valeur en chacun des points a ; cela ne modifie pas l'aire.i
• La formule donnée ci-dessus pour les fonctions en escaliers en fondamentale. C'est cette formule
(généralisée à des l réels quelconques) qui sera prise en définition plus tard (classes post-bac). En effet,i
d'une part, il est facile de prouver les propriétés (telle que la linéarité) des intégrales pour les fonctions en
escaliers. D'autre part, il y a un résultat très fort qui est que "toute fonction continue sur un segment peut
être approchée par des fonctions en escaliers" ce qui permet d'étendre les propriétés obtenues sur les
fonctions en escaliers aux fonctions continues. C'est ainsi que l'on construit, par exemple, l'intégrale dite de
Riemann.
Exemple fondamental : quadrature de l'hyperbole
x1
Notons, pour tout x ˛ [1, +¥[, S(x) l'intégrale : S(x) = dtò1 t
D'après la définition 1.2., S(x) est l'aire du domaine :
D(x) = {M(t, y) ˛ P tels que 1  t  x et 0  y  ƒ(t)}
(D(x) est le domaine délimité par la courbe de la fonction inverse, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations t = 1 et t = x)
Soit t un réel fixé de l'intervalle [1, +¥[.0
Soit t un réel de l'intervalle [1, +¥[.
Distinguons deux cas :
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1
1
t0
1
t
O 1 t x0 t
Cas 1 : t  t. Alors S(t) - S(t ) est l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction inverse, l'axe des0 0
abscisses et les deux droites verticales d'équations x = t et x = t.0
1 1
Or, par décroissance de la fonction inverse, on a : 
t t0
1 1
S(t) - S(t ) est encadrée par l'aire de deux rectangles, de largeur (t - t ) et de hauteurs respectives et :0 0
t t0
tt- tt-0 0  S(t) - S(t )  0
t t0
1 S(t)- St() 10On a donc :  
t tt- t0 0
En passant à la limite lorsque t tend vers t , le théorème des gendarmes permet d'affirmer que l'accroissement0
S(t)- St() 10moyen admet une limite en t égal à , la fonction S est donc dérivable à droite en t .0 0
tt- t0 0
Cas 2 : t  t . Un raisonnement analogue à ci-dessus montre que S est dérivable à gauche en t .0 0
1
Bilan : on a donc : S'(t ) = 0
t0
Ce raisonnement étant valable pour tout réel t de [1, +¥[, on a donc pour tout x de [1, +¥[ :0
1
S'(x) =
x
Considérons maintenant la fonction ƒ définie sur [1, +¥[ par :
ƒ(x) = S(x) - ln x
La fonction ƒ est dérivable sur [1, +¥[ (car la fonction S et le logarithme népérien le sont) et on a :
1 1ƒ'(x) = S'(x) - (ln x)' = - = 0
x x
En conséquence, ƒ est constante sur [1, +¥[ : ƒ(x) = k
Or, ƒ(1) = S(1) - ln 1 = 0
D'où k = 0 et ƒ est nulle sur [1, +¥[, on conclut : S = ln
x1
On a montré que pour tout réel x de [1, +¥[ : dt = ln xò 1 t
On montre, de même, ce résultat pour x ˛ ]0 ; 1[.
Calcul intégral. Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/Exercice :
2Soit ƒ la fonction définie sur [-1 ; 1] par : ƒ(x) = 1- x
1.Vérifier que la courbe C représentant ƒ est le demi-cercle de centre O et de rayon 1 qui est situé dans leƒ
demi-plan des ordonnées positives.
1 p22.En déduire : 1d-xx= ò0 4
Solution :
21.Soit M(x, y) un point de C . On a alors : y =  01- xƒ
Donc M est situé dans le demi-plan des ordonnées positives.
2 2 2 2 2De plus : OM = x + y = x + 1 - x = 1
Et comme OM 0 (c'est une distance) : OM = 1
Donc M est situé sur le demi-cercle de centre O et de rayon 1 correspondant aux ordonnées positives.
Réciproquement, soit N(a, b) un point de ce demi-cercle. On a alors :
2b  0 et ON = 1
22b  0 et ab+= 1
2 2b  0 et b = 1 - a
2 2Et comme a ˛ [-1, 1], on a 1 - a  0, d'où : b = 1- a
b = ƒ(a)
N ˛ Cƒ
On a montré que la courbe C coïncide avec le demi-cercle de centre O et de rayon 1 qui est situé dans leƒ
demi-plan des ordonnées positives.
1
22.La quantité 1d-xx représente l'aire du domaine délimité par C , l'axe des abscisses et les droitesƒò0
verticales d'équations respectives x = 0 et x = 1. Ce domaine est un quart de disque de rayon 1. Son aire est
p
donc égale à :
4
1 p21d-xx= u.a.ò0 4
y
1
Cƒ
-1 O 1 x
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1.3. Propriété Calcul de l'aire située